Hướng dẫn cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 lớp 9

1. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

Bước 1: Đặt S = x + y, P = xy. Điều kiện: S2 ≥ 4P.

Bước 2: Biến đổi Hệ phương trình có hai ẩn S, P giải ra S và P (sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số).

Bước 3: Tìm được S và P, khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai:

X2 – SX + P = 0

Giải phương trình bậc hai theo ẩn X.

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

2. Hệ phương trình đối xứng loại 1:

2.1. Khái niệm hệ phương trình đối xứng loại 1:

Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x và y là Hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của các ẩn x và y thì hệ phương trình vẫn không thay đổi.

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng (I), trong đó f (x; y), g (x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f (x; y) = f (y; x), g (x; y) = g (y; x).

2.2. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

Đặt S = x + y, P = x . y

x² + y² = (x + y)² – 2xy = S² – 2P

x³ + y³ = (x + y) . (x² + y² – xy) = S³ – 3SP

x²y + y²x = xy . (x + y) = SP

x⁴ + y⁴ = (x² + y²) – 2x²y² = (S² – 2P)² – 2P²

3. Các bài tập vận dụng liên quan:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ:

(thỏa mãn)

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 2X + 1 = 0

⇔ (X – 1)² = 0

⇔ X = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1).

Bài 2: Giải hệ phương trình:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

Mà S² >= 4P => S = 4, P = 3 thỏa mãn.

Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 3) và (3; 1).

Bài 3: Giải hệ phương trình

Lời giải chi tiết: 

Điều kiện xác định: x ≥ 0; y ≥ 0.

Đặt S = √x + √y; P =  √xy

Điều kiện: S² >/ 4P và S >= 0; P >= 0

Ta có hệ phương trình: 

Khi đó √x và √y là nghiệm của phương trình bậc hai. 

X² – 4X + 3 =0

⇔ (X – 1) . (X – 3) =0

⇔ X = 1 hoặc X = 3

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 9) và (9; 1). 

4. Bài tập trắc nghiệm kèm đáp án:

Câu 1: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? 

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: B. 2

Lời giải chi tiết: 

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

S² – 2 . (5 – S) = 5

⇔ S² + 2S – 15 = 0

=> (S – 3) . (S + 5) = 0

=> S = 4 hoặc S = -5

Với S = 3 => P = 2 (thỏa mãn)

Với S = -5 => P = 10 (loại)

Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 3X + 2 = 0

⇔ (X – 1) . (X – 2) = 0

⇔ X = 1 hoặc X = 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (1; 2) và (2; 1).

Câu 2: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án:

Lời giải chi tiết: 

Ta có:

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

Thay P = – 3 – 2S vào phương trình (3) ta được:

S² – (-3 – 2S) = 3

⇔ S² + 3 + 2S = 3

⇔ S² + 2S = 0

⇔ S . (S + 2) = 0

⇔ S = 0 hoặc S = – 2

* Với S = 0 => P = -3 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 3 = 0

⇔ (X – √3) . (X + √3) = 0

⇔ X = √3 hoặc X = – √3

Suy ra hệ có 2 nghiệm là (√3; -√3) và (-√3; √3).

* Với S = – 2 => P = 1 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² + 2X + 1 = 0

⇔ (X + 1)² = 0

⇔ X = – 1

Suy ra hệ có 1 nghiệm là (-1; -1).

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (√3; -√3); (-√3; √3) và (-1; -1).

Câu 3: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: D. 4

Lời giải chi tiết: 

Ta có:

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

Thay P = 5 – S vào phương trình (3) ta được:

S² – 5. (5 – S) = – 1

⇔ S² + 5S – 25 = – 1

⇔ S² + 5S – 24 = 0

⇔ (S – 3) . (S + 8) = 0

⇔ S = – 8 hoặc S = 3

* Với S = – 8 => P = 13 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai. 

X² + 8X + 13 = 0

⇔ X = – 4 – √3 hoặc X = – 4 + √3.

* Với S = 3 => P = 2 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 3X + 2 = 0

⇔ (X – 1) . (X – 2) = 0

⇔ X = 1 hoặc X = 2

Suy ra hệ có 2 nghiệm là (1; 2) và (2; 1).

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là (1; 2); (2; 1), (- 4 – √3; – 4 + √3), (- 4 + √3; – 4 – √3).

Câu 4: 

Hệ phương trình sau: . Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cực hay. Chọn nghiệm đúng của hệ phương trình.

A. (4;7) và (7;4)

B. (-1;-8) và (-8;-1)

C. (1;2) và (2;1)

D. A và B

Đáp án: D. A và B

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

Thay P = 17 + S vào phương trình (3) ta được:

S² – 2 . (17 + S) = 65

⇔ S² – 2S – 99 = 0

⇔ (S + 9) . (S – 11) = 0

⇔ S = – 9 hoặc S = 11

* Với S = – 9 => P = 8 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² + 9X + 8 = 0

⇔ (X + 1) . (X + 8) = 0

⇔ X = – 1 hoặc X = – 8

Suy ra hệ có 2 nghiệm là:(–1; –8); (–8; –1);

* Với S = 11 ⇒ P = 28 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 11X + 28 = 0

⇔ (X – 4) . (X – 7) = 0

⇔ X = 4 hoặc X = 7

Suy ra hệ có 2 nghiệm là (4;7); (7;4)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: (4;7); (7;4); (–1;–8); (–8;–1).

Câu 5: Hệ phương trình sau: . Đâu không phải là nghiệm đúng của hệ phương trình.

A. (1;6) và (6;1)

B. (2;3) và (3;2)

C. (–3;–7)

D. (–7;–3)

Đáp án: 

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

Đặt S = x + y, P = x . y. Điều kiện: S² >= 4P.

Ta có hệ phương trình:

Thay P = 11 – S vào phương trình (3) ta được:

S² + 3S – 2 . (11 – S) = 28

⇔ S² + 5S – 50 = 0

⇔ (S + 10) . (S – 5) = 0

⇔ S = – 10 hoặc S = 5

* Với S = – 10 => P = 21 (thỏa mãn). Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² + 10X + 21 = 0

⇔ (X + 3) . (X + 7) = 0

⇔ X = – 3 hoặc X = – 7

Suy ra hệ có 2 nghiệm là:(–3; –7); (–7; –3);

* Với S = 5 ⇒ P = 6 (thỏa mãn), Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X² – 5X + 6 = 0

⇔ (X – 2) . (X – 3) = 0

⇔ X = 2 hoặc X = 3

Suy ra hệ có 2 nghiệm là (2; 3); (3;2);

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: (2; 3); (3;2); (–3; –7); (–7; –3).