Tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu

1. Khái niệm về dạng toán tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu:

– Phương trình là một dạng biểu thức trong toán học có chứa hai phần là các biến số và các phép toán, trong đó, giá trị của các biến được tìm kiếm sao cho cả biểu thức sẽ là một phép tính đúng.Trong toán học, phương trình là một điều khẳng định hai vế có sự bằng nhau của hai biểu thức và hai biểu thức được nối với nhau bằng dấu bằng “=”. Phương trình gồm từ kết hợp với số tạo ra một phương trình với ý nghĩa khác nhau một cách tinh vi và ứng dụng nhiều trong toán học và cuộc sống đặc biệt là kỹ thuật.

– Phương trình căn bậc hai là phương trình có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0), Trong đó, x là ẩn số; a,b,c”>a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số với điều kiện là a≠0″>a≠0. Giải phương trình bậc 2 nghĩa là chúng ta đi tìm các giá trị của x sao cho nếu thay x vào phương trình bậc hai đó thì phương trình bậc hai ra kết quả hai vế bằng nhau ax2+bx+c=0.

Các giá trị của x ta gọi là nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình có hai dạng: Nghiệm cùng dấu và nghiệm trái dấu. Nghiệm cùng dấu có nghiệm cùng dấu dương và nghiệm cùng dấu âm. Để làm được dạng bài này ta cần nắm chắc các kiến thức về giải phương trình bậc hai, định lý vi ét và điều kiện cho phương trình có nghiệm trái dấu và cùng dấu.

– Một số trường hợp đặc biệt để giải bài toán nhanh hơn: trường hợp b=0 và c=0

a) Trường hợp c=0 thì phương trình có dạng: ax2+bx=0 ⇔ x(ax+b)=0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=0,x2=−b/a

b) Trường hợp b=0 thì phương trình có dạng ax2+c=0 ⇔x2=−c/a

Nếu a,c cùng dấu −c/a <0 =>  phương trình vô nghiệm.

Nếu a,c trái dấu −c/a>0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1=−√(−c/a),x2=√(−c/a)

2. Một số công thức thường gặp về dạng toán tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu:

Công thức nghiệm của phương trình: ax2+bx+c=0(a≠0)

Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) và công thức Δ=b2−4ac”>Δ=b2−4ac. Phường trình sẽ có 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu Δ<0″>Δ<0 thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2:. Nếu  Δ=0″>Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b2a”>x1=x2=−b/2a.

Trường hợp 3: Nếu Δ>0″>Δ>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+Δ2a”>x1=(−b+√Δ) /√2a, x2=−b−Δ2a”>x2=(−b−√Δ)/√2a.

Định lý Vi-ét: Ta có phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì: 

S = x1 + x2 = – b/a

P = x1*x2 = c/a

Lưu ý khi sử dụng định lý là trước khi áp dụng, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu và cùng dấu:

– Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu là:  a.c < 0

– Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu:  ∆ ≥ 0 và P>0

(trường hợp 2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì thay ∆ ≥ 0 bằng ∆ > 0)

– Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu dương:  ∆ ≥ 0, P>0 và S>0

(trường hợp  2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì thay ∆ ≥ 0 bằng ∆ > 0)

– Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu âm:  ∆ ≥ 0, P>0 và S<0

(trường hợp  2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì thay ∆ ≥ 0 bằng ∆ > 0)

3. Bài toán tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu:

Bài 1: Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

A. m < -3

B. m > 2

C. m > 6

D. m < -4

Đáp án của bài là A. Bởi vì: 

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu âm khi và chỉ khi:

Δ = (2m + 1)2 – 4(m2 + m – 6) = 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 4m + 24 = 25 >0 với mọi giá trị của m (1)

S=-b/a= 2m + 1<0 => m<-1/2 (2)

P=c/a= m2 + m – 6>0 => m<-3 hoặc m>2 (3)

Từ (1), (2),(3) => m<-3. Vì vậy ta chọn A

Bài 2: Phương trình bậc hai:  x2 – 2mx + 2m – 4 = 0. Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020?

A. 2018

B. 2016

C. 2019

D. 2017

Đáp án của bài này là: D. Bởi vì: 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương khi

Với Δ’ > 0 ⇔ m2 – (2m – 4) > 0 ⇔ (m2 – 2m + 1) + 3 > 0 ⇔ (m – 1)2 + 3 > 0 ∀ m (1)

Với P > 0 ⇔ 2m-4>0 ⇔ m>2 (2)

Với S > 0 ⇔ 2m>0 ⇔  m>0 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra m>2, tập giá trị của m là (2,+∞)

Đề bài là tìm giá trị m nhỏ hơn 2020 nên 2

Bài 3: Cho phương trình bậc 2: mx2 + 2(m – 2)x + m – 3 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

A. m < 3

B. 1 < m < -1

C. m > 0

D. 0

Đáp án đúng của bài là: D. Bởi vì:

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m ≠ 0 và a.c < 0

a.c= m*(m-3) <0 ⇔ m<0 và m-3<0 ⇔m<3

Suy ra các giá trị m cần tìm là 0 < m < 3. 

Bài 4: Cho phương trình bậc hai: x2 – 8x + m + 5 = 0. Để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu thì ta gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của m. Tính tổng tất cả các phần tử của S?

A. 18

B. 30

C. 56

D. 29

Đáp án của bài là D. Bởi vì:

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi

Với Δ’ ≥ 0 ⇔ 16 – m – 5 ≥ 0 ⇔ 11-m ≥ 0 ⇔ m ≤ 11 (1)

Với P > 0 ⇔ m + 5 > 0 ⇔ m > -5(2)

Từ (1), (2) ta có các giá trị m cần tìm là -5 < m ≤ 11

Suy ra S = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

Vì vậy, tổng tất cả các phần từ của S là 56 phù hợp với đáp án C của bài

Bài 5: Cho phương trình bậc hai: 2m2 + mx + m – 3 = 0. Tìm m để thỏa mãn điều kiện: có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. 

A. -1 < m < 3

B. m < 2

C. 0 < m < 3

D. m > -3

Đáp án của phương trình là C. Bởi vì:

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a.c < 0 ⇔ 2.(m-3) < 0 ⇔ m < 3 (1)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: x1 < 0 < x2

Với m < 3 , áp dụng hệ thức Vi- ét ta có:

Vì nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương nên:

|x1| > |x2| trong đó x1 < 0; x2 > 0 nên   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < m < 3

Vậy 0 < m < 3 thì phương trình thỏa mã điều kiện có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

4. Một số bài liên quan:

1. Phương trình bậc hai: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

A. m = -3

B. m = 1

C. m = 4

D. m = 2

Đáp án đúng của bài là: B

2. Cho phương trình bậc hai:  mx2 – (5m – 2)x + 6m – 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

A. m=2/5

B. M=-2/5

C. M=2

D. M=5

Đáp án đúng của bài là: A

3. Cho phương trình bậc hai:  x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

A. m = -3

B. m = 1             

C. m = 4

D. m = 2

Đáp án đúng của bài là: B

4. Cho phương trình bậc hai:x2−(2m+1)+m2+m−6=0. Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm âm.

5. Tìm m để phương trình  x2 – (2m + 3)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm.

Đáp án của bài là: không có giá trị nào của m thảo mãi điều kiện có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm.

6. Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Đáp án của bài là: Phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

7. Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2−1=0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

Đáp án của bài là: để phương trình có hai nghiệm dương thì −1<m<0 

8. Tìm m để phương trình  3×2 – 4mx + m < 2 – 2m – 3 = 0 thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Đáp án của bài là: m > 3 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu