Trong Toán học, đa thức là một biểu thức đại số có một hoặc nhiều số hạng có hệ số khác 0. Biểu thức đa thức được tạo thành từ các biến, hệ số và hằng số được kết nối bằng toán tử. Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa đa thức một biến, các thuật ngữ liên quan đến đa thức , phân loại đa thức một biến và các bài tập về Nghiệm của đa thức một biến có lời giải chi tiết
Mục lục bài viết
1. Bài tập về Nghiệm của đa thức một biến có lời giải chi tiết:
Nghiệm của đa thức một biến là các giá trị của biến đó khiến cho đa thức bằng không. Để tìm nghiệm của đa thức, ta có thể sử dụng các phương pháp như phân tích nhân tử, chia đa thức, công thức nghiệm Viète, công thức nghiệm Cardano hay công thức nghiệm Ferrari. Sau đây là các bài tập tính nghiệm của đa thức một biến và lời giải chi tiết:
Bài 1: Tìm bậc của đa thức trong một biến.
x8+x5+3x+10
9
y5+y2-7
Lời giải:
x8+x5+3x+10: Bậc của đa thức là 8, vì bậc cao nhất của đa thức đã cho là 8.
9: Bậc của đa thức là 0. Đa thức đã cho được gọi là đa thức không đổi, vì 9 có thể được biểu diễn dưới dạng 9×0.
y5+y2-7: Bậc của đa thức là 5. Số mũ cao nhất của biến trong đa thức là 5.
Bài 2: Giải 3x – 9
Lời giải:
Đầu tiên, biến phương trình thành 0. Vì vậy,
3x – 9 = 0
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
Hoặc, x = 3.
Vậy nghiệm của 3x – 9 là x = 3.
Bài 3: Giải 3x2 – 6x + x3 – 18
Lời :
Đầu tiên, sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần về độ và bằng 0.
⇒ x3 + 3x2 -6x – 18 = 0
⇒ x2(x+3) – 6(x+3) = 0
⇒ (x2-6)(x+3)= 0
Vậy nghiệm sẽ là x = -3 hoặc x2 = 6
Hoặc, x = ±√6
Bài 4: Tính đa thức f(x) = 5x – 15?
Lời giải:
Cho đa thức, f(x) = 5x – 15
Bây giờ, phương trình đa thức trên với 0
5x – 15 = 0
=> 5(x – 3) = 0
=> x – 3 =0
=> x = 3
Do đó, x = 3 là nghiệm của phương trình (5x – 15 = 0) và (x – 3) là Thừa số của đa thức đã cho. Vì vậy, f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng:
f(x) = 5(x – 3)
Bài 5: Tìm các thừa số và nghiệm của đa thức f(x) = 2×2 – x – 6?
Lời giải:
Cho đa thức, f(x) = 2×2 – x – 6
Bây giờ, phương trình đa thức trên với 0
2×2 – x – 6 = 0
=> 2×2 – 4x + 3x – 6 = 0
=> 2x(x – 2) + 3(x – 2) = 0
=> (x – 2)(2x + 3) = 0
Vậy x – 2 = 0 hoặc 2x + 3 = 0
Do đó, x = 2 và x = -3/2 là các số 0 của Đa thức (f(x) = 2x 2 – x – 6) hoặc nghiệm của phương trình (2x 2 – x – 6 = 0) và (x – 2) & (2x + 3) là các Thừa số của đa thức đã cho. Vì vậy, f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng:
f(x) = (x – 2)(2x + 3)
Bài 6: Tìm các thừa số và nghiệm của đa thức x2 + 5x + 6 đã cho
Lời giải:
Cho đa thức,
x2 + 5x + 6
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
Vậy thừa số của đa thức đã cho là (x + 2) và (x + 3) và nghiệm là x = -2 hoặc x = -3
Bài 7: Tìm các thừa số và các nghiệm của đa thức x2 + 3x – 4
Lời giải:
Cho đa thức,
x2 + 3x – 4
= x2 + 4x – x – 4
= x(x + 4) – 1(x + 4)
= (x + 4)(x – 1)
Vậy thừa số của đa thức đã cho là (x + 4) và (x – 1) và có nghiệm là x = -4 hoặc x = 1
Bài 8: Tìm các thừa số và các nghiệm của đa thức x2 – 7x + 12
Lời giải:
Cho đa thức,
x2 – 7x + 12
x2 – 4x – 3x + 12
x(x – 4) – 3(x – 4)
(x – 4)(x – 3)
Vậy thừa số của đa thức đã cho là (x – 4) và (x – 3) và có nghiệm là x = 4 hoặc x = 3.
