Cấp số nhân là gì? Công bội là gì? Công bội cấp số nhân?

1. Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai được gọi là cấp số nhân. Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước ngay nó nhân với một số hạng không đổi. Số hạng không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Công thức truy hồi:

Nếu (Un) là cấp số nhân với q là công bội, ta có công thức:

Ví dụ: Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….là một cấp số nhân phần tử đầu tiên là 1 với công bội q = 2. => Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội q.

Công bội q của cấp số nhân ( U1) được tính bằng công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (U1) = 4 và (U2) = 8. Tính công bội q?

Trả lời: Công bội q = 8/4 = 2. ( áp dụng công thức tính công bội q )

Kết luận: q = 2.

Chú ý:

– Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0,…

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là dãy số không đổi có dạng: u1, u1, u1,…

– Khi q < 0 thì cấp số nhân là dãy số không tăng, không giảm.

– Khi q > 0 và q < 1 thì cấp số nhân là dãy số giảm.

– Khi q > 1 thì cấp số nhân là dãy số tăng.

– Khi u1 = 0, với mọi q thì cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, …

Ví dụ: Cho cấp số nhân ( Un) với u1 = 6, q = 8. Tính u2?

Trả lời: Ta có: u2 = q.u1 = 8.6 = 48 => u2 = 48.

Kết luận: ( u2) = 48.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Số hạng tổng quát (Un) được xác định bởi công thức sau: ( Cấp số nhân có số hạng đầu (u1) và công bội q ).

 

Với n ≥ 2

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (u1) = 2, q = 5. Tính (u6)

Trả lời: u6 = u1.q^6-1 = 2.5^4 = 1250.

Kết luận: (u6) = 1250.

3. Tính chất của cấp số nhân:

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

Ví dụ: Cho bốn số a, 10, 20, b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm a và b?
Trả lời: Ta có: 10^2 = a.20 <=> 20 = a.20 => a = 1.

20^2 = 5.b <=> 40 = 5.b => b = 6.

Kết luận: a = 1 và b = 6.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

Cho cấp số nhân (Un) có công bội q khác 1, ta có:  Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) với (u1) = 6 và q = 3. Tính S10?

Trả lời: Ta có: S10 = u1( 1- q^10)/ (1 – q)

<=> S10 = 6( 1 – 3^10 )/ (1-3)

<=> S10 = 6( 3^10 -1)/ 2 ( áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân )

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Un) có công bội q với công bội q thoả mãn điều kiện 1 < q < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

 

Ví dụ: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (Un), có Un = 1/3^n.

Trả lời: Ta có: u1 = 1/2 và u2 = 1/9 => công bội q = 1/3

Kết luận: S = u1/ (1 – q) = 1/3 : ( 1 – 1/3) = 1/2.

6. Các dạng bài tập toán của cấp số nhân:

6.1. Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân.

Phương pháp giải:

– Tính công bội q bằng công thức:  q = (Un + 1)/ Un (điều kiện ∀ n ≥ 1)

– Nếu q là số không đổi thì kết luận rằng dãy (Un) là cấp số nhân. Nếu q thay đổi theo n thì kết luận rằng dãy (Un) không là cấp số nhân:

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có số hạng đầu tiên u1 = 8, công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 2?

A. 54

B. 44

C. 34

D. 24.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức cấp số nhân Un + 1 = u1.q

Thay u1 = 8 và q = 3 vào công thức trên, ta có: u2 = 8.3 = 24.

Kết luận: Đáp án A. 24 là đúng.

6.2. Dạng 2: Chứng minh cấp số nhân:

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1} ; u_k ; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân <=>

Ví dụ 1: Tìm a và b sao cho các số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập thành cấp số cộng và các số (b + 1)² ; ab + 1 ; (a – 1)² lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra ta có các số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập thành cấp số cộng

=> Ta có: 2(2a + 3b) = 5a – b + a + 2b

<=> 4a + 6b = 6a + b

<=> 2a = 5b

Theo bài ra ta có các số (b + 1)² ; ab + 1 ; (a – 1)² lập thành cấp số nhân

=> Ta có: (ab + 1)²   = (b + 1)²(a – 1)²  

<=> [ ab + 1 + (b +1)(a – 1) ] [ ab + 1 – (b +1)(a – 1)] = 0

<=> (2ab – b + a)(2 + b – a) = 0

<=> (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0

Thay 2a = 5b vào (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0 ta có như sau:

( 4 + 2b – 5b )( 4ab + 5b – 2b ) = 0

<=> b( 4 – 3b )( 10b + 3 ) = 0

<=> b = 0; b = 4/3; b = -3/10 và a = 0; a = 10/3; a = -3/4

Kết luận ( a; b) ∈ { ( 0; 0 ); ( 10/3 ; 4/3 ); ( -3/4 ; -3/10) }

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba số x, y, z là một cấp số nhân sao cho ba số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập thành một cấp số cộng ?

