Lũy thừa là gì? Tính chất và cách tính lũy thừa Toán lớp 6

1. Lũy thừa là gì?

Lũy thừa là một khái niệm quan trọng và cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số. Sự hiểu biết về lũy thừa và cách sử dụng nó có thể mở rộng hiểu biết của chúng ta về nhiều khái niệm toán học khác. Thông thường, lũy thừa được biểu diễn bằng cách sử dụng hai thành phần chính: một số cơ sở và một số mũ. Trong biểu thức mũ, số cơ sở được nhân lên bởi chính nó một số lần đúng bằng số mũ. Ví dụ, nếu chúng ta có biểu thức 2^3, số cơ sở là 2 và số mũ là 3, điều này có nghĩa là chúng ta phải nhân số 2 ba lần (222), và kết quả cuối cùng sẽ là 8. Đây là cách chúng ta diễn giải và hiểu về lũy thừa trong toán học.

2. Lũy thừa với số mũ tự nhiên:

Lũy thừa bậc n của một số a, được biểu thị dưới dạng a^n, không chỉ đơn thuần là việc nhân số a lên chính nó n lần: a^n = a.a.a…a (với n là số lượng lần nhân của số a). Phép toán này còn đóng một vai trò quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các công thức và tính toán liên quan đến hệ số mũ. Trong biểu thức này, số a được gọi là cơ số, trong khi n chính là số mũ.

Theo quy ước chung đã được thiết lập trong toán học:

– a^1 luôn luôn bằng a

– 1^n không thay đổi, luôn bằng 1

– a^0, bất chấp giá trị của a, cũng bằng 1.

Phép nhân nhiều số giống nhau được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Đây là một phép toán cơ bản nhưng lại có tầm quan trọng đặc biệt, không những trong toán học mà còn trong các ngành khoa học khác như vật lý và kỹ thuật.

*Chú ý: a^n có thể được đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n” hoặc “lũy thừa bậc n của a”. Phép toán này có nhiều cách đọc, tùy thuộc vào ngữ cảnh và sự lựa chọn của người nói, nhưng tất cả đều mang ý nghĩa tương tự.

– Khi n = 2, a^2 còn được gọi là “a bình phương” hay “bình phương của a”, nghĩa là số a nhân lên mình hai lần.

– Khi n = 3, a^3 còn được gọi là “a lập phương” hay “lập phương của a”, nghĩa là số a nhân lên mình ba lần. Điều này mở rộng khái niệm của chúng ta về phép nhân, đi từ việc nhân lên mình một lần (a^2), đến hai lần (a^3), và cũng có thể tiếp tục mở rộng với các bậc lũy thừa cao hơn.

Ví dụ:

a. 2^3, có cơ số là 2 và số mũ là 3

b.Tính 3^3.

Số trên là lũy thừa bậc 3 của 3 và là tích của 3 thừa số 3 nhân với nhau nên ta có:

3^3= 3.3.3= 27

0^n không có nghĩa, vì 0 không thể được nâng lên bất kì số mũ nào.

Cuối cùng, với n là số tự nhiên khác 0,có: 10^n = 100….0 (với n là số lượng các chữ số 0). Đây là một quy tắc quan trọng khi làm việc với các số có cơ số 10.

3. Tính chất của lũy thừa:

– Khi ta thực hiện phép nhân giữa hai lũy thừa có cùng cơ số, cơ số sẽ được giữ nguyên và ta sẽ cộng các số mũ lại với nhau. Có thể được biểu diễn như sau:

a^m.a^n = a^m+n.

– Tương tự, khi chúng ta chia hai lũy thừa có cùng cơ số, cơ số vẫn được giữ nguyên nhưng số mũ của cơ số trong phép lũy thừa ở tử số sẽ trừ đi số mũ của cơ số tương ứng trong phép lũy thừa ở mẫu số:

a^m : a^n = a^m-n (a khác 0, m >= n)

*Mở rộng các quy tắc này, có:

– Khi ta lên lũy thừa một tích, kết quả sẽ là tích của lũy thừa các hạng tử. Điều này có thể được hiểu rằng, giả sử bạn có hai số a và b, và bạn nhân chúng lại với nhau và sau đó lên lũy thừa n, kết quả sẽ là tích của a lên lũy thừa n và b lên lũy thừa n. Công thức sẽ là:

