Skip to content
 1900.6568

Trụ sở chính: Số 89, phố Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội

  • DMCA.com Protection Status
Home

  • Trang chủ
  • Về Luật Dương Gia
  • Lãnh đạo công ty
  • Đội ngũ Luật sư
  • Chi nhánh 3 miền
    • Trụ sở chính tại Hà Nội
    • Chi nhánh tại Đà Nẵng
    • Chi nhánh tại TPHCM
  • Pháp luật
  • Văn bản
  • Giáo dục
  • Bạn cần biết
  • Liên hệ Luật sư
    • Luật sư gọi lại tư vấn
    • Chat Zalo
    • Chat Facebook

Home

Đóng thanh tìm kiếm

  • Trang chủ
  • Đặt câu hỏi
  • Đặt lịch hẹn
  • Gửi báo giá
  • 1900.6568
Trang chủ Giáo dục

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

  • 02/06/202502/06/2025
  • bởi Cao Thị Thanh Thảo
  • Cao Thị Thanh Thảo
    02/06/2025
    Theo dõi chúng tôi trên Google News

    Đường tròn là một hình học cơ bản trong toán học và hình học, được định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm là một bài học quan trọng và cơ bản của môn Toán. Vậy cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm như thế nào? Xin mời các em học sinh theo dõi bài viết dưới đây.

      Mục lục bài viết

      • 1 1. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tổng quát:
      • 2 2. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tọa độ tâm:
      • 3 3. Bài tập viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm:

      1. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tổng quát:

      Dạng tổng quát của phương trình đường tròn là: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0….(1)

      Cho P(x1, y1), Q(x2, y2) và R(x3, y3) là tọa độ của ba điểm không va chạm.

      Chúng ta biết rằng,

      Dạng tổng quát của phương trình đường tròn là: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0…

      Bây giờ, chúng ta cần thay thế các điểm P, Q và R đã cho trong phương trình này và đơn giản hóa để có được giá trị của g, f và c.

      Thay thế P(x1, y1) vào phương trình (1),

      x12 + y12 + 2gx1 + 2fy1 + c = 0….(2) 

      x22 + y22 + 2gx2 + 2fy2 + c = 0….(3) 

      x32 + y32 + 2gx3 + 2fy3 + c = 0….(4)

      Từ (2) chúng ta có, 

      2gx1 = -x12 – y12 – 2fy1 – c….(5) 

      Từ (2) chúng ta cũng thu được, 

      c = -x12 – y12 – 2gx1 – 2fy1….(6) 

      Từ (4) chúng ta có, 

      2fy3 = -x32 – y32 – 2gx3 – c….(7)

      Bây giờ, trừ (3) từ (2),

      2g(x1 – x2) = (x22 -x12) + (y22 – y12) + 2f (y2 – y1)….(8)

      Thay thế (6) vào (7)

      2fy3 = -x32 – y32 – 2gx3 + x12 + y12 + 2gx1 + 2fy1….(9)

      Bây giờ, thay thế phương trình (8), vào phương trình (9),

      2f = [(x12 – x32)(x1 – x2) + (y12 – y32)(x1 – x2) + (x22 – x12)(x1 – x3) + (y22 – y12)(x1 – x3)] / [(y3 – y1)(x1 – x2) – (y2 – y1)(x1 – x3)]

      Tương tự, chúng ta ra được 2g:

      2g = [(x12 – x32)(y1 – x2) + (y12 – y32)(y1 – y2) + (x22 – x12)(y1 – y3) + (y22 – y12)(y1 – y3)] / [(x3 – x1)(y1 – y2) – (x2 – x1)(y1 – y3)]

      Sử dụng các giá trị 2g và 2f này, chúng ta có thể nhận được giá trị của c.

      Do đó, bằng cách thay thế g, f và c trong (1), chúng ta sẽ có được phương trình của đường tròn đi qua ba điểm đã cho.

      Ví dụ:

      Phương trình của đường tròn đi qua các điểm A(2, 0), B(-2, 0) và C(0, 2) là gì?

      Lời giải:

      Hãy xem xét phương trình chung của đường tròn:

      Xem thêm:  Viết đoạn văn 200 chữ bàn về lòng khoan dung hay nhất

      x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0….(i)

      Thay thế A(2, 0) vào (i),

      (2)2 + (0)2 + 2g(2) + 2f(0) + c = 0

      4 + 4g + c = 0….(ii)

      Thay thế B(-2, 0) vào (i),

      (-2)2 + (0)2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0

      4 – 4g + c = 0….(iii)

      Thay thế C(0, 2) vào (i),

      (0)2 + (2)2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 0

      4 + 4f + c = 0….(iv)

      Cộng (ii) và (iii),

      4 + 4g + c + 4 – 4g + c = 0

      2c + 8 = 0

      2c = -8

      c = -4

      Thay c = -4 vào (ii),

      4 + 4g – 4 = 0

      4g = 0

      g = 0

      Thay c = -4 vào (iv),

      4 + 4f – 4 = 0

      4f = 0

      f = 0

      Bây giờ, thay thế các giá trị của g, f và c trong (i),

      x2 + y2 + 2(0)x + 2(0)y + (-4) = 0

      x2 + y2 – 4 = 0

      Hoặc

      x2 + y2 = 4

      Đây là phương trình của đường tròn đi qua ba điểm A, B và C đã cho.

      2. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm theo dạng tọa độ tâm:

      * Tọa độ của ba điểm đã cho trên đường tròn phải thỏa mãn phương trình của đường tròn. Với 3 điểm được cho P1 (x1,y1), P2 (x2,y2), và P3 (x3, y3), chúng ta viết được 

      (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2

      (x2 – h)2 + (y2 – k)2 = r2

      (x3 – h)2 + (y3 – k)2 = r2

      Lưu ý rằng cho c = r2, các phương trình trên chỉ đơn giản thể hiện rằng khoảng cách giữa tâm của vòng tròn, của tọa độ  (h, k), và mỗi điểm trong ba điểm là hằng số và bằng bán kính.

      * Vì ba phương trình ở dạng Biểu thức = c, chúng có thể được sắp xếp lại trong một hệ thống gồm hai phương trình với hai ẩn số bằng cách viết  E1 = E2 và E1 = E3. (Lưu ý rằng bất kỳ sự kết của hai hoặc ba phương trình đều đươc.) Chúng tôi có

      (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = (x2 – h)2 + (y2 – k)2 

      (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = (x3 – h)2 + (y3 – k)2 

      Bằng cách mở rộng dấu ngoặc, chúng ta thấy rằng các điều khoản h và k2 bị mất: 

      x12 – 2x1h + y12 – 2y1k = x22 – 2x2h + y2 – 2y2k

      x12 – 2x1h + y12 – 2y1k = x32 – 2x3h + y3 – 2y3k

      Bằng cách giải hệ phương trình này, chúng ta tìm thấy tọa độ của tâm đường tròn (h,k).

      * Giai đoạn cuối cùng là thay các giá trị này của h và k trong một trong ba phương trình đầu tiên của tìm giá trị của r2.

      * Phương trình của đường tròn khi đó là (x – h)2 +(y – k)2 = r2 với các giá trị của h, k và c mà chúng ta đã tìm thấy.

      Xem thêm:  Bài thơ: Viếng Lăng Bác - Viễn Phương (Phan Thanh Viễn)

      Ví dụ: 

      Giả sử bạn được cho ba điểm (1,1), (1,7) và (4,4) và bạn muốn tìm phương trình của đường tròn đi qua các điểm này. Bước đầu tiên là thiết lập 3 phương trình này bằng cách đóng tọa độ x và y của các điểm vào công thức:

      (1 – h)2 + (1 – k)2 = r2

      (1 – h)2 + (7 – k)2 = r2

      (4 – h)2 + (4 – k)2 = r2

      Lưu ý rằng vế bên tay phải đều bằng r2. Điều này có nghĩa là bạn có thể đặt các vế bên trái dấu bằng có giá trị bằng nhau. Nếu bạn làm như thế này cho lần đầu tiên và thứ hai, lần thứ hai và lần thứ ba, bạn sẽ nhận được:

      (1 – h)2 + (1 – k)2 = (1 – h)2 + (7 – k)2, và 

      (1 – h)2 + (7 – k)2 = (4 – h)2 + (4 – k)2

      Phương trình đầu tiên có thể được đơn giản hóa:

      (1 – h)2 + (1 – k)2 = (1 – h)2 + (7 – k)2

      1 – 2h + h2 + 1 – 2k + k2 = 1 – 2h + h2 + 49 – 14k + k2

      1 – 2k = 49 – 14k

      12k = 48

      k = 4

      Phương trình thứ hai có thể được đơn giản hóa:

      (1 – h)2 + (7 – k)2 = (4 – h)2 + (4 – k)2

      1 – 2h + h2 + 49 – 14k + k2 = 16 – 8h + h2 + 16 – 8k + k2

      1 – 2h + 49 – 14k = 16 – 8h + 16 – 8k

      18 = -6h + 6k

      Vì k = 4, bạn có thể thấy vào y vào để giải cho h: 18 = -6h + 24. Ta thứ được h = 1.

