Vô số nghiệm là thế nào? Phương trình vô số nghiệm khi nào?

1. Vô số nghiệm là thế nào?

Phương trình vô số nghiệm là loại phương trình mà không có giá trị nào của biến có thể thỏa mãn điều kiện của phương trình đó. Nói các khác, khi giải phương trình, ta sẽ thu được kết quả vô số cho biến.

2. Phương trình vô số nghiệm khi nào?

* Có hai nguyên nhân dẫn đến phương trình vô nghiệm, đó là:

– Thứ nhất: trong một bài toán bất kì, tất cả các giá trị của biến đều thỏa mãn điều kiện của phương trình

– Thứ hai, trong một số bài toán, điều kiện của phương trình không sót lạii giới hạn cho việc xác định một giá trị riêng cho biến

Trong cả hai trường hợp này, phương trình sẽ có vô số nghiệm, và việc xác định giải pháp đúng cho bài toán cụ thể sẽ được giải quyết theo các bước của quá trình giải toan

* Để xác định một phương trình có vô số nghiệm, ta cần xét đến các trường hợp cụ thể sau đây:

Trường hợp thứ nhất, phương trình là một tautology: chúng ta có thể hiểu phương trình là một biểu thức luận lý luôn đúng, không cần giải vì dấu ngoặc và việc rút gọn không làm thay đổi kết quả của phương trình.

Trường hợp thứ hai, phương trình bị triệt tiêu: trường hợp này xảy ra khi cả hai vế của phương trình trở thành một biểu thức bằng với các giá trị của biến.

Trường hợp thứ ba, phương trình chứa một biến duy nhất và không có hệ số: Trong trường hợp này, ta có thể dễ dàng nhận thấy phương trình trở thành một tuyên bố về sự bằng nhau của biến với chính nó, vì vậy phương trình có vô số nghiệm.

Trường hợp thứ tư, phương trình cấp cao nhất có hệ số biến thiên là 0. Đối với trường hợp này, phương trình trở thành một tautology vì vế trái bằng vế phải với mọi giá trị bất kì của biến.

3. Một số ví dụ liên quan phương trinh vô số nghiệm:

3.1. Ví dụ:

Ví dụ 1.1. 2 x 3 = 5 ( x + 7 ) là phương trình có ẩn x .5 ( y + 6 ) = y2 + 26 là phương trình có ẩn y .- Nếu x0 là giá trị sao cho A ( x0 ) = B ( x0 ) là một đẳng thức thực thì x = x0 là nghiệm của phương trình A ( x ) = B ( x ).- Một phương trình hoàn toàn có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, vô số nghiệm nhưng cũng có thể có vô nghiệm (phương trình vô nghiệm) – Tập tất cả các nghiệm của một phương trình bằng tập nghiệm của phương trình đó cũng như thường được kí hiệu là S . – Giải một bài toán về phương trình tìm tổng các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ 1.2.* Phương trình x + 2 = 3 có tập nghiệm S = { 1 }* Phương trình ( x – 3 ) ( x2 – 4 ) = 0 có tập nghiệm S = { – 2 ; 2 ; 3 }

* Phương trình 0x = 1; x2 + 1 = 0; à phương pháp vô nghiệm và có tập nghiệm là S

* Phương trình 0 x = 0 ; x2 1 = ( x 1 ) ( x + 1 ) có vô số nghiệm nên S = R- Số tập nghiệm của một phương trình phụ thuộc vào tập số nào là ẩn giá trị cần xét. Ví dụ 1.3 . Phương trình ( 3 x 4 ) ( x2 3 ) = 0 sẽ vô nghiệm trên tập N, Z Xét phương trình ( 3 x 4 ) ( x2 3 ) = 0 có nghiệm ( x = 4/3 ) trên tập q.

Nghiệm của phương trình (3x 4)(x2 3) = 0 có ba nghiệm (x = 4/3,

3.2. Phương trình bậc nhất một ẩn:

Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là các hằng số;

0 dgl phương trình bậc hai một ẩn số.