Theo bài ra ba số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập thành một cấp số cộng

Ta có: 2/(x – y) + 2/(y – z) = 2/y

<=> y( y- z + y – x ) = ( y – x )( y – z )

<=> y^2 = xz

Kết luận: Ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân.

6.3. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số nhân:

Phương pháp giải:

– Với điều kiện xz = y^2 thì ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân.

– Với điều kiện xz = y^2 và yh = z^2 thì bốn số x, y, z, h lập thành một cấp số nhân.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x sao cho phương trình: ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  có 3 nghiệm phân biệt  là x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân => x1x3 = (x2)^2 ( Điều kiện đủ )
Ta có: x1 + x2 + x3 = – b/a và  x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
<=> x1x2 + x2x3 + (x2)^2 = c/a
<=> x2 (x1 + x2 + x3) = c/a
<=> x2 = – c/b.
Thay số x2 = – c/b vào phương trình ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  ta có:

a(-c/b)^3 + b(-c/b)^2 + c(-c/b) + d = 0

<=> a/c^3 = b^3/d. ( Điều kiện đủ )

=> Phương trình có nghiệm x2 = –c/b.

Khi đó: x2( x1 + x2 + x3 ) = (-c/b) (-b/a) = c/a = x1x2 + x2x3 + x3x1
<=> x1x3 = x22

<=> x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân.

Kết luận: Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0  có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân là a/c^3 = b^3/d.

Lưu ý: Với dạng bài toán tìm một tham số m, trong điều kiện đủ có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Để ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân. Vậy x bằng bao nhiêu?

Để ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân thì phải có điều kiện là:
(a – 4)^2 = (a – 2)(a + 2)
<=> 8a = 20
<=> a = 52.
Kết luận: Vậy với điều kiện a = 52 thì ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân.

6.4. Dạng 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân (u_n):

Phương pháp giải:

– Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi (u_n+ 1 u_n)/ u_n = q  không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân (u_n)

– Cần xác định số hạng đầu u1 và công bội q. Ta thiết lập một hệ phương trình với hai ẩn u­₁ và q. Tìm số hạng đầu u­₁ và công bội q.

– Dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q. Hãy tìm số hạng n?

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) thoả các điều kiện sau: u1 + u5 = 51 và u2 + u6 = 102. Hãy:

a) Xác định số hạng đầu tiên u1 và công bội q?

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân (u_n)?

c) Tìm số hạng thứ 15, 17, 19 và 21 của dãy cấp số nhân (u_n)?

Hướng dẫn giải:

a) Theo bài ra ta có: u1 + u5 = 51 => u1 + u1.q^4 = 51 <=> u1 ( 1 + q^4 ) = 51

và ta có: u2 + u6 = 102 => u1.q + u1.q^5 = 102 <=> u1.q ( 1 + q^4 ) = 102

Lấy hai vế của phương trình u1.q ( 1 + q^4 ) = 102  chia cho hai vế của phương trình u1 ( 1 + q^4 ) = 51 ta có như sau: [u1.q ( 1 + q^4 )] : [ u1 ( 1 + q^4 ) ] = 102 : 51

<=> q = 2.

=> u1 = 51/( 1 + q^4 ) = 3

Kết luận: số hạng đầu tiên u1 = 3 và công bội q = 2.

b) Công thức tổng quát của cấp số nhân (u_n) là:

u_n = u₁. q^n–1 nên suy ra u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng thứ 15 của dãy cấp số nhân (u_n) là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152.

Số hạng thứ 17 của dãy cấp số nhân  (u_n) là: u₁₇ = 3.2¹⁶ = 196608.

Số hạng thứ 19 của dãy cấp số nhân  (u_n) là: u₁₉ = 3.2¹⁸ = 786432

Số hạng thứ 21 của dãy cấp số nhân (u_n) là: u₂₁ = 3.2²⁰ = 3145728.

6.5. Dạng 5: Tính tổng của một cấp số nhân:

Phương pháp giải:

Với công bội q khác 1 nếu (u_n) là một cấp số nhân thì tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) sẽ được xác định bằng công thức: S_n = [ u1( 1 – q^n )/ ( 1 – q)]

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)  có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k.

a) Tính S₁₅ Khi cấp số nhân (u_n)  có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k.

b) Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân (u­_n) khi cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366.

Hướng dẫn giải:

a) Khi cấp số nhân (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k => số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công bội    q = – 3

=> S₁₅ = [ u1( 1 – q^n ]/ (1 – q) = ( 3^15 + 1) / 2.

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai u2 = 54 => u1.q = 54 => Công bội q = 3

Số hạng cuối u_n = 39366

=>u1.q^(n – 1)= 39366 <=> 18.3^(n – 1) = 39366 => n = 8.

=>  S₈  = [ u1(1 – q)^n]/(1 –  q) = 59040.