Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip:

Elip, hay hình elip, là một dạng hình học có hình dáng giống như một vòng tròn được kéo dài. Để hiểu rõ hơn về elip, chúng ta cần tìm hiểu về các khái niệm quan trọng như tiêu điểm (Foci), tiêu cự (Focal distance), tâm sai (Eccentricity), trục lớn (Major axis), và trục nhỏ (Minor axis).

Tiêu điểm của elip là những điểm đặc biệt trên trục lớn sao cho tổng khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến hai tiêu điểm này là một hằng số. Điều này có nghĩa là, nếu bạn chọn bất kỳ điểm nào trên elip, tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm là cố định.

Tiêu cự của elip là khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến một trong hai tiêu điểm. Nó là một nửa của trục lớn. Tính chất này giúp xác định hình dáng của elip và quyết định về sự căn chỉnh của nó.

Tâm sai (eccentricity) của elip là một chỉ số cho biết độ “đặc biệt” của elip so với hình tròn. Nó được tính bằng cách chia độ dài tiêu cự cho độ dài trục lớn. Trong trường hợp của hình tròn, eccentricity bằng 0; càng lớn, elip càng “dài” hơn và “mỏng” hơn.

Trục lớn của elip là đoạn thẳng lớn nhất đi qua tâm của elip và kết nối hai điểm chóp (vertex) trên elip. Trục này cũng chính là đường chính của elip, và chiều dài của nó được đo bằng độ dài của elip từ một chóp đến chóp đối diện.

Trục nhỏ của elip là đoạn thẳng nhỏ nhất cũng đi qua tâm elip và vuông góc với trục lớn. Chiều dài của trục nhỏ cũng là chiều rộng của elip, và nó đo bằng cách nối hai điểm chóp nằm ở hai bên elip.

Tóm lại, việc hiểu rõ về tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của elip là quan trọng để có cái nhìn toàn diện về hình dáng và tính chất của elip trong hình học. Điều này không chỉ quan trọng trong lĩnh vực toán học mà còn trong nhiều ứng dụng thực tế như vật lý, kỹ thuật, và nghệ thuật.

2. Các công thức:

Cho elip (E) có phương trình x2 / a2 + y2 / b2 = 1

– Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2a 

– Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2b 

– Tiêu cự của (E): F1F2 = 2c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

 – Tiêu điểm của (E): F1 (-a;0) và F2(c;0) với c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

– Tâm sai của (E): e = c / a <1 với c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

3. Bài tập minh họa:

Bài 1: Xác định tọa độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: x2 / 16 + y2 / 9 = 1

Lời giải

Xét phương trình elip (E): x2 / 16 + y2 / 9 = 1. ta có:

a2 = 16 => a = 4

b2 = 9 => b = 3

=> c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tiêu cự của (E): F1F2 = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tâm sai của (E): e = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2. 4 = 8

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2. 3 = 6

Bài 2: Cho elip có phương trình x2 / 100 + y2 / 36 = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip: x2 / 100 + y2 / 36 = 1 ta có”

a2 = 100 =>  a = 10

b2 = 36 => b = 6

=> c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): F1(-8;0) và F2(8;0)

Tiêu cự của (E): F1F2 = 2. 8 = 16

Tâm sai của (E): e = 8 / 10 = 4 / 5

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2.10 = 20

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2. 6 = 12

Bài 3. Cho hình elip với phương trình x 2 / 36 + y2 / 25 = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sa, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip: x 2 / 36 + y2 / 25 = 1, ta có:

a2 = 36 => a = 6

b2 = 25 => b = 5

=> c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tiêu cự của (E): F1F2 = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tâm sai của (E): e = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2 = 2.6 = 12

