Đường cao là gì? Tính chất, công thức tính một số đường cao?

Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong tam giác và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Cách tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?

1. Đường cao là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác đó.

Cạnh đối diện được gọi là đáy ứng với đường cao đó.

Giao điểm giữa đáy và đường cao được gọi là chân của đường cao.

Độ dài của đường cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đáy.

Trong một tam giác sẽ có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh của tam giác đó. Ba đường cao này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm.

Trực tâm của tam giác có thể nằm trong (xuất hiện ở tam giác nhọn) hoặc nằm ngoài (ở tam giác tù) hoặc trùng với một đỉnh trong tam giác (xuất hiện ở tam giác vuông).

Lưu ý: Tính chất ba đường cao của tam giác áp dụng theo Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

2. Tính chất của đường cao trong tam giác:

2.1. Tính chất của đường cao trong tam giác cân:

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy. Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác. Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

2.2. Tính chất đường cao trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

2.3. Tính chất đường cao của tam giác vuông cân:

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông lại vừa là tam giác cân.

Đường cao trong tam giác vuông cân đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.

Đồng thời, độ dài của đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông sẽ có độ dài bằng ½ cạnh huyền.

3. Công thức tính đường cao trong tam giác:

3.1. Công thức tính đường cao trong tam giác thường:

Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Hero:

Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

p = (a + b + c) : 2

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.

Giải:

3.2. Công thức tính đường cao trong tam giác cân:

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB=HC= ½BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH²+BH²=AB²

⇒AH²=AB²−BH²

Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30cm, đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

3.3. Công thức tính đường cao trong tam giác đều:

Công thức:

Trong đó: h là đường cao của tam giác đều

                a là độ dài cạnh của tam giác đều

3.4. Công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

                 b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;

                 c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

                 h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

4. Cách dạng toán thường gặp về đường cao trong tam giác:

4.1. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

Nếu H là giao điểm của hai đường cao kẻ từ B và C của ΔABC thì AH ⊥ BC

Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp:

– Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện

– Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó”  để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.

– Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

4.2. Một số bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC đều, cạnh AB = BC = AC = a = 6, kẻ đường cao từ A xuống cắt với BC tại H, tính chiều cao AH.

Giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Giải:

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 70, AB <AC, đường phân giác của góc A cắt BC tại D, BF vuông góc AC tại F, E thuộc AC sao cho AE = AB. Xác định trực tâm của tam giác ABE và tính góc DHF.

Hướng dẫn giải:

Gọi AD cắt BE = I.

Vì AB = AE nên tam giác ABE cân tại A. 

Mặt khác AD là phân giác góc A của tam giác ABC

=> AI là đường cao của tam giác ABE

BF vuông góc với AE => BF là đường cao của tam giác ABE

Mà BF giao AI = H nên H là trực tâm của tam giác ABE

Xét tam giác HEF có: góc FHE = 90 – góc FEH (1)

Xét tam giác HIE có góc EHI = 90 – IEH (2)

Từ (1) và (2) ta có: góc FHD = góc FHE + góc EHI = 180 – góc FEH – góc IEH = 180 – góc FEI

Vì tam giác ABE cân tại A nên góc AEB = góc ABE = (180 – góc BAE) / 2 = (180 – 70) / 2 = 55

=> góc EHD = 180 – góc FEI = 180 – 55 = 125

Bài 4. Cho tam giác ABC có góc A > 90. AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB vuông góc FC

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác FBC có:

AD vuông góc BC nên FD vuông góc BC (1)

BE vuông góc AC => CE vuông góc BF (2)

Từ (1) và (2) suy ra, CE và FD là các đường cao của tam giác FBC mà FD giao CE = A nên A là trực tâm của tam giác FBC

=> A thuộc đường cao hạ từ B của tam giác FBC => AB vuông góc FC

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D bất lỳ (D # A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh ED vuông góc BC.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

AE = AD

góc BAE = góc CAD = 90

AB = AC

Do đó, tam giác ABE = tam giác ACD (cgc)

=> góc ACD = góc ABE (hai góc tương ứng) (1)

Gọi F là giao điểm của CD và BE

Ta có, góc FDB = góc ADC (hai góc đối đỉnh) (2)

góc ADC + góc DCA = 90 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: góc FDB + góc FBD = góc ADC + góc DCA = 90

Trong tam giác FDB có:

góc DFB = 180 -(góc FDB + góc FBD) = 180 -90 = 90

=> CD vuông góc BE

Xét tam giác BEC có:

 AB  vuông góc EC

CD vuông góc BE

mà CD giao AB = D

Nên D là trực tâm của tam giác BEC

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M # A,C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN cùng đi qua một điểm

Hướng dẫn giải:

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB và CP

Xét tam giác DBC có:

AB vuông góc AC => AC vuống góc BD (1)

CP vuông góc BP => BP vuông góc DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra CA và BP là các đường cao của tam giác DBC

mà BP giao AC = m nên M là trực tâm tam giác DBC => DM vuông góc BC

Lại có MN vuông góc BC nên M, N, D thẳng hàng => AB, MN và CP cùng đi qua điểm D

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của BC, đường cao CN cắt AM tại H. Chứng minh rằng BH vuông góc AC.

Hướng dẫn giải:

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC nên Am vừa là đương trung tuyến, vừa là đường cao ứng với BC

=> AM vuông góc BC.

Mặt khác, CN vuông góc AB, AM giao CN = H

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> BH thuộc đường cao hạ từ B của tam giác ABC

=> BH vuông góc AC

Bài 8. Cho tam giác ANC, có góc A = 100, góc C = 30, đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD = 10. Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC ở E. Chứng minh rằng AE vuông góc BD.

Hướng dẫn giải:

Vì góc ADB là góc ngoài tam giác DBC nên:

góc ADB = góc DBC + góc DCB = 10 + 30 = 40

Trong tam giác ABC có:

góc ABC = 180 – góc BAC – góc ACB = 180 – 100 – 30 = 50

góc ABD = góc ABC – góc DBC = 50 -10 = 40

Xét tam giác ABD có góc ABC = góc ABD = 40 => tam giác ABD cân tại A

Gọi I là giao của AE và BD thì AI là phân giác của góc BAD

Mà tam giác ABD cân nên AI cũng là đường cao của tam giác ABD => AI vuông góc BD hay AE vuông góc DB. 

5. Tìm hiểu về trực tâm của tam giác

5.1. Trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ giao nhau tại một điểm, ta gọi đó là trực tâm của tam giác.

Đối với tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm ở miền trong tam giác đó.

Đối với tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.

Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.

5.2. Tính chất của trực tâm:

Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh quan tâm. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:

– Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.

– Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.

– Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tam giác đó đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.