Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm:

Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x₀; y₀) :

+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:

Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM

⇒ Đường thẳng ( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :

– Đường thẳng ( d) :

⇒ (d): A(x – x₀) + B( y – y₀) = 0.

– Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R

⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.

– Chọn A= … ⇒ B=…⇒ Phương trình đường thẳng d.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x – 3)² + (y – 1)² = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x – 3y + 8 = 0.    B. x + 3y – 16 = 0.    C. 2x – 3y + 5 = 0 .    D. x + 3y – 16 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.

⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.

Suy ra phương trình d: 1( x – 4) + 3( y – 4 ) = 0

Hay x + 3y – 16 = 0.

Chọn D.

Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x – 3)² + (y + 1)² = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là

A. 2x + y = 0; 2x + y – 10 = 0    B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y – 1 = 0

C. 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 10 = 0    D. 2x + y = 0; x + 2y – 10 = 0

Hướng dẫn:

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên

phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .

Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :

d( I , ∆) = R ⇔  = √5 ⇔ |5 + m| = 5

Vậy ∆₁ : 2x + y = 0 , ∆₂ : 2x + y – 10 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .

A. x – 4 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0    B. x – 4 = 0 hoặc y – 6 = 0.

C. y – 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0    D. x – 4 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính

+ Tiếp tuyến ∆:

⇒ Phương trình ∆: a(x – 4) + b(y – 6) = 0 hay ax + by – 4a – 6b = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R

+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x – 4 = 0.

+ Nếu 4a = – 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x – 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x – 4 = 0 và 3x – 4y + 12 = 0 .

Chọn D.

Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)² + (y + 2)² = 25 tại điểm M(2; 1) là:

A. d: -y + 1 = 0    B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x – 4y – 2 = 0    D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.

+ Đường thẳng d:

⇒Phương trình (d) : 4( x – 2) + 3( y – 1) = 0 hay 4x + 3y – 11 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)² + (y + 2)² = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .

A. d: x + y + 1 = 0    B. d: x – 2y – 11 = 0

C. d: x – y – 7 = 0    D. d: x – y + 7 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.

+ Phương trình đường thẳng (d):

⇒ phương trình (d) là: 2( x – 3) – 2( y + 4) = 0

⇔ (d) : 2x – 2y – 14 = 0 hay x – y – 7 = 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5.

+ Tiếp tuyến ∆:

⇒ Phương trình ∆: a(x – 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R

⇔ 4a² – 4ab + b² = a² + b² ⇔ 3a² – 4ab = 0

+ Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ.

+ Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y – 24 = 0

⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là:

Chọn B.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x² + y² – 2x + 4y – 11 = 0?

A. 0.    B. 2.    C. 1.    D. 3.

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R =  = 4.

Độ dài OI =  = √5

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O.

Chọn A.

Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)² + (y + 3)² = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?

A. 0.    B. 1.    C. 2.    D. Vô số.

Lời giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được :

( 4 – 3)² + (-3 + 3)² = 1

⇒ Điểm M thuộc (C).

⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M.

Chọn B.

Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4?

A. 0.    B. 1.    C. 2.    D. Vô số.

Lời giải

Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2.

Độ dài IN =  = 5 > R

⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C).

Chọn C.

3. Bài tập vận dụng kèm đáp án:

Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x² + y² – 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y – 2 = 0    B. d: x – 3y + 4 = 0

C. d: x – 3y – 4 = 0    D. d: x + 3y + 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường tròn (C) có tâm I( 3/2 ; 1/2 ).

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.

+ Phương trình đường thẳng (d) :

⇒(d): 1(x – 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0

Câu 2: Cho đường tròn( C): x² + y² – 2x + 8y – 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :

A. 10    B. 2√10    C.     D. √10

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .

Độ dài IM =  = √50 > R

⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

MA = MB =  = √10

Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.

Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x² + y² – 3x – y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

A. x + 3y – 1 = 0    B. 2x – 3y + 1 = 0    C. 2x – y + 4 = 0    D. x + 3y + 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I( 3/2 ; 1/2 ).

Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (- 1/2 ; – 3/2 ) = – 1/2 (1; 3) nên có phương trình:

1( x – 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0

Câu 4: Cho đường tròn (x – 3)² + (y – 1)² = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x – 3y + 5 = 0    B. x + 3y – 4 = 0    C. x – 3y + 16 = 0    D. x + 3y – 16 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.

Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.

Suy ra (d) : 1( x – 4) + 3( y – 4) = 0 hay x + 3y – 16 = 0

Câu 5: Cho đường tròn (x – 2)² + (y – 2)² = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y – 4 = 0 và x – y – 2 = 0 .    B. x = 5 và y = -1.

C. 2x – y – 3 = 0 và 3x + 2y – 3 = 0.    D. 3x – 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.

+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B)

⇒ (∆ ) : A( x – 5) + B( y + 1) = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :

+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0

+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được : x – 5 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x – 5 = 0