Số trung bình cộng, Số trung vị, Mốt: Bài tập và cách giải

1. Số trung bình cộng:

Bảng phân bố tần suất và tần số:

Tên dữ liệu	Tần số	Tuần suất (%)
x1	n1	f1
x2	n2	f2
…	…	…
xk	nk	fk
Cộng	n=n1+…+nk	100%

Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức:

Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp:

ci, fi, ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.

• Ý nghĩa của số trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu.

Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)

Lớp	Giá trị đại diện	Tần số
[5,45 ; 5,85)	5,65	5
[5,85 ; 6,25)	6,05	9
[6,25 ; 6,65)	6,45	15
[6,65 ; 7,05)	6,85	19
[7,05 ; 7,45)	7,25	16
[7,45 ; 7,85)	7,65	8
[7,85 ; 8,25)	8,05	2
		N=74

Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :

Ví dụ 2: Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.

Điểm trung bình là:

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm.

2. Số trung vị:

Kí hiệu: Me

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số trung vị.

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là :

+ Số đứng giữa dãy nếu số phần tử N lẻ: Me =

+ Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử N chẵn:

Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10

Ta có Me = 7

Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5

Ta có Me = = 5,25

3. Mốt:

Kí hiệu: Mo

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M₀. 

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt. Khi đó, có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu Mo1,Mo2 .

Ví dụ :Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Giá tiền	100	150	300	350	400	500
Số quạt bán được	256	353	534	300	534	175

Mốt Mo = 300

• Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n ≥ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).

+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn.

+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng (và nhiều trường hợp khác)

4. Một số bài tập vận dụng và cách giải:

Bài 1: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A được thống kê trong bảng dưới đây:

Số điểm	7	8	9	10
Số học sinh	12	15	8	5

a) Tính số điểm trung bình của các học sinh trên.

b) Tìm mốt trong bảng thống kê trên.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm trung bình của các học sinh lớp 10A là:

b) Ta thấy số học sinh đạt điểm 8 lớn hơn số học sinh đạt điểm 7, 9, 10. Do đó mốt của mẫu số liệu trên là 8.

Vậy M₀ = 8.

Bài 2: Cho các mẫu số liệu sau:

a) 8; 6; 1; 6; 10; 3; 8; 2; 11; 15; 12.

b) 2; 9; 7; 12; 10; 6; 8; 15.

Tính trung vị và tứ phân vị của các mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 3; 6; 6; 8; 8; 10; 11; 12; 15.

Vì cỡ mẫu là n = 11 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 6. Tức là M_e = 8.

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 3; 6; 6.

Do đó Q₁ = 3.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 10; 11; 12; 15.

Do đó Q₃ = 11.

b) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 15

Vì cỡ mẫu là n = 8 nên trung vị của mẫu số liệu trên là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và 5. Tức là M_e = (8+9)/2 = 8,5. 

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8,5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 6; 7; 8.

Do đó Q₁ = (6+7)/2 = 6,5. 

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 10; 12; 15.

Do đó Q₃ = (10+12)/2 = 11. 

THAM KHẢO THÊM:

• Bài tập Tìm m để bất phương trình có nghiệm | Toán 10
• Hệ thức lượng trong tam giác: Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6
• Đồ thị hàm số y= ax b (a ≠ 0) (Bài tập chuyên đề Toán 9)