Ví dụ 3.1. 2 x 1 = 0 ; 4 y + 6 = 0 ; 2 5 t = 0 ; 3 z = 0 ; là phương pháp tốt nhất của một ẩn. Ví dụ 3.2. x ( x 1 ) = 0 ; 0 x + 2 = 0 ; phương trình bậc nhất không ẩn.

Lời giải: ax + b = 0

trục = – b

x = -b/a

nghiệm duy nhất của phương trình ax + b = 0 (a

0) là x = -b/a

3.3. Cách giải phương trình:

 đưa về dạng ax + b = 0 (a

0) (không ẩn trong mẫu):

– Rút mẫu số 2 về bao- Loại bỏ mẫu số .- Thực hiện phép tính và chuyển vế (đổi ẩn về 1 ẩn, hằng về ẩn), đưa phương trình về dạng Ax = B

Ví dụ 4.1. Giải phương trình:

4. Một số bài tập liên quan hệ phương trình có vô số nghiệm:

ĐÁP ÁN

Chọn B vì biến đổi ra ta sẽ được   

Câu 2. Cho hệ phương trình 

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

B. Hệ phương trình vô nghiệm

C. Hệ phương trình có vô số nghiệm

D. Hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

ĐÁP ÁN

Chọn C vì đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có a = 2; b = -3; c = -5; a’ = -6; b’ = 9; c’ = 15 

Suy ra 44

Câu 3. Cho hệ phương trình sau: 

Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì:

A. m = 2.

B. Không tồn tại m.

C. m = -2.

D. Với mọi m.

ĐÁP ÁN

Chọn đáp án A.

Xét m = 0: 

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (loại).

Xét  m ≠ 0: 

Hệ phương trình là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Để hệ phương trình có vô số nghiệm ta có: 

Suy ra: (thỏa mãn)

Câu 4. Cho hệ phương trình (I)

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2:

A. m = -1.

B. Không tồn tại m.

C. m = 1.

D. Với mọi m.

ĐÁP ÁN

Chọn đáp án C.

Xem thêm:  Phương trình bậc 3 vô nghiệm khi nào? Cách chứng minh?

Với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2

Đặt 

Ta có hệ phương trình: (II)

Ta thấy hệ phương trình ẩn u và v là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có:

a = 1, b = m, c = 6, a’ = m, b’ = 1, c’ = 6.

Để hệ phương trình (I) có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2 thì hệ phương trình (II) phải có vô số nghiệm với mọi u, v ≥ 0.

+) Xét m = 0 suy ra 

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

+) Xét m ≠ 0.

Để hệ phương trình (II) phải có vô số nghiệm với mọi u, v ≥ 0 thì: 

Suy ra m = 1

 Bài tập tự luận

Bài 1. Không giải hệ phương trình, hãy chứng minh các hệ phương trình sau có vô số nghiệm.

a) (I)

b) (II)

ĐÁP ÁN

a) Ta thấy hệ phương trình (I) là hệ phương trình hai ẩn bậc nhất với ẩn x và (y + 1).

Ta có: a = 2; b = -3; c = -2; a’ = 6; b’ = -9; c’ = -6

Xét 

Suy ra 

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

b) Điều kiện x ≠ 1 và y ≠ -2.

Đặt 

Ta có hệ phương trình (II) trở thành: (III)

Hệ phương trình (III) có a = 1; b = 2; c= -1; a’ = 4; b’ = 8; c’ = -4

Xét 

Suy ra 

Suy ra hệ phương trình (III) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm thỏa mãn x ≠ 1 và y ≠ -2. 

Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ 2 :

ĐÁP ÁN

Điều kiện: x ≥ 0 và y ≥ 2

Xét m = 0 ta có hệ phương trình: 

 Vậy m = 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán.

Xét m ≠ 0. Đặt 

Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau: 

Để hệ đã cho có vô số nghiệm thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ta thấy hệ (I) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có: 

Suy ra: 

Vậy ta được đáp án m = 1.