Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

09/09/202409/09/2024

09/09/2024

Bài viết Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số, đạt kết quả tốt trong các kì thi. Mời các em học sinh tham khảo trong bài viết dưới đây

Mục lục bài viết

1 1. Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:
2 2. Phương trình lôgarit cơ bản:
3 3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:
4 4. Bài tập luyện tập:

1. Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

* Định nghĩa

Phương trình Logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu Logarit, có dạng

logax=b(a>b;a≠1;x>0)

trong đó, x là ẩn số cần đi tìm.

Chứng minh phương trình trên có nghiệm:

– Áp dụng định nghĩa Logarit ta có:

logax=b⇔x=ab

2. Phương trình lôgarit cơ bản:

Bất phương trình Logarit

Tương tự như phương trình Logarit, bất pt Logarit có dạng

logax>b;logax⩾b;logax0;a≠1;x>0

Chứng minh bất phương trình Logarit logax>b có nghiệm

– Xét bất phương trình Loga, ta có:

+ Trường hợp a>1:logax>b⇔x>ab

+ Trường hợp 0b⇔0

– Minh họa bất phương trình logax>b bằng đồ thị với 2 trường hợp, ta có:

Như vậy:

+ Trường hợp a>1: logax>b khi và chỉ khi x>ab

+ Trường hợp 0logax>b khi và chỉ khi 0

– Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit log ax>b bao gồm

logax>b	a>0	a<0<1
Nghiệm	x>ab	0

Ví dụ: log3x>5⇔x>35⇔x=243

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

4. Bài tập luyện tập:

Bài 1: Giải phương trình:

Lời giải chi tiết:

Điều kiện của phương trình là: x + 3 > 0 hoặc x – 1 > 0<=> x > 1

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

<=> (x +3) (x -1) = 5

<=> x^2 + 2x – 8 = 0

<=> x = -4 hoặc x = 2

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {2}.

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Vật phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Bài 3: Tìm tập nghiệm S của phương trình log3(2x+1) -log3(x-1) = 1

Lời giải chi tiết:

Ta có điều kiện xác định 0 2x + 1> 0 và x – 1 > <=> x > 1

<=> x = 4 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình

. Tính x1, x2

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0 và x khác 1

<=> x = 4 hoặc x = 1/4 (thỏa mãn điều kiện đưa ra)

Vậy tích x1. x1 = 4. 1/4 = 1

Bài 5: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: x > 0

Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng 9/16

<=> x > 4 và x < -1 => vô nghiệm hoặc x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Bài 7: Bất phương trình

bao nhieu nghiệm nguyên

A. Bất phương trình có 3 nghiệm nguyên

B. Bất phương trình có 1 nghiệm nguyên

C. Bất phương trình có 4 nghiệm nguyên

D. Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Lời giải chi tiết:

Chọn D. Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Điều kiện xác định của bất phương trình Logarit là:

x + 7 > 0 hoặc x + 1 > 0 <=> x > – 7 hoặc x > -1 <=> x > -1

<=> x^2 + x – 6 < 0

<=> -3 < x < 2

Kết hợp điều kiện bất phương trình logarit ta được – 1 < x < 2

Vì x thuộc Z tìm được x = 0 và x = 1

Bài 8: Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất phương trình logarit sau:

> 0

A. Vô số

B. 1 số nguyên x thoả mãn

C. 0 số nguyên x thoả mãn

D. 2 số nguyên x thoả mãn

Lời giải chi tiết: Đáp án: chọn C. Có 0 số nguyên x thoả mãn

<=> 1 < 2 – x^2 < 2

<=> 2 – x^2 < 2 và 2 – x^2> 1 => x^2 > 0 và x^2< 1 <=> x khác 0 và -1 < x < 1

Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn bất phương trình logarit

> 0.

Bài 9: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A. ( 0 ; 1)

B. (1/8 ; 1)

C. (1 ; 8)

D. (1/8 ; 3)

Lời giải chi tiết: Chọn B. (1/8 ; 1)

Vậy ta có tậm nghiệm của bất phương trìn logarit trên là (1/8 ; 1)

Bài 10: Tập nghiệm của bất phương trình log1/2(2x -1)> -1 là:

Lời giải chi tiết: Chọn C. (1/2 ; 3/2)

Ta có: log1/2(2x -1)> -1 <=> 2x – 1 < 2 hoặc 2x -1 > 0

<=> x < 3/2 hoặc x > 1/2 <=> 1/2 < x < 3/2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên là S = (1/2 ; 3/2)

Bài 11: Bất hương trình log2/3 ( 2x^2 – x +1) < 0 có tập nghiệm là:

A. S = ( 0; 3/2)

B. S = ( -1; 3/2)

Lời giải chi tiết: Chọn C.

log2/3 ( 2x^2 – x +1) < 0 < 0 < => x^2- x + 1 < 0 <=>x < 0 hoặc x > 1/2

Ngoài phương pháp tự luận trên, có thể tham khảo phương pháp trắc nghiệm như sau:

Nhập vào màn hình máy tính log2/3 ( 2x^2 – x +1) < 0

Nhấn CALC và cho x = -5 (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277….

Vậy loại đáp án A và B.

Nhấn CALC và cho x = 1 (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. => C thoả mãn điều kiện.

Bài 12: Cho bất phương trình log7 (x^2 + 2x +2) + 1 > log7 (x^2 + 6x + 5 + m) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1; 3)?

A. Có 35 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

B. Có 36 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

C. Có 34 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

D. Có 33 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

Lời giải chi tiết:

log7 (x^2 + 2x +2) + 1 > log7 (x^2 + 6x + 5 + m)

<=> x^2 + 6x + 5 + m > 0 và log7 (7 (x^2 + 2x +2)) + 1 > log7 (x^2 + 6x + 5 + m)

<=> m > x^2 + 6x + 5 + m và 6x^2+ 8x + 9 > m, với f(x) = –x^2– 6x – 5; g(x) = 6x^2+ 8x + 9

Xét sự biến thiên của hai hàm số f(x) và g(x)

f’(x) = –2x – 6 < 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1; 3)

g’(x) = 12x + 8 > 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1; 3)

Khi đó –12 < m < 23