Hình elip là gì? Phương trình elip? Tính diện tích hình elip?

22/08/202422/08/2024

22/08/2024

Các kiến thức về hình elip luôn là dạng kiến thức cơ bản trong chương trình toán học trung học phổ thông, thường xuất hiện nhiều trong các bài thi và kiểm tra cuối kỳ. Sau đây là bài viết về khái niệm Hình Elip, phương trình elip, diện tích elip và một số kiến thức liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo!

1. Hình elip là gì?

– Một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai e của nó, chạy tưd e = 0 (trường hợp của đường tròn) đến e = 1 ( độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol)

– Theo định nghĩa Toán học:

Cho 2 điểm cố định F_1, F₂ với F₁.F₂= 2c ( c>0) và hằng số a > c. Elip (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ + MF₂ = 2a.

Các điểm F₁, F₂ là tiêu điểm của (E)

Khoảng cách F₁.F₂ = 2c là tiêu cự của (E)

MF₁, MF₂ được gọi là bán kính qua tiêu.

2. Phương trình elip:

Với F₁(-c; 0), F₂(x;0)

M(x;y) thuộc (E) <=> x² / a ² + y² / b² = 1 (1) trong đó b² = a² – c²

=> Đây được gọi là phương trình chính tắc của (E)

3. Diện tích hình elip:

Hình elip có hai trục đối xứng A1A2 và B1B2 vuông góc với nhau, cắt tại tâm đối xứng O, cắt đường elip tại trực lớn A1A2 và trục nhỏ B1B2. Nửa chiều dài trục lớn gọi là (a), trục nhỏ là (B). Từ tâm elip O đến tiêu điểm F1, F2 gọi là bán tiêu cự (c).

Do đó, ta có: A1, A1, B1, B2 là đỉnh của hình Elip; B1B2 là trục nhỏ (2a); A1A2 là trục lớn (2b); F1F2 là tiêu cực của hình Elip.

– Công thức tính diện tích hình Elip: S= pi.a.b

Do đó, khi biét được độ dài trục lớn và trục nhỏ, bạn dễ dàng tính ra diện tích của hình elip.

4. Các kiến thức khác về hình elip:

Hình dạng và tính chất hình elip:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng

– Tiêu điểm: Tiêu điểm tráu F1(-c; 0), tiêu điểm phải F2 (x;0)

– Các đỉnh: A1 (-a;0); A2 (a;0); B1(0;-b); B2 (0;b)

– Trục lớn: A1.A2 = 2a, nằm trên trục Ox; trục nhỏ: B1.B2 = 2b, nằm trên trục Oy

– Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = + – a, y = + – b gọi là hình chữ nhật cơ sở.

– Tâm sai: e = c / a <1

– Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (xm; ym) thuộc (E) là:

MF₁= a + ex_M = a + (c / a )x_M, MF2 = a – ex_M = a = (- c / a)x_M

Độ lệch tâm của hình elip

– Tỷ lệ khoảng cách từ tâm của hình elip từ một trong hai tiêu điểm đến bán trục chính của elip được định nghĩa là độ lệch tâm của elip.

– Độ lệch tâm của elip, e = c / a

– Trong đó c là tiêu cự và a là độ dài của bán trục chính

– Vì c <= a nên độ lệch tâm luôn lớn hơn 1 trong trường hợp hình elip

Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

– Từ hệ thức: b² = a² – c² ta thấy nếu tiêu cụ của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trực lớn. Lúc đo elip có dạng gần như đường tròn.

– Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² = a²

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M'(x’;y’)

thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x² / a² + y² / b² = 1 là một elip (E)

Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E)

5. Bài tập về hình elip:

Bài 1. Cho Elip (E): x² / 16 + y² / 12 = 1 và điểm M nằm trên (E). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có: a² = 16, b² = 12

nên c2 = a² – b² = 4

-> a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F₁(-2;0); F₂ (2;0)

Điểm M thuộc (E) và x_M = 1=> yM

Tâm sai của elip e = c / q => e = 2 / 4 = 1 / 2

=> MF₁ = a + ex_M= 4 + 0.5 = 4.5

MF₂ = a – ex_M = 4 – 0.5 = 3.5

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng ( căn3)/3) và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 2 căn 5.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) với a > b > 0

Tâm sai: e = c / a = căn 3/3

Độ dài đường chép hình chữ nhật:

2 căn5 <=> a² + b² = 5 <=> b² = 5 – a²

Khi đó: a² = b² + c² <=> a² = 5 – a² + a² / 3 <=> a² = 3 => b² = 2

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là x² / 3 + y² / 2 = 1

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2 và có một điểm M thuộc (E) để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S = 1.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: x² / a² + y² / b² với a > b > 0

suy ra c = -căn 3 => a² – b² – c² = 3 hay a²= b²+ 3 (1)

Gọi M(x0;y0)

<=> X₀²– 3 + y₀² = 0

<=> x₀² + y₀² = 3

Ta có: S_F1MF2 = 1 / 2 d (M,Ox).F₁F₂ = 1

<=> y₀² = 1 / 3

=> x₀² = 8 / 3

Mặt khác M (x0;y0) thuộc E

<=> x₀²/ a² + y₀² / b² = 1

<=> 8 / 3a² + 1 / 3b²= 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta => a² = 4

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: x² / 4 + y² = 1

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y²= 8. Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip (E)

Lời giải:

Ta có phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: x2 / a²+ ^y2 / b²= 1

– (E) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2a =8 => a = 4

– (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.

Ta giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác denta: y = x

– Gọi A(t;t) thuộc denta ( t > 0). ta có: A thuộc (C) => t² + t² = 8 <=> t = 2

(vì t > 0) => A (2;2)

– Mà A thuộc (E) => 2² / 4² + 2² / b²= 1 => b² = 16 / 3

Vậy => phương trình chính tắc của elip (E)

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1và đi qua điểm A. Hãy lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M thuộc (E), hãy tính giá trị biểu thức: P = MF1² + MF2²– 3OM² – MF1MF2.

Lời giải:

– Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: x² / a² + y² / b²= 1 với a > b > 0

(E) có hai tiêu điểm suy ra c = căn 3

– Khi đó a2 – b2 = c2 = 3 <=> a2 = b2 + 3=> (E) – Với A ( căn 3; 1/2 ) thuộc (E)

<=> ab2 – b2 – 3 = 0 <=> (4b2 +3)(b2 – 1) = 0

<=> b2 = 1 => a2 = 4

Vậy Phương trình chính tắc của (E) là: x2 / 4 + y2 = 1

Khi đó:

P = 4 + 9 / 4 . x₀² – 3(x₀² + y₀²)

= 4 – 3(x₀² / 4 + y₀²)

= 4 – 3 = 1

Vậy P = 1