Hướng dẫn chi tiết và chính xác nhất về phương pháp Tính nhanh giá trị biểu thức. Bài viết này được chúng tôi sưu tầm và biên soạn nhằm hỗ trợ các em học sinh hiểu và áp dụng môn Toán một cách hiệu quả hơn.
Mục lục bài viết
1. Cách tính nhanh giá trị của biểu thức lớp 8:
Dạng 1:
Nhóm các số trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn… rồi cộng (hoặc trừ) các kết quả lại.
Công thức tổng quát: a + b + c = (a + b) + c
a – b – c = (a – b) – c
Dạng 2:
Vận dụng tính chất một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số, một hiệu chia cho một số.
Công thức tổng quát:
– Một số nhân với một tổng: a x (b + c) = a x b + a x c
a x b + a x c = a x (b + c)
Dạng 3:
Vận dụng tính chất đặc biệt: nhân với 0, nhân với 1, chia cho 1, 0 chia cho số.
Công thức tổng quát:
a x 0 = 0
a x 1 = a
a : 1 = a
0 : a = 0
Tính chất đặc biệt:
Nhân một số với 0 luôn cho kết quả bằng 0.
Nhân một số với 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó.
Chia một số cho 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó.
Số 0 chia cho một số luôn cho kết quả bằng 0.
Dạng 4:
Tính giá trị biểu thức dễ dàng nhất bằng kiến thức về dãy số.
Công thức tổng quát:
Để tìm số hạng của một dãy số cách đều, chúng ta có thể áp dụng công thức sau: Số lượng số hạng = (Số cuối cùng – Số đầu tiên) : Khoảng cách + 1
Để tính nhanh tổng của một dãy số cách đều, chúng ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều bằng cách sử dụng công thức đã nêu ở bước trước.
Bước 2: Tính số cặp số trong dãy số bằng cách lấy kết quả ở bước 1 chia cho 2. Nếu có dư 1, chúng ta sẽ không ghép cặp số này với số nào.
Bước 3: Nhóm các cặp số hạng lại với nhau và tính tổng giá trị của từng cặp số. Chú ý rằng có thể có một số cặp số đặc biệt không thể ghép với số nào khác, thông thường chúng ta sẽ nhóm số đầu tiên với số cuối cùng.
Bước 4: Cuối cùng, để tính tổng của dãy số, chúng ta sẽ nhân kết quả ở bước 2 với kết quả ở bước 3 rồi cộng thêm số không ghép cặp nếu có (tính tích số cặp số nhân với tổng của một cặp số).
2. Một số bài tập vận dụng:
Câu 1. Tính giá trị biểu thức A = (x2 + y + 2).(y – 1) + (x – y).(x + y) tại x = 1; y = 100
A. 148
B. 218
C. 98
D. 198
A = (x2 + y + 2).(y – 1) + (x – y).(x + y)
A = x2y – x2 + y2 – y + 2y – 2 + x2 – y2
A = x2y + y – 2
Giá trị của biểu thức tại x = 1; y = 100 là:
A = 12.100 + 100 – 2 = 100 + 100 – 2 = 198
Chọn D
Câu 2. Tính giá trị biểu thức : A = (x + 3). (x2 – 3x + 9) tại x = 10
A. 1980
B. 1201
C. 1302
D. 1027
Ta có: A = (x+ 3). (x2 – 3x + 9)
A = x .(x2 – 3x +9) + 3. (x2 – 3x + 9)
A = x3 – 3×2 + 9x + 3×2 – 9x + 27
A = x3 + 27
Giá trị biểu thức khi x = 10 là : A = 103 + 27 = 1027
Chọn D.
Câu 3. Tính giá trị biểu thức tại x = 1
A. -2
B. – 1
C. 1
D. 2
A = (x + 1).(x2 – x + 1) – (x + 1)
= x3 – 1 – x – 1
= x3 – x – 2
Giá trị biểu thức tại x =1 là A = 13 – 1 – 2 = -2
Chọn A.
Câu 4. Tính giá trị biểu thức A = (x2 + y2).(x – y) – (x3 – y3) tại x = 10; y = 3
A. 180
B. – 120
C. -210
D. – 240
Ta có: A = (x2 + y2).(x – y) – (x3 + y3)
A = x3 – x2y + xy2 – y3 – y3 + y3
A = -x2y + xy2
Giá trị biểu thức tại x = 10; y = 3 là A = -102.3 + 10.32 = -300 + 90 = -210
Chọn C.
Câu 5:
Tính giá trị của biểu thức tại x = 2 và y = 1
A. 8 B. 7 C. 6 D. 10
Lời giải
A = (x – y).(x2 + xy + y2)
A = x.(x2 + xy + y2) – y.(x2 + xy + y2)
A = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
A = x3 – y3
Giá trị của biểu thức tại x =2 và y = 1 là:
A = 23 – 13 = 7
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức A = xy(x – y) + x2 ( 1 -y) tại x= 10; y = 9
A. -710 B. – 71 C. -910 D. 610
Lời giải
A = xy(x – y) +x2 ( 1 -y)
A = x2y – xy2 + x2 – x2y = x2 – xy2
Giá trị của biểu thức đã cho tại x = 10 và y = 9 là:
A= 102 – 10. 92 = -710
Câu 7: Tính giá trị biểu thức tại x = 1
A. 2 B.3 C.4 D. – 2
Lời giải
Ta có: A = 2×2(x2 – 2x + 2) – x4 + x3
Giá trị biểu thức A tại x= 1 là: A = 14 – 3.13 + 4.12 = 1- 3 + 4 = 2.
3. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Tính giá trị biểu thức A = (xy – xy2).(y – 1) + xy(y2 – 2y) tại x = 6; y = – 8
A. 24
B. – 48
C. 48
D. – 24
Lời giải:
Ta có:
A = (xy – xy2).(y – 1) + xy(y2 – 2y)
A = xy2 – xy – xy3 + xy2 + xy3 – 2xy2
A = -xy
Giá trị của biểu thức tại x = 6; y = -8 là:
Chọn B.
Câu 2. Tính giá trị biểu thức : A = (x + 3). (x2 – 3x + 9) tại x = 10
A. 1980
B. 1201
C. 1302
D. 1027
Lời giải:
Ta có: A = (x+ 3). (x2 – 3x + 9)
A = x .(x2 – 3x +9) + 3. (x2 – 3x + 9)
A = x3 – 3×2 + 9x + 3×2 – 9x + 27
A = x3 + 27
Giá trị biểu thức khi x = 10 là : A = 103 + 27 = 1027
Chọn D.
Câu 3. Tính giá trị biểu thức tại x = 1
A. -2
B. – 1
C. 1
D. 2
Lời giải:
A = (x + 1).(x2 – x + 1) – (x + 1)
= x3 – 1 – x – 1
= x3 – x – 2
Giá trị biểu thức tại x =1 là A = 13 – 1 – 2 = -2
Chọn A.
Câu 4. Tính giá trị biểu thức A = (x2 + y2).(x – y) – (x3 – y3) tại x = 10; y = 3
A. 180
B. – 120
C. -210
D. – 240
Lời giải:
Ta có: A = (x2 + y2).(x – y) – (x3 + y3)
A = x3 – x2y + xy2 – y3 – y3 + y3
A = -x2y + xy2
Giá trị biểu thức tại x = 10; y = 3 là A = -102.3 + 10.32 = -300 + 90 = -210
Chọn C.
Câu 5. Tính giá trị biểu thức A = (x2 + y2).(x2 – y2 + 1) – (x3 + y3).(x + y) + (x3y + xy3) tại x = 100; y = 1
A. 9999
B. 10001
C. 5001
D. 4999
Lời giải:
Ta có: A = (x2 + y2).(x2 – y2 + 1) – (x3 + y3).(x + y) + (x3y + xy3)
A = x4 – x2y2 + x2 + x2y2 – y4 + y2 – (x4 + x3y + xy3 + y4) + x3y + xy3
A = x4 – x2y2 + x2 + x2y2 – y4 + y2 – x4 – x3y -xy3 – y4 + x3y + xy3
A = x2 + y2 – 2y4
Giá trị của biểu thức tại x= 100; y = 1 là:
A = 1002 + 12 – 2.14 = 10000 + 1 – 2 = 9999
Chọn A.
Câu 6. Tính giá trị biểu thức A = (x + xy)(x – y) – (x + y)(xy – y) + xy(x + 2y) tại x = 10; y = 1
A. 109
B. 125
C. 251
D. 201
Lời giải:
A = (x + xy)(x – y) – (x + y)(xy – y) + xy(x + 2y)
A = x2 – xy + x2y – xy2 – x2y + xy – xy2 + y2 + x2y + 2xy2
A = x2 + y2 + x2y
Giá trị của biểu thức A tại x = 10; y = 1 là:
A = 102 + 12 + 102.1 = 100 + 1 + 100.1 = 201
Chọn D.
Câu 7. Tính giá trị biểu thức tại x = 100; y = 2
A. 10009
B. 1509
C. 20000
D. 15005
Lời giải:
Ta có:
A = (x2 + xy).(x – y) – x(x2 – xy) + xy2
A = x3 – x2y + x2y – xy2 – x3 + x2y + xy2
A = x2y
Giá trị của biểu thức A tại x = 100; y = 2 là:
A = 1002.2 = 10000.2 = 20000
Chọn C.
Câu 8. Tính giá trị biểu thức
A = (x3 + y).(x + y) – (x2 + y).(x2 – y) tại x = -1; y = 100
A. 100
B. 0
C. -100
D. 200
Lời giải:
Ta có:
A = (x3 + y).(x – y) – (x2 + y).(x2 – y)
A = x4 – x3y + xy – y2 – (x4 – y2)
A = x4 – x3y + xy – y2 – x4 + y2
A = -x3y + xy
Giá trị của biểu thức A tại x = -1; y = 100 là:
A = (-1)3.100 + (-1).100 = 100 – 100 = 0
Chọn B.
Câu 9. Tính giá trị biểu thức tại x = 10; y = 1
A. -80
B. 100
C. 200
D. -100
Lời giải:
Ta có:
A = (-x – y2 + 1).(x2 + 1) + x(x2 – x + 1)
A = -x3 – x – x2y2 – y2 + x2 + 1 + x3 – x2 + x
A = -x2y2 – y2 + 1
Giá trị của biểu thức tại x= 10; y = 1 là
A = -102.12 – 12 + 1
= -100.1 – 1 + 1
= -100
Chọn D.
