Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta cần biết được ít nhất hai điểm đi qua đường thẳng hoặc một điểm trên đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Để hiểu hơn về phương trình tổng quát của đường thẳng, mời các bạn tham khảo bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Ox và Oy dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Ox và Oy:
– Đường thẳng Ox đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến n→(0;1)”> nên có phương trình tổng quát là:
0.(x–0)+1.(y–0)=0⇔y=0″>
Vậy, phương Trình của đường thẳng ox là :y = 0x+0 .
– Đường thẳng Oy đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến n→(1;0)”> nên có phương trình tổng quát là:
1.(x–0)+0.(y–0)=0⇔x=0″>
1.(x–0)+0.(y–0)=0⇔x=0″>
2. Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng:
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10, chúng ta cần biết được ít nhất hai điểm đi qua đường thẳng hoặc một điểm trên đường thẳng và một
vectơ chỉ phương của đường thẳng. Sau đây là cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng thông qua hai điểm đi qua đường thẳng.
– Xác định hai điểm đi qua đường thẳng: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta cần xác định được hai điểm (P₁(x₁, y₁) và P₂(x₂, y₂)) mà đường thẳng đi qua.
– Tính gradient của đường thẳng: Sử dụng công thức để tính gradient (độ dốc) của đường thẳng: m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).
– Tính hệ số góc và hệ số giao của đường thẳng: Sử dụng gradient (m) và một trong hai điểm (P₁ hoặc P₂) để tính hệ số góc (c) bằng cách sử dụng công thức c = -m. Sau đó, tính hệ số giao (d) bằng cách sử dụng công thức d = y – cx, trong đó (x, y) là một trong hai điểm.
– Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Sử dụng hai hệ số góc (c) và giao (d) đã tính được, ta có thể viết phương trình tổng quát của đường thẳng dưới dạng ax + by + c = 0, với a = -c và b = 1.
Ví dụ: Giả sử chúng ta có hai điểm đi qua đường thẳng là P₁(2, 3) và P₂(4, 5).
Bước tiếp theo là tính gradient (m) bằng cách sử dụng công thức trên: m = (5 – 3) / (4 – 2) = 1.
Sau đó, tính hệ số góc (c) bằng cách sử dụng công thức c = -m: c = -1.
Tiếp theo, tính hệ số giao (d) bằng cách sử dụng công thức d = y – cx với điểm P₁: d = 3 – (-1)(2) = 5.
Vậy, phương trình tổng quát của đường thẳng là x – y + 5 = 0.
3. Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng:
Công thức viết phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian 2 chiều là: Ax + By + C = 0,
Trong đó A, B và C là các hệ số xác định đường thẳng đó và x, y là các biến số trong phương trình.
Để tìm được công thức tổng quát này, ta cần biết ít nhất một điểm trên đường thẳng và một vector chỉ phương của đường thẳng.
– Giả sử ta đã có một điểm P(x₀, y₀) thuộc đường thẳng. Với điểm này, ta có thể tính được giá trị của A, B và C theo công thức sau:
A = B = (y – y₀) / (x – x₀)
C = – Ax₀ – By₀
– Nếu ta đã có một vector chỉ phương của đường thẳng, ta có thể sử dụng nó để tìm ra A, B và C. Để làm điều này, ta cần chuyển vector này thành (A, B) bằng cách lấy từng phần tử của vector và chia cho độ dài của vector:
A = u / |v|
B = v / |v|
Trong đó u và v là các thành phần của vector chỉ phương của đường thẳng, |v| là độ dài của vector. Sau đó, ta cần tìm đến một điểm P trên đường thẳng và sử dụng điểm này để tính C theo công thức:
C = – Ap – Bq
Trong đó A và B đã tính ở bước trước và (p, q) là tọa độ của điểm P.
Như vậy, với một điểm và vector chỉ phương của đường thẳng, ta có thể tính được công thức tổng quát của đường thẳng.
4. Đường thẳng Ox và Oy có mối quan hệ gì với nhau?
Đường thẳng Ox và Oy có mối quan hệ vuông góc với nhau trong hệ tọa độ không gian Oxyz.
– Đường thẳng Ox có phương trình là x=ta=1z=1, trong đó t là một tham số. Đường thẳng này đi qua các điểm có tọa độ (1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0), v.v. Đường thẳng này song song với mặt xy và có hướng từ điểm O (0, 0, 0) theo trục x.
– Đường thẳng Oy có phương trình là y=0x+0, là phương trình của mặt phẳng xy. Đường thẳng này đi qua các điểm có tọa độ (0, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 3, 0), v.v. Đường thẳng này song song với mặt xz và có hướng từ điểm O (0, 0, 0) theo trục y.
Vì đường thẳng Ox và Oy là hai đường thẳng song song và đi qua điểm O, nên chúng có mối quan hệ vuông góc với nhau.
5. Bài tập vận dụng có đáp án:
Bài 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n→ = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x – 2y + 1 = 0. B. 2x + y = 0 C. x – 2y – 5 = 0 D. x – 2y + 5 = 0
Lời giải
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = (1; -2) làm VTPT
=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x – 1) – 2(y + 2) = 0 hay x – 2y – 5 = 0
Chọn C.
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ n→(1; 2) làm vectơ pháp tuyến.
A. ∆: x + 2y + 5 = 0 B. ∆: x + 2y – 5 = 0 C. ∆: 2x + y + 1 = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n→(1; 2)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x – 1) + 2(y + 3) = 0
Hay x + 2y + 5 = 0
Chọn A.
Bài 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình
A. x – 2y – 3 = 0 B. x – 2y + 5 = 0 C. x – 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0
Lời giải
Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x – 2y + c = 0 (c ≠ 1)
Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 – 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3
Vậy phương trình ∆: x – 2y – 3 = 0
Chọn A
Bài 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình
A. 3x – 4y + 8 = 0 B. 3x – 4y – 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0
Lời giải
Ta có BC→ = (-6; 8)
Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC
⇒ AA’ nhận VTPT n→ = BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2)
Suy ra phương trình AA’: -6(x – 1) + 8(y + 2) = 0
Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x – 4y – 11 = 0.
Chọn B
Bài 5. Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyến n→( 1; 5) có phương trình tổng quát là:
A. d: x + 5y + 2 = 0 B. d: x- 5y + 2 = 0 C. x + 5y + 14 = 0 D. d: x – 5y + 7 = 0
Lời giải
Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT n→( 1; 5)
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
1( x – 1) + 5.(y + 3) = 0 hay x + 5y + 14 = 0
Chọn C.
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
A. 7x + 3y – 11 = 0 B. -3x + 7y + 5 = 0 C. 3x + 7y + 2 = 0 D. 7x + 3y + 15 = 0
Lời giải
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.
Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPT BC→( 7; 3)
⇒ Phương trình đường cao AH :
7( x – 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0
Chọn A.
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và
M( -2 ; 1). Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. x + y – 3 = 0 B. 2x – y + 6 = 0 C. x – y + 3 = 0 D. x + y + 1 = 0
Lời giải
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
⇒ AM vuông góc BC.
⇒ Đường thẳng BC nhận AM→( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT
+ Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPT n→( 1; -1)
⇒ Phương trình đường thẳng BC :
1(x + 2) – 1(y – 1) = 0 hay x – y + 3 = 0
Chọn C.
THAM KHẢO THÊM:
