Hình chóp tứ giác đều là gì? Các công thức có liên quan?

1. Hình chóp tứ giác đều là gì?

Hình chóp tứ giác đều là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học học thuật. Để hiểu rõ về hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần tìm hiểu về đặc điểm cơ bản của nó.

Một hình chóp tứ giác đều là một hình chóp có đáy là một tứ giác đều và tất cả các cạnh của chóp có cùng độ dài và cùng hướng. Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh nối đỉnh của chóp với các đỉnh của đáy đều có cùng độ dài và tạo thành các góc bằng nhau. Hình chóp tứ giác đều có đặc điểm độ đối xứng cao và đối xứng xoay, làm cho nó trở thành một đối tượng hình học đẹp mắt và đặc biệt quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Đặc điểm chung của hình chóp tứ giác đều bao gồm đỉnh chóp, đỉnh đáy, cạnh bên, cạnh đáy, diện tích bề mặt và thể tích. Đỉnh chóp là điểm nằm trên mặt đỉnh của hình chóp, là nơi tất cả các cạnh nối với nhau. Đỉnh đáy là điểm nằm trong mặt đáy của hình chóp, là nơi các đỉnh của tứ giác đều nằm. Cạnh bên là các cạnh nối từ đỉnh chóp đến các đỉnh của tứ giác đều đáy, và chúng có độ dài bằng nhau.

Cạnh đáy là các cạnh của tứ giác đều đáy, có cùng độ dài và tạo thành các góc bằng nhau. Diện tích bề mặt của hình chóp tứ giác đều có thể được tính bằng cách cộng diện tích của bốn tam giác phía dưới đỉnh chóp và diện tích của tứ giác đều đáy.

2. Các công thức có liên quan đến hình chóp tứ giác đều:

– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).

– Tính chất hình chóp tứ giác đều:

Tính chất của hình chóp tứ giác đều mang lại cho nó những đặc điểm độc đáo và hấp dẫn trong hình học không gian. Để hiểu rõ hơn về những đặc điểm này, chúng ta có thể mở rộng từ những điểm cơ bản đã nêu ở trên.

Đầu tiên, đáy của hình chóp tứ giác đều là một hình vuông. Điều này có nghĩa là bốn cạnh của đáy có độ dài bằng nhau và các góc trong đáy là các góc vuông. Mặt khác, tất cả các cạnh bên của chóp cũng có độ dài bằng nhau, tạo nên sự đồng đều và đối xứng trong hình dáng tổng thể của nó.

Mỗi mặt bên của hình chóp tứ giác đều là một tam giác cân, nghĩa là ba cạnh của mỗi tam giác có độ dài bằng nhau và các góc trong tam giác là bằng nhau. Điều này đồng nghĩa với việc hình chóp tứ giác đều thể hiện sự cân bằng và đẹp mắt trong cấu trúc của nó.

Chân đường cao của hình chóp tứ giác đều trùng với tâm mặt đáy. Điều này có nghĩa là đoạn đường kết nối giữa đỉnh chóp với trung điểm của đáy là đoạn đường vuông góc với mặt đáy. Đây là một trong những đặc điểm quan trọng tạo nên tính đối xứng và hài hòa của hình chóp.

Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều bằng nhau. Điều này làm cho hình chóp tứ giác đều trở nên đặc biệt và dễ nhận diện, và cũng là một đặc điểm độc đáo khi so sánh với các loại hình chóp khác.

Ví dụ minh họa cho tính chất này có thể là một tòa nhà hình chóp tứ giác đều trong kiến trúc, nơi đáy của tòa nhà là một quả vuông, tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân và chân đường cao trùng với tâm mặt đáy, tạo nên một kiệt tác kiến trúc ấn tượng.

– Diện tích hình chóp tứ giác đều

+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d
(với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

+ Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.

3. Bài tập về hình chóp tứ giác đều:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là?

A. 6( cm³ )   B. 18( cm³ )

C. 12( cm³ )   D. 9( cm³ )

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

V = 1/3h.S_ABCD = 1/3.2.3² = 6( cm³ )

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm,BC = 5cm. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng 36( cm³ ). Tính độ dài đường cao của hình chóp?

   A. 6( cm )   B. 8( cm )

   C. 5,4( cm )   D. 7,2( cm )

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

V = 1/3.h.S_ABCD

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, các mặt bên là tam giác cân có độ dài cạnh bên là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là?