Bài 9: Rút gọn đa thức (x2 + 6x + 9) / (x + 3)3
Lời giải:
Ta có: (x2 + 6x + 9) / (x + 3)3
Rút gọn x2 + 6x + 9
x2 + 6x + 9
= x2 + 3x + 3x + 9
= x(x + 3) + 3(x + 3)
= (x + 3)(x + 3)
= (x + 3)2
(x2 + 6x + 9) / (x + 3)3 = (x + 3)2 / (x + 3)3
= 1/(x+3)
2. Định nghĩa đa thức trong một biến:
Trong Toán học, đa thức là một biểu thức bao gồm các biến, hệ số và hằng số, được kết nối bằng các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia. “Đa thức một biến là một biểu thức đại số chứa một biến trong đó.” Một số ví dụ về đa thức một biến được đưa ra dưới đây:
x+2
x2+3x+2
m3+2m2-m
3. Đa thức – Thuật ngữ liên quan:
Các thuật ngữ khác nhau liên quan đến đa thức được đưa ra dưới đây:
– Số hạng: Trong một biểu thức, một số hạng có thể là một biến hoặc hằng hoặc là tích của biến và hằng.
– Hệ số: Hệ số là một giá trị số, được viết cùng với một biến.
– Biến: Biến là một chữ cái đại diện cho giá trị chưa biết trong một biểu thức.
– Hằng: Hằng là một số có giá trị không bao giờ thay đổi trong một biểu thức.
Hãy xem xét một ví dụ, 5x+2
Trong đó, biến là x, hệ số là 5, hằng số là 2 và các số hạng là 5x và 2.
4. Phân loại đa thức trong một biến dựa trên bậc của đa thức:
Các đa thức trong một biến có thể được phân loại dựa trên bậc của đa thức. Trước khi thảo luận về việc phân loại, chúng ta hãy xem xét các bậc của đa thức.
Bậc của đa thức là lũy thừa cao nhất của biến trong đa thức.
Ví dụ: 5x2+ 2x+7
Bậc của đa thức là 2, vì lũy thừa cao nhất của biến “x” trong đa thức là 2.
(Lưu ý: Nếu một đa thức có nhiều hơn một biến thì bậc của đa thức là tổng cao nhất của các biến khác nhau trong bất kỳ số hạng nào)
Dựa vào bậc của đa thức, các đa thức cùng một biến được phân loại như sau:
– Đa thức không hoặc đa thức không đổi
– Đa thức tuyến tính
– Đa thức bậc hai
– Đa thức bậc ba
4.1. Đa thức không hoặc đa thức không đổi:
Nếu bậc của đa thức bằng 0 thì đa thức đó được gọi là đa thức 0 hoặc đa thức không đổi. Những loại đa thức như vậy chỉ có hằng số, không có biến.
Các ví dụ về đa thức không đổi là 2, 5, 7, v.v.
Ở đây, 2 có thể được viết là 2x0, 5 có thể được viết là 5x0, v.v.
4.2. Đa thức tuyến tính:
Nếu bậc của đa thức là 1 (một) thì đa thức đó được gọi là đa thức tuyến tính. Đa thức tuyến tính một biến chỉ có một nghiệm.
Ví dụ về đa thức tuyến tính trong một biến là:
m + 2
y + 5
x + 10
4.3. Đa thức bậc hai:
Đa thức có bậc cao nhất bằng 2 được gọi là đa thức bậc hai. Đa thức bậc hai một biến chỉ có hai nghiệm. Một số ví dụ về đa thức bậc hai một biến là:
9x2 – 10
x2 +5x+9
m2+25
4.4. Đa thức bậc ba:
Nếu số mũ cao nhất của biến trong đa thức là 3 (tức là bậc của đa thức là 3) thì đa thức đó được gọi là đa thức bậc ba. Một đa thức bậc ba một biến có đúng 3 nghiệm. Ví dụ về đa thức bậc ba một biến là:
7x3– 21
8x3+2x+9
10m3 + (5/4)
5. Công thức đa thức:
Một số nhận dạng đa thức được sử dụng rộng rãi sẽ được đề cập dưới đây
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
x2– y2 = (x + y)(x – y)
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)
(x – y)3 = x3 – y3 – 3xy (x – y)
x3+ y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
x3– y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
x3+ y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
(x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab(x + y + z)2 = x2 + y2 + c2 + 2xy + 2yz + 2zx
6. Ứng dụng của công thức đa thức:
Công thức đa thức có nhiều ứng dụng khác nhau, một số ứng dụng quan trọng của nó là,
– Đa thức được sử dụng để xác định phương trình của các lực, đường đi và các khái niệm khác một cách chi tiết.
– Phương trình đa thức được sử dụng để giải thích chi tiết các đại lượng chưa biết và mối quan hệ của chúng với các đại lượng khác.
– Các công thức đa thức được sử dụng để giải các phương trình toán học phức tạp khác nhau.
– Đa thức được sử dụng để ước tính đường cong của đường ray tàu lượn siêu tốc nhằm ước tính độ cong và chiều cao phù hợp của đường ray.
– Đa thức được sử dụng để ước tính chính xác thị trường chứng khoán và theo đó cổ phiếu có thể được mua hoặc bán.
