Cách làm Dạng toán tìm số hạng thứ n của dãy số hay nhất

1. Công thức tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật:

• Để tìm số hạng cuối cùng của dãy số cách đều, ta sử dụng công thức:

n = Số đầu + khoảng cách x ( n – 1)

• Để xác định số hạng đầu tiên của dãy số cách đều, công thức tương ứng là:

n = Số cuối – khoảng cách x ( n – 1)

• Cách tính tổng của dãy số cách đều là = n – số đầu

2. Bài tập áp dụng hướng dẫn:

2.1. Dạng bài tính số cuối:

Bài 1. Cho dãy số 1, 3 , 5, 7….

Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào ?

Hướng dẫn 

Dãy số cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

20 số hạng thì có khoảng cách là:

20 – 1 = 19 ( khoảng cách )

19 số có số đơn vị là:

19 x 2 = 38 ( đơn vị)

Số cuối cùng là:

1 + 38 = 39

Đáp số: số hạng thứ 20 của dãy là 39.

Bài 2. Cho dãy số 2, 4, 6, 8, 10…..

Số hạng thứ 21 của dãy số là số nào ?

Lời giải chi tiết

Dãy số đã cho là dãy số chẵn nên các số liên tiếp trong dãy cách nhai 1 khoảng cách là 2 đơn vị.

21 số hạng thì có số khoảng cách là : 21 – 1 = 20 (khoảng cách)

20 số có số đơn vị là:

20 x 2 = 38 ( đơn vị )

Số cuối cùng là:

2 + 38 = 40

Đáp số: số hạng thứ 21 của dãy số là 40

2.2. Dạng tính số đầu:

Bài 1. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …., 25, 27, 29. Biết dãy số có 10 số hạng

Hướng dẫn: Dãy số đã cho có các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng bằng 2 đơn vị.

10 số hạng thì có số khoảng cách là:

10 – 1 = 9 (khoảng cách)

Tổng khoảng cách là 2 x 9 = 18 (khoảng cách)

Số hạng đầu tiên của dãy là:  29 – 18 = 12

Đáp số: số hạng đầu tiên của dãy là số 12

Bài 2. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …., 45, 48, 51. Biết dãy số có 10 số hạng

Lời giải chi tiết:

Dãy số đã cho có các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị.

20 số hạng thì có số khoảng cách là:  10 – 1 = 9 ( khoảng cách)

Tổng khoảng cách là: 9 x 3 = 27 (khoảng cách)

Số hạng đầu tiên của dãy là: 51 – 27 = 24

Đáp số: số hạng đầu tiên của dãy là 24.

3. Một số bài tập cơ bản và nâng cao:

Bài 1. Tìm số hạng thứ 200 của dãy số: 1; 3; 7; 13; 21; 31;….

Hướng dẫn: 

Chú ý: phải phân tích các số sao cho có mối liên hệ đến số thứ tự của số đố trong dãy thì mới tìm được.

Nhận xét:

– Số thứ nhất: 1 = 1 + 0  x 1

– Số thứ hai: 3 = 1 + 1 x 2

– Số thứ ba: 7 = 1 + 2 x 3

–  Số hạng thứ tư: 13 = 1 + 3 x 4

– Số hạnh thứ năm: 21 = 1 + 4 x 5

– Số hạng thứ sáu: 31 = 1 + 5 x 6

Quy luật: mỗi số đều bằng tổng của 1 và tích của số thứ tự của nó nhân với số liền trước số thứ tự của nó.

Vậy số thứ 200 là : 1 + 200 x 199 = 39 999

Bài 2. Cho dãy số 2, 4, 6, 8, …

Hỏi số hạng thứ 50 của dãy là số nào ?

Hướng dẫn:

50 số hạng thì số khoảng cách là:

50 – 1 = 49 ( khoảng cách )

49 số có số đơn vị là:

49 x 2 = 98 ( đơn vị )

Số cuối cùng là:

2 + 98 = 100

Đáp số: Số hạng thứ 50 của dãy số là 100.

Bài 3. Tìm số hạng thứ 100 của dãy số 8, 12, 16…

Cách 1:

– Dãy số đã cho có các số liên tiếp cách nhau 4 đơn vị

– 100 số hạng thì có số khoảng cách là: 100 – 1 = 99 (khoảng cách)

– 99 số có số đơn vị là: 99 x 4 = 396 ( đơn vị )

– Số hạng thứ 100 là: 8 + 396 = 404

Đáp số: số hạng thứ 100 là : 404

Cách 2:

– Số thứ nhất : 8 = 4 + 4 x 1

– Số thứ hai: 12 =4 + 4 x 2

– Số thứ ba: 16 = 4 + 4 x 3

 Quy luật: Mỗi số đều cộng  4 với số thứ tự của của nó nhân 4

Vậy số thứ 100 là: 4 + 100 x 4 = 404

Bài 4. Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2003. Số đầu tiên là số nào ?