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2 = 2.5 = 10

4. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm tọa độ các tiêu điểm; tọa độ các đỉnh; độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) x2 / 169 + y2/ 25 = 1

b) x2 + 4y2 = 1

Lời giải:

a) x2 / 169 + y2 / 25 = 1 <=> x 2 / 132 + y2 / 52 = 1

Phương trình Elip có dạng: x2 / a2 + y2 / b2 = 1

Suy ra: a = 13; b = 5 và c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tọa độ các đỉnh của Elip là: A1 (-13;0); A2 (13;0); B1(0;-5); B2(0;5)

Tọa độ tiêu điểm của Elip là: F1(-12;0); F2(12;0)

Độ dài trục lớn 2a = 26; độ dài trục nhỏ 2b = 10.

b) x2 + 4y2 = 1

<=> x 2 / 1 + Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip = 1

Phương trình elip có dạng: x2 / a2 + y2 / b2 = 1

Vậy ta có: a = 1; b = 1 / 2 và c = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Các đỉnh của  Elip là: A1(-1;0); A2(1;0); B1(0;-1/2); B2(0;1/2)

Tiêu điểm của Elip là Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Độ dài trục lớn 2a = 2; độ dài trục nhỏ 2b = 1

Bài 2. Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:

A. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

B. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

C. 1 / 3

D. 1

Phương pháp giải:

Tính tỉ số e = c / a trong đó:

+) 2c là tiêu cự của elip

+) 2a là độ dài trục lớn của elip

+) 2b là độ dài trục bé củ elip

Và ta có a2 = b2 + c2

Đáp án:

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b = c

Mặt khác ta có a2 = b2, suy ra a2 = 2c2 hay a = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Tâm sai của elip là : e = c / a = Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Vậy chọn đáp án A

Bài 3. Cho elip (E) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. c < b < a

B. c < a < b

C. c > b > a

D. c < a và b < a

Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 với a > b > c và a2 = b2 + c2 với 2c là tiêu cự của (E)

Đáp án:

Vì a2 = b2 + c2 và a, b, c > 0 nên ta có: a2 > c2 <=> a > c. Hiển nhiên b < a. Chọn đáp án D

Bài 4. Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. 2a = F1F2

B. 2a > F1F2

C. 2a < F1F2

D. 4a = F1F2

Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 với a > b > 0 và a2 = b2 + c2 với 2c là tiêu cự của (E)

Lời giải:

Elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 ta có 2c = F1F2

Vì a2 = b2 + c2 và a, b, c > 0 nên ta có a2 >0 <=> a > c. Do đó 2a > F1F2

Chọn đáp án B

Bài 5. Cho elip (E): x2 + 4y2 – 40 = 0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

A. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

B. 10

C.Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

D, Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Phương pháp giải: Từ phương trình (E) tìm độ dài trục lớn 2a và độ dài trục bé 2b. Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 2(2a +2b)

Đáp án:

Ta có: (E): x2 + 4y2 = 40 = 0

<=> x 2 + 4y2 – 40 = 0 <=> x2 / 40 + y2 / 40 = 1

=>  Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Chu vi hình chứ nhật cơ sở là: 2(2a + 2b) =Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip= Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

Chọn đáp án cần chọn là D

Bài 6.  Phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1 (-1; 0), F2(1;0) và tâm sai e = 1 / 5 là:

A. x2 / 24 + y2 / 25 = 1

B. x2 / 24 + y2 / 25 = -1

C. x2 / 25 + y2 / 24 = 1

D. x2 / 25 + y2 / 24 = -1

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 . Tìm a, b

– Elip có 4 đỉnh là A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0;-b), B2 (0;b)

– Elip có tiêu cự bằng 2c và ta cũng có a2 = b2 + c2

Đáp án:

Elip có hai tiêu điểm là F1(-1;0), F2(1;0)=> c = 1

Elip có tâm sai e = 1/ 5 => c  / a = 1 / 5 => a = 5

Mặt khác ta có b2 = a2 – c2 = 25 -1 = 24

Vậy elip có phương trình là: x2 / 25 + y2 / 24 = 1

Chọn đáp án C