Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

1. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tổng quát:

Dạng tổng quát của phương trình đường tròn là: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0….(1)

Cho P(x1, y1), Q(x2, y2) và R(x3, y3) là tọa độ của ba điểm không va chạm.

Chúng ta biết rằng,

Dạng tổng quát của phương trình đường tròn là: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0…

Bây giờ, chúng ta cần thay thế các điểm P, Q và R đã cho trong phương trình này và đơn giản hóa để có được giá trị của g, f và c.

Thay thế P(x1, y1) vào phương trình (1),

x12 + y12 + 2gx1 + 2fy1 + c = 0….(2) 

x22 + y22 + 2gx2 + 2fy2 + c = 0….(3) 

x32 + y32 + 2gx3 + 2fy3 + c = 0….(4)

Từ (2) chúng ta có, 

2gx1 = -x12 – y12 – 2fy1 – c….(5) 

Từ (2) chúng ta cũng thu được, 

c = -x12 – y12 – 2gx1 – 2fy1….(6) 

Từ (4) chúng ta có, 

2fy3 = -x32 – y32 – 2gx3 – c….(7)

Bây giờ, trừ (3) từ (2),

2g(x1 – x2) = (x22 -x12) + (y22 – y12) + 2f (y2 – y1)….(8)

Thay thế (6) vào (7)

2fy3 = -x32 – y32 – 2gx3 + x12 + y12 + 2gx1 + 2fy1….(9)

Bây giờ, thay thế phương trình (8), vào phương trình (9),

2f = [(x12 – x32)(x1 – x2) + (y12 – y32)(x1 – x2) + (x22 – x12)(x1 – x3) + (y22 – y12)(x1 – x3)] / [(y3 – y1)(x1 – x2) – (y2 – y1)(x1 – x3)]

Tương tự, chúng ta ra được 2g:

2g = [(x12 – x32)(y1 – x2) + (y12 – y32)(y1 – y2) + (x22 – x12)(y1 – y3) + (y22 – y12)(y1 – y3)] / [(x3 – x1)(y1 – y2) – (x2 – x1)(y1 – y3)]

Sử dụng các giá trị 2g và 2f này, chúng ta có thể nhận được giá trị của c.

Do đó, bằng cách thay thế g, f và c trong (1), chúng ta sẽ có được phương trình của đường tròn đi qua ba điểm đã cho.

Ví dụ:

Phương trình của đường tròn đi qua các điểm A(2, 0), B(-2, 0) và C(0, 2) là gì?

Lời giải:

Hãy xem xét phương trình chung của đường tròn:

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0….(i)

Thay thế A(2, 0) vào (i),

(2)2 + (0)2 + 2g(2) + 2f(0) + c = 0

4 + 4g + c = 0….(ii)

Thay thế B(-2, 0) vào (i),

(-2)2 + (0)2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0

4 – 4g + c = 0….(iii)

Thay thế C(0, 2) vào (i),

(0)2 + (2)2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 0

4 + 4f + c = 0….(iv)

Cộng (ii) và (iii),

4 + 4g + c + 4 – 4g + c = 0

2c + 8 = 0

2c = -8

c = -4

Thay c = -4 vào (ii),

4 + 4g – 4 = 0

4g = 0

g = 0

Thay c = -4 vào (iv),

4 + 4f – 4 = 0

4f = 0

f = 0

Bây giờ, thay thế các giá trị của g, f và c trong (i),

x2 + y2 + 2(0)x + 2(0)y + (-4) = 0

x2 + y2 – 4 = 0

Hoặc

x2 + y2 = 4

Đây là phương trình của đường tròn đi qua ba điểm A, B và C đã cho.

2. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tọa độ tâm:

* Tọa độ của ba điểm đã cho trên đường tròn phải thỏa mãn phương trình của đường tròn. Với 3 điểm được cho P1 (x1,y1), P2 (x2,y2), và P3 (x3, y3), chúng ta viết được 

(x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2

(x2 – h)2 + (y2 – k)2 = r2

(x3 – h)2 + (y3 – k)2 = r2

Lưu ý rằng cho c = r2, các phương trình trên chỉ đơn giản thể hiện rằng khoảng cách giữa tâm của vòng tròn, của tọa độ  (h, k), và mỗi điểm trong ba điểm là hằng số và bằng bán kính.

* Vì ba phương trình ở dạng Biểu thức = c, chúng có thể được sắp xếp lại trong một hệ thống gồm hai phương trình với hai ẩn số bằng cách viết  E1 = E2 và E1 = E3. (Lưu ý rằng bất kỳ sự kết của hai hoặc ba phương trình đều đươc.) Chúng tôi có

(x1 – h)2 + (y1 – k)2 = (x2 – h)2 + (y2 – k)2 

(x1 – h)2 + (y1 – k)2 = (x3 – h)2 + (y3 – k)2 

Bằng cách mở rộng dấu ngoặc, chúng ta thấy rằng các điều khoản h và k2 bị mất: 

x12 – 2x1h + y12 – 2y1k = x22 – 2x2h + y2 – 2y2k

x12 – 2x1h + y12 – 2y1k = x32 – 2x3h + y3 – 2y3k

Bằng cách giải hệ phương trình này, chúng ta tìm thấy tọa độ của tâm đường tròn (h,k).

* Giai đoạn cuối cùng là thay các giá trị này của h và k trong một trong ba phương trình đầu tiên của tìm giá trị của r2.

* Phương trình của đường tròn khi đó là (x – h)2 +(y – k)2 = r2 với các giá trị của h, k và c mà chúng ta đã tìm thấy.

Ví dụ: 

Giả sử bạn được cho ba điểm (1,1), (1,7) và (4,4) và bạn muốn tìm phương trình của đường tròn đi qua các điểm này. Bước đầu tiên là thiết lập 3 phương trình này bằng cách đóng tọa độ x và y của các điểm vào công thức:

(1 – h)2 + (1 – k)2 = r2

(1 – h)2 + (7 – k)2 = r2

(4 – h)2 + (4 – k)2 = r2

Lưu ý rằng vế bên tay phải đều bằng r2. Điều này có nghĩa là bạn có thể đặt các vế bên trái dấu bằng có giá trị bằng nhau. Nếu bạn làm như thế này cho lần đầu tiên và thứ hai, lần thứ hai và lần thứ ba, bạn sẽ nhận được:

(1 – h)2 + (1 – k)2 = (1 – h)2 + (7 – k)2, và 

(1 – h)2 + (7 – k)2 = (4 – h)2 + (4 – k)2

Phương trình đầu tiên có thể được đơn giản hóa:

(1 – h)2 + (1 – k)2 = (1 – h)2 + (7 – k)2

1 – 2h + h2 + 1 – 2k + k2 = 1 – 2h + h2 + 49 – 14k + k2

1 – 2k = 49 – 14k

12k = 48

k = 4

Phương trình thứ hai có thể được đơn giản hóa:

(1 – h)2 + (7 – k)2 = (4 – h)2 + (4 – k)2

1 – 2h + h2 + 49 – 14k + k2 = 16 – 8h + h2 + 16 – 8k + k2

1 – 2h + 49 – 14k = 16 – 8h + 16 – 8k

18 = -6h + 6k

Vì k = 4, bạn có thể thấy vào y vào để giải cho h: 18 = -6h + 24. Ta thứ được h = 1.

Bây giờ cần phải giải r. Vì bạn có các giá trị k và h, bạn có thể thay các giá trị này vào một trong các phương trình ban đầu để tìm r2. Nếu bạn thay k = 4 và h = 1 vào phương trình đầu tiên, bạn sẽ nhận được

(1 – 1)2 + (1 – 4)2 = r2

0 + 32 = r2

9 = r2

3 = r

Vì vậy, phương trình của đường tròn là (x-1)2 + (y-4)2 = 32. Đây là một đường tròn có tâm tại điểm (1,4) với bán kính bằng 3. 