Hướng dẫn:

2 số lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị

20 số lẻ cách nhau số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 khoảng cách

19 khoảng cách có số đơn vị là: 19 x 2 = 38  ( đơn vị )

Số đầu tiên là : 2003 – 38 = 1965

Đáp số : số lẻ đầu tiên trong dãy là 1965

Bài 4. Viết 50 số lẻ, số cuối cùng là 2019. Số đầu tiên là số nào ?
Hướng dẫn:

2 số lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị

50 số lẻ cách nhau số khoảng cách là: 50 – 1 = 49 ( khoảng cách)

49 khoảng cách có số đơn vị là: 49 x 2 = 98 ( đơn vị )

Số đầu  tiên của dạy số trên là: 2019 – 98 = 1921

Đáp số: 1921

Bài 5. Viết 100 số , số cuối là 2010. Số đầu tiên là số nào ?

Hướng dẫn:

Các số liên tiếp cách nhau 1 đơn vị

100 số cách nhau số khoảng cách là: 100 – 1 = 99 ( khoảng cách )

99 khoảng cách có số đơn vị là : 99 x 1 = 99 ( đơn vị)

Số đầu tiên của dãy số trên là: 2010 – 99 = 1911

Bài 6. Tìm số hạng thứ 350 của dãy số 1, 3, 5, 7…

Cách 1:

– Mỗi số trên dãy số trên cách nhau 2 đơn vị

– 350 số hạng có số khoảng cách là: 350 – 1 = 349 ( khoảng cách )

– 349 khoảng cách có số đơn vị là: 349 x 2 = 698 ( đơn vị )

– Số hạng thứ 350 là: 1 + 698 = 699

Đáp số: 699

Cách 2: 

– Số thứ nhất : 1= 1 x 0 + 1

– Số thứ hai: 3 =1 x 1 + 2

– Số thứ ba: 5 = 1 x 2 + 3

– Số thứ 4: 7 = 1 x 3 + 4

… Quy luật: mỗi số gồm 1 nhân số đằng trước số thứ tự rồi cộng với số thứ tự đó.

Vậy số thứ 350 = 1 x 349 + 350 = 699

Bài 7. Viết 80 số lẻ, số cuối cùng là 3787. Vậy số đầu tiên là bao nhiêu?

2 số lẻ cách nhau 2 đơn vị

80 số lẻ cách nhau số khoảng cách là: 80 – 1= 79 khoảng cách

79 khoảng cách có số đơn vị là: 79 x 2 = 158 ( đơn vị )

Vậy số đầu tiên là: 3787 – 58 = 3629

Bài 8. Cho dãy số 1; 11 ; 21; 31…. Vậy số hạng thứ 200 là bao nhiêu?

Dãy số trên là các số liên tiếp cách nhau 10 đơn vị

200 số hạng cách nhau số khoảng cách là : 200 – 1 = 199 ( khoảng cách )

199 khoảng cách có số đơn vị là: 199 x 10 = 1990 ( đơn vị )

Số hạng thứ 200 là: 1 + 1990 = 1991

Bài 9. Tìm số thứ 100 của các dãy số sau: 4, 8, 12, 16,…

Hướng dẫn:

Cách 1: 

– Số thứ nhất: 4 = 4 x 1

– Số thứ hai: 8 = 4 x 2

– Số thứ ba : 12 = 4 x 3

– Số thứ tư: 16 = 4 x 4

Vậy số thứ 100 là: 4 x 100 = 400

Cách 2: 

Dãy số trên mỗi  số cách nhau 4 đơn vị

100 số hạng có số khoảng cách là : 100 – 1 = 99 ( khoảng cách)

99 khoảng cách có số đơn vị là: 99 x 4 = 396

Số hạng thứ 100 là: 4 + 396 = 400

Bài 10. Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2005. Số đầu tiên là số nào >

Hướng dẫn:

2 số lẻ cách nhau 2 đơn vị

20 số lẻ có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (  khoảng cách )

19  khoảng cách có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 ( đơn vị )

Số đầu tiên là: 2005 – 38 = 1967

Đáp số: số đầu tiên là 1967

4. Một số chú ý khi làm bài tập dạng bài toán tính số hạng thứ n của dãy số để đạt điểm cao:

Khi làm bài tập dạng bài toán tính số hạng thứ $n$ của dãy số để đạt điểm cao, dưới đây là một số chú ý quan trọng:

– Đọc đề bài một cách cẩn thận để hiểu rõ yêu cầu và điều kiện của bài toán.

– Nếu công thức ban đầu có dạng khác nhau, hãy chuyển nó về dạng chuẩn để dễ dàng áp dụng và tính toán.

– Ghi rõ các giá trị đã biết từ đề bài vào công thức, đồng thời kiểm tra tính hợp lý của chúng.

– Khi đã tính được số hạng thứ $n$, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo rằng nó thỏa mãn điều kiện của đề bài.

– Trình bày bài giải một cách rõ ràng và cẩn thận. Đặt bước giải quyết vấn đề một cách logic và có hệ thống.

– Trước khi nộp bài, hãy kiểm tra lại kết quả và chắc chắn rằng tất cả các bước tính toán đều đúng.