Số thực là gì? Ký hiệu số thực? Số thực gồm những số nào?

1. Số thực là gì?

Số thực trong tiếng Anh được gọi với cái tên là Real numbers, đây là một tập hợp số bao gồm tất cả số 0, số nguyên dương (1,2,3,…), số nguyên âm (-1,-2,-3,…), các số hữu tỉ (1/2, -3/5,…), các số vô tỉ (số pi, số √ 5,…).

Hiểu một cách đơn giản, tập hợp số thực chính là tập hợp của các số vô tỉ và các số hữu tỉ. Số thực có thể là số đại số hoặc là những số siêu việt. Số thực bao gồm số 0, số thực dương, số thực âm.

Số thực có thể được xem như là tất cả các điểm nằm trên một trục số dài vô hạn. Khi đó, trục số thực được biểu thị là một trục số nằm ngang biểu diễn tập số thực R của các số thực, trên trục số thực đó mỗi số thực đều có thể được biểu diễn bằng 1 điểm. 

Kí hiệu của tập hợp số thực là R.

Vào thế kỷ 17, một nhà toán học người Pháp có tên là Rene Descartes sử dụng khái niệm số thực lần đầu tiên để biểu thị phân biệt các giá trị nghiệm thực của đa thức với các giá trị nghiệm ảo của đa thức. Đến năm 1871 khái niệm số thực chuẩn xác nhất do một nhà toán học có tên là Georg Cantor công bố và sử dụng khái niệm số thực này cho tới tận ngày nay.

2. Số thực bao gồm những số nào?

Tập hợp số thực sẽ bao gồm các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Do vây, số thực là tập hợp số lớn nhất. 

Bất kì số thực khác đều có thể là số âm hoặc là số dương, trừ số 0 nằm ở trung tâm trục số. Tập hợp số thực bản chất đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên, do quy mô của tập hợp số thực quá lớn nên số lượng các số thực là không thể đếm được.

Tóm lại, tập hợp số thực R sẽ bao gồm:

• Tâp hợp các số tự nhiên (kí hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số nguyên (kí hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là Q): Q = {x = a/b; với điều kiện là số a,b ϵ Z, và b ≠0} 
• Tập hợp các số vô tỉ (kí hiệu là I): I ={số thập phân vô hạn không có tuần hoàn, ví dụ số pi, các số căn như √2, √3,…}

3. Tính chất của số thực:

Số thực có các tính chất cơ bản như sau:

• Bất kỳ số thực nào khác 0 đều là một số âm hoặc một số dương.
• Tổng hoặc tích của hai số thực không âm cũng chính bằng một số thực không âm. 
• Số thực được tạo nên bởi một tập hợp vô hạn có các số vô cùng nhiều và không thể đếm được hết các số thực. (Trong khi đó, các số tự nhiên là tập hợp vô hạn đếm được.)
• Số thực có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được các số thực ( đó chính là đại số, số nguyên, số hữu tỷ,… )
• Số thực có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân.
• Số thực có thể được sử dụng dùng để thể hiện cho các phép đo đại lượng liên tục.

4. Thuộc tính của số thực:

Số thực có hai thuộc tính cơ bản đó là: Thuộc tính cận trên thấp nhất và thuộc tính trường có thứ tự. Cụ thể như sau:

Thuộc tính cận trên thấp nhất:

Thuộc tính này giúp cho chúng ta biết rằng nếu tập hợp của một số thực không trống có giới hạn trên thì tập hợp số thực này có cận trên chính là những số thực nhỏ nhất.

Thuộc tính trường có thứ tự:

Thuộc tính này cho biết rằng các số thực bao gồm một trường, với phép toán cộng, trừ, nhân cùng với phép chia cho các số khác 0,  có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một trục số hoành theo một cách tương thích với phép cộng và phép nhân.

5. Các dạng bài tập cơ bản về số thực:

5.1. Dạng 1: Câu hỏi và bài tập về định nghĩa các tập hợp số:

Phương pháp giải:

Để giải được dạng bài tập này, trước hết phải nắm chắc các ký hiệu của tập hợp số cũng như ý nghĩa của từng ký hiệu và các quan hệ của tập hợp số đó. Cụ thể như sau:

• Tập hợp các số thực được ký hiệu là: R
• Tập hợp các số tự nhiên được ký hiệu là: N
• Tập hợp các số nguyên được ký hiệu là: Z
• Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là: Q
• Tập hợp các số vô tỉ được ký hiệu là: I
• Ký hiệu ∈ được đọc là “thuộc” hoặc là “phần tử của”
• Ký hiệu ∉ được đọc là “không thuộc” hoặc là “không phải là phần tử của”
• Ký hiệu ⊂ được đọc là “tập hợp con của”

Quan hệ của các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R và I ⊂ R.