3. Bài tập viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm:

Bài 1: Tìm phương trình tổng quát đường tròn đi qua các điểm (0, 1), (2, 3) và (-2, 5).

Lời giải:

Phương trình dạng tổng quát của một đường tròn :

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 

Thay điểm (0, 1) vào phương trình:

02 + 12 + 2g(0) + 2f(1) + c = 0

1 + 2f + c = 0

2f + c = -1 —-(1)

Thay điểm (2, 3) vào phương trình:

22 + 32 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0

4 + 9 + 4g + 6f + c = 0

13 + 4g + 6f + c = 0

4g + 6f + c = -13 —-(2)

Thay điểm (-2,5) vào phương trình:

(-2)2 + 52 + 2g(-2) + 2f(5) + c = 0

4 + 25 – 4g + 10f + c = 0

29 – 4g + 10f + c = 0

-4g + 10f + c = -29 —-(3)

Từ (2) + (3) :

(4g + 6f + c) + (-4g + 10f + c) = (-13) + (-29)

4g + 6f + c – 4g + 10f + c = -13- 29

16f + 2c = -42

8f + c = -21 —-(4)

Từ (1) – (4) :

(2f + c) – (8f + c) = (-1) – (-21)

2f + c – 8f – c = -1 + 21

-6f = 20

f = -10/3

Thay f = -10/3 vào (1).

2(-10/3) + c = -1

-20/3 + c = -1

c = 17/3

Thay f = -10/3 và c = 17/3 vào (2).

4g + 6(-10/3) + 17/3 = -13

4g – 20 + 17/3 = -13

4g = 7 -17/3

4g = 4/3

g = 1/3

Thay g = 1/3, f = -10/3 và c = 17/3 vào phương trình tổng quát của đường tròn.

x2 + y2 + 2(1/3)x + 2(-10/3)y + 17/3 = 0

x2 + y2 + (2/3)x – (20/3)y + 17/3 = 0

Nhân cả hai vế với 3.

3(x2 + y2 + (2/3)x – (20/3)y + 17/3) = 3(0)

3×2 + 3y2 + 2x – 20y + 17 = 0

Bài 2: 

Tìm phương trình tổng quát đường tròn đi qua các điểm (0, 1), (2, 3) và có tâm trên đường x – 2y + 3 = 0.

Lời giải: 

Phương trình tổng quát của đường tròn:

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 (1)

Thay điểm (0, 1) vào phương trình:

02 + 12 + 2g(0) + 2f(1) + c = 0

1 + 2f + c = 0

2f + c = -1 (1)

Thay điểm (2, 3) vào phương trình:

22 + 32 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0

4 + 9 + 4g + 6f + c = 0

13 + 4g + 6f + c = 0

4g + 6f + c = -13 (2)

Đối với phương trình tổng quát của một đường tròn

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0,

Tâm bán kính có điểm (-g, -f)

Vì đường tròn có tâm trên đường thẳng x – 2y + 3 = 0, chúng ta có thể thay thế (-g, -f) vào phương trình của đường thẳng.

-g – 2(-f) + 3 = 0

-g + 2f +3 = 0

-g + 2f = -3 (3)

Từ (2) – (1) :

(4g + 6f + c – (2f + c) = (-13) – (-1)

4g + 6f + c – 2f – c = -13 + 1

4g + 4f = -12

g + f = -3 (4)

Từ (3) + (4) :

(-g + 2f) + (g + f) = (-3) + (-3)

-g + 2f + g + f = -3- 3

3f = -6

f = -2

Thay f = -2 vào (4).

g – 2 = -3

g = -1

Thay f = -2 vào (1).

2(-2) + c = -1

-4 + c = -1

c = 3

Thay g = -1, f = -2 và c = 3 vào phương trình tổng quát của đường tròn:

x2 + y2 + 2(-1)x + 2(-2)y + 3 = 0

x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0