Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

1. Lý thuyết Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:

Để giải bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần tìm m sao cho hàm số f(x) = ax^2 + bx + c luôn dương hoặc luôn âm với mọi x thuộc R. Điều này tương đương với việc đồ thị của hàm số f(x) không cắt trục hoành, tức là phương trình ax^2 + bx + c = 0 không có nghiệm. Áp dụng công thức tính delta, ta có:

∆  = b^2 – 4ac = m^2 – 4(m – 1)(m + 1) = m^2 – 4m^2 + 4 = -3m^2 + 4

Để ∆ < 0, ta cần có:

-3m^2 + 4 < 0

<=> m^2 > 4/3

<=> m < -√(4/3) hoặc m > √(4/3)

Vậy các phương pháp giải tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là:

– Phương pháp đồ thị: Vẽ đồ thị của hàm số f(x) và xác định các giá trị của m sao cho đồ thị không cắt trục hoành.

– Phương pháp delta: Tính delta của phương trình ax^2 + bx + c = 0 và xác định các giá trị của m sao cho delta < 0.

2. Bài tập cơ bản Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x^2 + 2x – 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x 

Lời giải:

Để giải quyết bài toán này, ta cần xét hai trường hợp:

– Trường hợp 1: m = 0. Khi đó, bất phương trình trở thành x^2 + 2x – 3 > 0. Ta có thể giải bất phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử: (x + 3)(x – 1) > 0. Điều kiện để tích hai số dương là cả hai số phải cùng dấu, nên ta có hai nghiệm là x < -3 hoặc x > 1.

– Trường hợp 2: m khác 0. Khi đó, chia cả hai vế của bất phương trình cho m và được bất phương trình mới: x^2 + (2/m)x – (3/m) > 0. Ta có thể giải bất phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/2a. Trong đó, a = 1, b = 2/m, c = -3/m. Ta có:

∆ = b^2 – 4ac = (2/m)^2 – 4(1)(-3/m) = (4 + 12m)/m^2

Để ∆ > 0, ta cần có m > -1/3 hoặc m < 0. Khi đó, ta có hai nghiệm của bất phương trình là:

x1 = [-(2/m) + √((4 + 12m)/m^2)]/2

x2 = [-(2/m) – √((4 + 12m)/m^2)]/2

Điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là x1 < x < x2 hoặc x < x1 hoặc x > x2. Điều này đồng nghĩa với việc ∆ luôn dương và hai nghiệm luôn có dấu ngược nhau. Tức là:

– Nếu m > -1/3, thì x1 < 0 và x2 > 0.

– Nếu m < 0, thì x1 > 0 và x2 < 0.

Vậy, ta có thể kết luận rằng m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là m thuộc (-∞; 0) hoặc (-1/3; +∞).

Bài 2: Tìm m để bất phương trình x^2 – 2mx + m – 1 > 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:

– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: (-2m)^2 – 4(m – 1) < 0

– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0

Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 – 2m + 1 < 0

=> (m – 1)^2 < 0

=> Vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình x^2 + (m – 1)x + m < 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:

– Định thức của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: (m – 1)^2 – 4m > 0

– Hệ số a của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: a = 1 < 0

Điều kiện thứ hai không thể thỏa mãn, vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 4: Tìm m để bất phương trình x^2 + (m + 1)x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:

– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: (m + 1)^2 – 4m < 0

– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0

Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 + 2m – 3 < 0

=> (m + 3)(m – 1) < 0

=> -3 < m < 1

Vậy tập giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là: (-3;1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình x^2 + mx + (m – 3) > 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:

– Định thức của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: m^2 – 4(m – 3) < 0

– Hệ số a của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: a = 1 > 0

Giải bất phương trình định thức, ta được: m^2 -4m +12 < 0

=> (m -6)(m +2) <0

=> -2 < m <6

Vậy tập giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x là: (-2;6)

Bài 6: Tìm m để bất phương trình x^2 + mx + (3 – m) < 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần hai điều kiện:

– Định thức của bất phương trình lớn hơn 0, tức là: m^2 -4(3-m) >0

– Hệ số a của bất phương trình nhỏ hơn 0, tức là: a = 1 < 0

Điều kiện thứ hai không thể thỏa mãn, vậy không tồn tại giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

3. Bài tập nâng cao tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:

Bài 1: Tìm m để bất phương trình (x^2 – 2mx + m^2 – 1)/(x^2 – 4) <= 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải

Điều kiện: x^2 – 4 != 0 <=> x != ±2

Phân tích: (x – m)^2 – (1 + 2)^2 = (x – m – 3)(x – m + 3)

BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> (x – m – 3)(x – m + 3) <= 0 với mọi x

<=> m = 3 hoặc m = -3

Bài 2: Tìm m để bất phương trình (x^4 + mx^3 + x^2)/(x^2 + x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải

Điều kiện: x^2 + x != 0 <=> x != 0 và x != -1

Phân tích: x^2(x^2 + mx + 1)/(x(x + 1)) > 0

BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> x^2 + mx + 1 > 0 với mọi x

<=> Δ = m^2 – 4 < 0 <=> |m| < 2

Bài 3: Tìm m để bất phương trình (mx^3 – x)/(x^4 + x) < 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải

Điều kiện: x^4 + x != 0 <=> x != 0 và x != ±(1/√(3))

Phân tích: không thể phân tích

BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^3 – x < 0 với mọi x

<=> m < 0

Bài 4: Tìm m để bất phương trình (mx^2 + mx + 1)/(x^3 + mx) >= 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải

Điều kiện: x^3 + mx != 0 <=> không có nghiệm rời rạc

Phân tích: không thể phân tích

BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^2 + mx + 1 >= 0 với mọi x

<=> Δ = m^2 – 4m < 0 <=> m(4 – m) > 0 <=> m thuộc (0;4)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình (mx^4 – mx)/(x^5 + mx) <= 0 nghiệm đúng với mọi x

Lời giải

Điều kiện: x^5 + mx != 0 <=> không có nghiệm rời rạc

Phân tích: không thể phân tích

BPT có nghiệm đúng với mọi x <=> mx^4 – mx <= 0 với mọi x

<=> mx(m(x^3 – 1)) <= 0 <=> không có giá trị của m thỏa mãn

Bài 6: Tìm m để bất phương trình (m+1)x^2 – (2m+3)x + m + 2 > 0 với mọi x thuộc R.

Lời giải:

Ta có định lý: Bất phương trình bậc hai ax^2 + bx + c > 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi a > 0 và ∆  < 0.

Áp dụng vào bài toán, ta được:

m+1 > 0 và ∆ = (2m+3)^2 – 4(m+1)(m+2) < 0

Giải hệ bất phương trình trên, ta được: m > -1 và -3 < m < -2.

Vậy tập giá trị của m là (-1; -2).

Bài 7: Tìm m để bất phương trình log_2(x^2 – mx + m) < 0 có nghiệm với mọi x thuộc R.

Lời giải:

Ta có điều kiện: x^2 – mx + m > 0. Đây là bất phương trình bậc hai có hệ số a = 1 > 0.

Do đó, để bất phương trình có nghiệm với mọi x thuộc R, ta cần có ∆ <= 0. Tức là:

m^2 – 4m <= 0

Giải bất phương trình trên, ta được: 0 <= m <= 4. Vậy tập giá trị của m là [0; 4].