   A. 32( cm² )   B. 32√ 2 ( cm² )

   C. 16√ 2 ( cm² )   D. 16( cm² )

Lời giải:

Chu vi của đáy ABCD là 2( 4 + 4 ) = 16( cm )

Gọi d là độ dài trung đoạn của hình chóp

Ta có: d = √ (6² – 2²) = 4√ 2 ( cm )

Áp dụng công thức diên tích xung quanh của hình chóp: S_xq = p.d

⇒ S_xq = 8.4√ 2 = 32√ 2 ( cm² )

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 4cm, chiều cao của hình chóp là 6cm. Tính thể tích của hình chóp là?

A. 8 cm³     B. 8√3 cm³

C. 9 cm³     D. 16√3 cm³

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5cm và độ dài trung đoạn là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

   A. 40cm²     B. 36cm²

   C. 45cm²     D. 50cm²

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Lời giải:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 4cm nên đáy là hình vuông cạnh 4cm

Nửa chu vi đáy là

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm nên độ dài trung đoạn là

Diện tích xung quanh là:

Chọn đáp án A

Bài 7: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 13cm và đáy là hình vuông cạnh 10cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

   A. 100cm²     B. 120cm²

   C. 150cm²     D. 240cm²

Lời giải:

Nửa chu vi đáy là:

Gọi M là trung điểm của AB, suy ra:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAM có:

SM² = SA² – AM² = 13² – 5² = 144 nên SM = 12cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

S_xq = p. SM = 20.12 = 240cm²

Chọn đáp án D

Bài 8: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 13cm và độ dài cạnh đáy là 5√2. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

   A. 200cm³     B. 150cm³

   C. 180cm³     D. 210cm³

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

SO² = SA² – AO² = 13² – 5² = 144 nên SO = 12cm

Chọn đáp án A

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100cm³; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đaý?

   A. 10cm     B. 12cm

   C. 15cm     D. Đáp án khác

Lời giải:

Thể tích của hình chóp đều là:

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là:

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích là 125cm³, chiều cao của hình chóp là 15cm. Tính chu vi đáy?

   A. 20cm     B. 24cm

   C. 32cm     D. 40cm

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 11: Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều  có các cạnh đáy  bằng 10cm và 15cm, chiều cao của mặt bên bằng 12cm.

A. 300cm²                  

B. 1200cm²

C. 150cm² 

D. 600cm²

Lời giải

Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên bằng: 

Hình chóp cụt tứ giác đều có 4 mặt bên bằng nhau nên diện tích xung quanh bằng 150.4 = 600 (cm²)

Đáp án cần chọn là: D

Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, 

1. Tính AB.

A. 2cm

B. 3cm       

C. 6cm       

D. 12cm

Lời giải

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM  AB và AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên: 

Đặt AB = BC = x, ta có BC² – MB² = CM² (định lý Pytago cho ΔMBC) nên

Suy ra x = 6. Vậy BA = 6cm.

Đáp án cần chọn là: C

2. Tính diện tích xung quanh hình chóp

Lời giải

Ta có SM = CM (đường cao hai tam giác đều và bằng nhau) nên:

Đáp án cần chọn là: C

Bài 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, 

1. Độ dài cạnh hình chóp là:

A. 9cm

B. 3cm       

C. 6cm       

D. 12cm

Lời giải

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM ⊥ AB và AM = BM. Vì H là trọng tâm ΔABC nên 

Đặt AB = BC = x, ta có BC² – MB² = CM² (định lý Pytago cho ΔMBC) nên

Vậy các cạnh của hình chóp có độ dài là 9cm.

Đáp án cần chọn là: A

2. Tính diện tích xung quanh hình chóp (làm tròn đến một chữ số thập phân)

A. 105(cm²)   

B. 105,2(cm²)

C. 210,4(cm²)

D. 108(cm²)

Lời giải

Xét tam giác SAB và CAB là hai tam giác đều  có cạnh bằng nhau nên SM = CM

Đáp án cần chọn là: B

Bài 14: Tính thể tích của hình chóp tam ggiacs đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 24,64cm³   

B. 25,46cm³          

C. 26,46cm³          

D. 26,64cm³

Lời giải

Chóp tam giác đều S.ABC có SH ⊥ (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

Vì H là trọng tâm tam giác ABC ⇒ 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

Đáp án cần chọn là: B

Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm. Thể tích hình chóp gần nhất với số nào dưới đây?

A. 51cm³                    

B. 25cm³   

C. 755cm³ 

D. 65cm³

Lời giải

Diện tích đáy: S_ABCD = 6² = 36(cm²)

Xét tam giác ABC có: AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 72

⇒ AC ≈ 8,5 ⇒ AO = AC = 4,25

Tam giác SOA vuông tại O có: SA² = SO² + OA²

⇔ 6² = SO² + 4,25² ⇔ SO = 4,25

Thể tích hình chóp: 

Đáp án cần chọn là: A