      Bây giờ cần phải giải r. Vì bạn có các giá trị k và h, bạn có thể thay các giá trị này vào một trong các phương trình ban đầu để tìm r2. Nếu bạn thay k = 4 và h = 1 vào phương trình đầu tiên, bạn sẽ nhận được

      (1 – 1)2 + (1 – 4)2 = r2

      0 + 32 = r2

      9 = r2

      3 = r

      Vì vậy, phương trình của đường tròn là (x-1)2 + (y-4)2 = 32. Đây là một đường tròn có tâm tại điểm (1,4) với bán kính bằng 3. 

      3. Bài tập viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm:

      Bài 1: Tìm phương trình tổng quát đường tròn đi qua các điểm (0, 1), (2, 3) và (-2, 5).

      Lời giải:

      Phương trình dạng tổng quát của một đường tròn :

      Xem thêm:  Dàn ý Tả cây hoa hồng lớp 4, 5 ngắn gọn và hay nhất

      x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 

      Thay điểm (0, 1) vào phương trình:

      02 + 12 + 2g(0) + 2f(1) + c = 0

      1 + 2f + c = 0

      2f + c = -1 —-(1)

      Thay điểm (2, 3) vào phương trình:

      22 + 32 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0

      4 + 9 + 4g + 6f + c = 0

      13 + 4g + 6f + c = 0

      4g + 6f + c = -13 —-(2)

      Thay điểm (-2,5) vào phương trình:

      (-2)2 + 52 + 2g(-2) + 2f(5) + c = 0

      4 + 25 – 4g + 10f + c = 0

      29 – 4g + 10f + c = 0

      -4g + 10f + c = -29 —-(3)

      Từ (2) + (3) :

      (4g + 6f + c) + (-4g + 10f + c) = (-13) + (-29)

      4g + 6f + c – 4g + 10f + c = -13- 29

      16f + 2c = -42

      8f + c = -21 —-(4)

      Từ (1) – (4) :

      (2f + c) – (8f + c) = (-1) – (-21)

      2f + c – 8f – c = -1 + 21

      -6f = 20

      f = -10/3

      Thay f = -10/3 vào (1).

      2(-10/3) + c = -1

      -20/3 + c = -1

      c = 17/3

      Thay f = -10/3 và c = 17/3 vào (2).

      4g + 6(-10/3) + 17/3 = -13

      4g – 20 + 17/3 = -13

      4g = 7 -17/3

      4g = 4/3

      g = 1/3

      Thay g = 1/3, f = -10/3 và c = 17/3 vào phương trình tổng quát của đường tròn.

      x2 + y2 + 2(1/3)x + 2(-10/3)y + 17/3 = 0

      x2 + y2 + (2/3)x – (20/3)y + 17/3 = 0

      Nhân cả hai vế với 3.

      3(x2 + y2 + (2/3)x – (20/3)y + 17/3) = 3(0)

      3×2 + 3y2 + 2x – 20y + 17 = 0

      Bài 2: 

      Tìm phương trình tổng quát đường tròn đi qua các điểm (0, 1), (2, 3) và có tâm trên đường x – 2y + 3 = 0.

      Lời giải: 

      Phương trình tổng quát của đường tròn:

      x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 (1)

      Thay điểm (0, 1) vào phương trình:

      02 + 12 + 2g(0) + 2f(1) + c = 0

      1 + 2f + c = 0

      2f + c = -1 (1)

      Thay điểm (2, 3) vào phương trình:

      22 + 32 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0

      4 + 9 + 4g + 6f + c = 0

      13 + 4g + 6f + c = 0

      4g + 6f + c = -13 (2)

      Đối với phương trình tổng quát của một đường tròn

      x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0,

      Tâm bán kính có điểm (-g, -f)

      Vì đường tròn có tâm trên đường thẳng x – 2y + 3 = 0, chúng ta có thể thay thế (-g, -f) vào phương trình của đường thẳng.

      -g – 2(-f) + 3 = 0

      -g + 2f +3 = 0

      -g + 2f = -3 (3)

      Từ (2) – (1) :

      (4g + 6f + c – (2f + c) = (-13) – (-1)

      4g + 6f + c – 2f – c = -13 + 1

      4g + 4f = -12

      g + f = -3 (4)

      Từ (3) + (4) :

      (-g + 2f) + (g + f) = (-3) + (-3)

      -g + 2f + g + f = -3- 3

      3f = -6

      f = -2

      Thay f = -2 vào (4).

      g – 2 = -3

      g = -1

      Thay f = -2 vào (1).

      2(-2) + c = -1

      -4 + c = -1

      c = 3

      Thay g = -1, f = -2 và c = 3 vào phương trình tổng quát của đường tròn:

      x2 + y2 + 2(-1)x + 2(-2)y + 3 = 0

      x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0

      Duong Gia Facebook Duong Gia Tiktok Duong Gia Youtube Duong Gia Google

        Liên hệ với Luật sư để được hỗ trợ:

      •   Tư vấn pháp luật qua Email
         Tư vấn nhanh với Luật sư
      -
      CÙNG CHUYÊN MỤC
      • Tệ nạn cờ bạc là gì? Mẫu nghị luận tệ nạn cờ bạc hay nhất?
      • Từ ghép chính phụ là gì? Tính chất và lấy ví dụ minh họa?
      • Từ đơn là gì? Tác dụng của từ đơn? Ví dụ các loại từ đơn?
      • Trung bình cộng là gì? Cách tính trung bình cộng chuẩn?
      • Hiện tượng khúc xạ ánh sáng là gì? Nguyên nhân gây ra?
      • Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì? Xác định tính chẵn lẻ?
      • Phi kim là gì? Tính chất hóa học? Các phi kim thường gặp?
      • Sự điện li là gì? Độ điện li là gì? Các chất điện ly mạnh yếu?
      • Hình thang là gì? Tính chất và cách nhận biết hình thang?
      • Đơn chất là gì? Phân biệt giữa đơn chất và hợp chất?
      • Đường kính là gì? Bán kính là gì? Tâm đường tròn là gì?
      • Sản phẩm của pha sáng là gì? Sản phẩm của pha tối là gì?
      BÀI VIẾT MỚI NHẤT
      • Kinh tuyến là gì? Phân biệt giữa kinh tuyến và vĩ tuyến?
      • Tệ nạn cờ bạc là gì? Mẫu nghị luận tệ nạn cờ bạc hay nhất?
      • Lưu vực sông là gì? Phương pháp xác định lưu vực sông?
      • Tâm lý học hành vi là gì? Học thuyết tâm lý học hành vi?
      • Từ ghép chính phụ là gì? Tính chất và lấy ví dụ minh họa?
      • Từ đơn là gì? Tác dụng của từ đơn? Ví dụ các loại từ đơn?
      • Ô nhiễm không khí là gì? Nguyên nhân ô nhiễm không khí?
      • Công sứ là gì? Công sứ là chức gì? Tìm hiểu về công sứ?
      • Nhiệm vụ, quyền hạn của Giám đốc Công an tỉnh, thành phố
      • Trung bình cộng là gì? Cách tính trung bình cộng chuẩn?
      • Fluoxetine ngôn tình là gì? Fluoxetine trên Facebook là gì?
      • Hiện tượng khúc xạ ánh sáng là gì? Nguyên nhân gây ra?
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      Dịch vụ luật sư uy tín toàn quốc


      Tìm kiếm

      Duong Gia Logo

      •   ĐẶT CÂU HỎI TRỰC TUYẾN
         ĐẶT LỊCH HẸN LUẬT SƯ

      VĂN PHÒNG HÀ NỘI:

      Địa chỉ: 89 Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: dichvu@luatduonggia.vn

      VĂN PHÒNG MIỀN TRUNG:

      Địa chỉ: 141 Diệp Minh Châu, phường Hoà Xuân, quận Cẩm Lệ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: danang@luatduonggia.vn

      VĂN PHÒNG MIỀN NAM:

      Địa chỉ: 227 Nguyễn Thái Bình, phường 4, quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

        Email: luatsu@luatduonggia.vn

      Bản quyền thuộc về Luật Dương Gia | Nghiêm cấm tái bản khi chưa được sự đồng ý bằng văn bản!

      Chính sách quyền riêng tư của Luật Dương Gia

      • Chatzalo Chat Zalo
      • Chat Facebook Chat Facebook
      • Chỉ đường picachu Chỉ đường
      • location Đặt câu hỏi
      • gọi ngay
        1900.6568
      • Chat Zalo
      Chỉ đường
      Trụ sở chính tại Hà NộiTrụ sở chính tại Hà Nội
      Văn phòng tại Đà NẵngVăn phòng tại Đà Nẵng
      Văn phòng tại TPHCMVăn phòng tại TPHCM
      Gọi luật sư Gọi luật sư Yêu cầu dịch vụ Yêu cầu dịch vụ
      • Gọi ngay
      • Chỉ đường

        • HÀ NỘI
        • ĐÀ NẴNG
        • TP.HCM
      • Đặt câu hỏi
      • Trang chủ