• Khi so sánh giữa các phần tử với tập hợp thì sử dụng ký hiệu ∈ và ∉.
• Khi so sánh giữa các tập hợp với nhau thì sử dụng ký hiệu ⊂

Ví dụ 1: Điền các dấu ∈, ∉ và ⊂ vào các chỗ trống (…) dưới đây sao cho phù hợp:

I … R                  N … Z                   -1,5 …Q                0,5(3) … I                       25 … R     

Hướng dẫn giải:

I ⊂ R                  N ∈ Z                    -1,5 ∈ Q               0,5(3) ∉ I                       25 ∈ R

Ví dụ 2: Nhận định: Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm. Nhận định này đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Hướng dẫn giải:

Nhận định này là sai. 

Giải thích: Bởi vì trừ số 0 ra thì số vô tỉ không phải là số hữu tỉ dương và cũng không phải là số hữu tỉ âm.

5.2. Dạng 2: So sánh các số thực:

Phương pháp giải:

Để giải dạng bài tập này cần phải nắm chắc kiến thức dưới đây:

• Với hai số thực x và y bất kì, ta sẽ có như sau: x = y hoặc x < y hoặc x > y.
• Với các số thực lớn hơn số 0 thì được gọi là số thực dương và ngược lại, các số thực nhỏ hơn số 0 thì được gọi là số thực âm.
• Số 0 không phải là số thực dương cũng không là số thực âm.
• Khi so sánh các số thực dương cũng là tương tự như khi so sánh các số hữu tỉ.
• Với hai số a và b là hai số thực dương, điều kiện nếu a > b thì √a > √b.

Ví dụ: Cho các số thực sau: -10; 4, -1,5; 5; 5,5 . Hãy sắp xếp các số thực này theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Hướng dẫn giải:

Sắp xếp các số thực trên theo thứ tự từ lớn đến nhỏ là:

5,5 > 5 > 4 > 1,5 > -10.

5.3. Dạng 3: Tìm một số chưa biết ở trong một đẳng thức:

Phương pháp giải:

Để giải dạng toán này cần phải thực hiện như sau:

• Sử dụng đến các tính chất của các phép toán học.
• Sử dụng đến quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu; sử dụng đến các quan hệ đến các thừa số trong một tích hay quan hệ giữa các số bị chia, số chia và thương ở phép chia.
• Sử dụng theo những quy tắc “chuyển vế” hoặc “dấu ngoặc”.

Ví dụ: Hãy tìm giá trị x khi biết 25x + (-8)x + 7 = 12.

Hướng dẫn giải:

25x + (-8)x + 7 = 12

[ 25 + (-8)]x + 7 = 12

17x + 7 = 12

17x = 12 – 7

17x = 5

x = 5 : 17

x = 5/17

Kết luận: Vậy x bằng 5/17 chính là giá trị x cần phải tìm.

5.4. Dạng 4: Hãy tính giá trị của biểu thức:

Phương pháp giải:

Để giải dạng bài tập này cần phải thực hiện như sau:

• Thực hiện phối hợp nhuần nhuyễn các phép tính toán cộng, trừ, nhân chia, luỹ thừa. Trong quá trình thực hiện tính toán cần thực hiện theo đúng thứ tự đã được quy định. 
• Rút gọn các phân số về tối giản nhất nếu có thể.
• Để quá trình tính toán được diễn ra một cách thuận tiện cần vận dụng tính chất của các phép toán.

Ví dụ : Cho hai biểu thức sau: 

a) A = ( 0,15 + 2,24 ).( ¼.5 – ¾.7 )+ 25,25.

b) B = ( ½.15 – ¼.3 ). ( -25 – 2,45 ) – 35 + 250.

Giá trị biểu thức A và biểu thức B bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

a) A = ( 0,15 + 2,24 ).( ¼.5 – ¾.7 ) + 25,25

A = 2,39 .( 0,25.5 – 0,75.7 ) + 25,25

A = 2,39 .( 1,25 – 5,25 )  + 25,25

A = 2,29.(-4) + 25,25

A = -9,16 + 25,25

A = 16,09.

b) B = ( ½.15 – ¼.3 ) – ( -5 – 2,45 )+ 250.

B = ( 7,5 – 0,75 ) – (-7,45) + 250

B = 6,75 – (-7,45) + 250

B = 14,2 + 250

B = 264,2

Kết luận: Vậy giá trị của biểu thức A =16,09 và B = 264,2.