 (a.b)^n = (a.b).(a.b)….(a.b) (gồm n thừa số a.b) = a^n. b^n

– Khi ta lên lũy thừa một thương, kết quả sẽ là thương của lũy thừa các hạng tử, miễn là mẫu số khác 0. Ví dụ: nếu bạn có hai số a và b, và bạn chia a cho b và sau đó lên lũy thừa n, kết quả sẽ là a lên lũy thừa n chia cho b lên lũy thừa n. Công thức có thể được viết dưới dạng sau:

(a : b)^n = (a. a. a… a) : (b. b.b… b) (gồm n thừa số a, n thừa số b) = a^n : b^n (b khác 0)

– Khi ta lên lũy thừa một lũy thừa, kết quả sẽ là lũy thừa của cơ số với số mũ mới là tích của số mũ cũ và số mũ mới. Ví dụ: bạn có một số a và bạn lên lũy thừa n, sau đó bạn lên lũy thừa m toàn bộ kết quả đó, kết quả sẽ là a lên lũy thừa n*m. Công thức là:

(a^n)^m = a^n. a^n. a^n… a^n (gồm m thừa số a^n) = a^n.m

4. Cách tính lũy thừa qua các dạng bài tập:

A. Viết kết quả phép tính nhân, chia dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải: Để viết kết quả phép tính dưới dạng lũy thừa, ta cần thực hiện một số bước biến đổi nhất định. Đầu tiên, ta biến đổi phép tính về dạng phép nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc phép chia hai lũy thừa cùng cơ số. Sau đó, ta áp dụng quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc chia hai lũy thừa cùng cơ số. Mục đích của việc này là để viết gọn kết quả, đồng thời giữ cho kết quả đúng và chính xác. Bằng cách làm như vậy, ta có thể đơn giản hóa phép tính mà không làm mất đi ý nghĩa của kết quả cuối cùng.

* Viết gọn các biểu thức sau:

a) 2.2.2.2.2.2.2.2

b) 3.3.9.9.27

c) 100.10.10000.1000

Trả lời:

a) 2.2.2.2.2.2.2.2= 2^8

b) 3.3.9.9.27= 3^2.3^2.3^2.3^3= 3^2+2+2+3= 3^9=

c)  100.10.10000.1000.100000.1000000= 10^2.10.10^4.10^3.10^5.10^6= 10^2+1+4+3+5+6= 10^21

* Viết kết quả phép tính là một lũy thừa

a. 5^2. 5^3. 5^4

4^2. 4^3. 4^4 = 5^2+3+4 = 4^9

b. 8^7 : 8^3

 2^9 : 2^5 = 2^9-5 = 2^4

c. 9^5 : 3^7

9^5 : 3^7 = (3^2)^5 : 3^7 = 3^10 : 3^7 = 3^3

*So sánh

a. 2^3 và 8^3

b. 4^9 và 6^3

Trả lời:

a. Ta có 8^3=(2^3)^2=2^3.2=2^6

⇒2^3<8^2

b. 4^9=4^3.3=(4^3)^3= 64^3>6^3

⇒4^9 > 6^3

B.So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa. Tìm số mũ của lũy thừa

Phương pháp: Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể áp dụng ba phương pháp sau đây, tùy thuộc vào tình huống cụ thể:

C1:Đưa lũy thừa về cùng cơ số là số tự nhiên rồi so sánh hai số mũ. Trong trường hợp này, nếu m > n thì a^m > a^n. Đây là một phương pháp phổ biến và hiệu quả khi cả hai số đều có cùng cơ số.

C2: Đưa lũy thừa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số. Theo cách này, nếu a > b thì a^m > b^m. Đây là cách thức tốt khi số mũ của cả hai số đều giống nhau.

C3: Tính cụ thể từng lũy thừa rồi so sánh. Đây là phương pháp cuối cùng, nó đòi hỏi tính toán cụ thể cho mỗi số và sau đó so sánh kết quả. Nó có thể mất thời gian hơn nhưng cũng rất chính xác.

Ví dụ, so sánh hai số sau:  2^60 và 10^8

Trả lời:

16^8 = (2^4)^8 = 2^4.8 = 2^32

Vì 32 < 60 nên 2^32 < 2^60, do đó 10^8 < 2^60