Điều kiện giới hạn trong chứng khoán là gì? Đặc điểm giới hạn

Điều kiện biên giới hạn trong chứng khoán được hiểu là những ràng buộc cần thiết cho giải pháp của một bài toán giá trị biên. Bài toán về giá trị biên là một phương trình vi phân (hoặc hệ phương trình vi phân) được giải trong một miền biên có tập hợp các điều kiện đã biết. Nó đối lập với “bài toán giá trị ban đầu”, trong đó chỉ có các điều kiện về một cực trị của khoảng thời gian được biết. Các vấn đề về giá trị giới hạn là cực kỳ quan trọng vì chúng mô hình hóa một lượng lớn các hiện tượng và ứng dụng, từ cơ học rắn đến truyền nhiệt, từ cơ học chất lỏng đến khuếch tán âm thanh. Chúng nảy sinh một cách tự nhiên trong mọi vấn đề dựa trên một phương trình vi phân cần giải trong không gian, trong khi các bài toán giá trị ban đầu thường đề cập đến các bài toán cần giải quyết kịp thời.

– Các điều kiện biên là thực tế cần thiết để xác định một vấn đề và đồng thời, có tầm quan trọng hàng đầu trong động lực học chất lỏng tính toán .Đó là bởi vì khả năng áp dụng của các phương pháp số và chất lượng kết quả của các phép tính có thể được quyết định một cách nghiêm túc về cách chúng được xử lý bằng số. Ngày nay, nhu cầu phân tích tính toán của các hệ thống có ranh giới chuyển động đã tăng lên và trở nên phức tạp hơn. Từ những nền tảng như vậy, các công nghệ mô phỏng hạt, mà một trong những tính năng quan trọng là khả năng thích ứng cao trong việc mô hình hóa các ranh giới với chuyển động dữ dội, đã nhận được sự chú ý ngày càng tăng như một mô hình tính toán đầy hứa hẹn mới trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau.

– Nhiều vấn đề quan trọng như dòng chảy được điều khiển bởi các vật thể chuyển động, dòng chảy bề mặt tự do, dòng chảy liên quan đến bọt khí, quá trình chuyển pha đi kèm với dòng chảy và tương tác cấu trúc chất lỏng , là những vấn đề về biên chuyển động. Trong việc đối phó với ranh giới như vậy với phong trào hoặc biến dạng, các phương pháp lưới truyền thống như phương pháp hữu hạn chênh lệch , phương pháp phần tử hữu hạn , và phương pháp thể tích hữu hạn thường gặp khó khăn trong việc tính toán chính xác các hình dạng hình học của ranh giới.

2. Đặc điểm giới hạn trong chứng khoán:

– Điều kiện này chỉ định giá trị mà hàm không xác định cần đảm nhận dọc theo ranh giới của miền. Ví dụ, với phương trình Laplace, bài toán giá trị biên với Dirichlet bc được viết dưới dạng:

trong đó là hàm chưa biết, là biến độc lập (ví dụ như tọa độ không gian), là miền hàm, là biên của miền và là một hàm vô hướng đã cho được xác định trên. Trong khuôn khổ của mô phỏng số, nó thường được áp đặt trực tiếp trong hệ thống đại số để giải quyết. Hãy xem xét hệ thống đại số sau được suy ra từ một thuật toán số:𝜑𝑥⎯

Điều kiện biên Neumann là một loại điều kiện biên, được đặt theo tên của Carl Neumann. Khi được áp dụng cho một phương trình thông thường (ODE) hoặc một phương trình vi phân riêng (PDE), nó chỉ định các giá trị mà đạo hàm của một nghiệm sẽ nhận trên ranh giới của miền. Trong cơ học vật rắn, các đạo hàm không gian của các chuyển vị có liên quan đến biến dạng tensor. Trong tính đàn hồi, biến dạng tỷ lệ với ứng suất, do đó điều kiện biên Neumann đề cập đến cả biến dạng áp đặt và ứng suất. Vì ứng suất cũng được liên kết với ngoại lực thông qua nguyên lý ứng suất Cauchy, điều kiện Neumann cũng được sử dụng để tác dụng tải trọng bên ngoài. Như đã nêu trong phần dành riêng cho các điều kiện biên Neumann, điều kiện đồng nhất được thỏa mãn một cách tự nhiên, vì vậy các ranh giới “tự do” có thể không được mô hình hóa một cách rõ ràng.

Ví dụ, cho phương trình Laplace, bài toán giá trị biên với bc Neumann được viết dưới dạng:

∂ 𝜑 (𝑥⎯⎯)∂ 𝑛= 𝑓(𝑥⎯⎯)∀𝑥⎯⎯∈ ∂ Ω(4)

trong đó là đơn vị pháp tuyến của bề mặt biên, nếu .𝑛

– Trong trường hợp ODE (tức là ), đạo hàm chuẩn đến biên trùng với đạo hàm toàn cục . Trong một số trường hợp hiếm hoi, trong đó sự phụ thuộc thời gian được giải quyết thông qua cách tiếp cận phần tử hữu hạn (thay vì sự khác biệt hữu hạn thông thường hơn), loại điều kiện biên này là phổ biến nhất. Điều kiện biên Neumann còn được gọi là “tự nhiên” vì nó xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình phát triển công thức yếu trong bất kỳ phương pháp tiếp cận phần tử hữu hạn nào. Hãy xem xét phương trình đơn giản sau:Ω ⊂𝑅1𝜑′

trong đó là một trường vô hướng chưa biết và là một hàm vô hướng đã cho. Phương trình này quy định nhiều hiện tượng, ví dụ, sự khuếch tán nhiệt trong 1D và lực căng / nén của chùm tia. Phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm việc viết lại phương trình từ dạng vi phân (mạnh) sang dạng tích phân (yếu). Việc chuyển đổi này được thực hiện qua hai bước:𝑢𝑝

1: Kiểm tra và tích hợp:

trong đó là hàm hình dạng.𝜈( 𝑥 )

2: Áp dụng định lý Green để có phân phối đều các đạo hàm và tránh các đạo hàm bậc cao:

Do đó, một thuật ngữ bao gồm đạo hàm của trường chưa biết trên ranh giới tự nhiên xuất hiện; đối với các bài toán 1D, thuật ngữ này đề cập đến các điểm cực trị của khoảng, đối với các bài toán 2D, nó đề cập đến đường bao của miền và đối với các bài toán 3D, nó đề cập đến các bề mặt biên. Sự hiện diện của số hạng biên ở phía bên tay phải làm nổi bật hai tính chất của các điều kiện biên Neumann.

3. Các điều kiện giới hạn trong chứng khoán:

– Điều kiện ranh giới Robin: Điều kiện biên Robin là một loại điều kiện biên được đặt theo tên của Victor Gustave Robin (1855–1897) . Nó bao gồm sự kết hợp tuyến tính của các giá trị của trường và các đạo hàm của nó trên đường biên. Ví dụ, cho phương trình Laplace, bài toán giá trị biên với Robin bc được viết dưới dạng:

trong đó và là các tham số thực. Điều kiện này còn được gọi là “tình trạng trở kháng”.𝑎𝑏

– Điều kiện ranh giới hỗn hợp: Nó bao gồm việc áp dụng các loại điều kiện biên khác nhau trong các phần khác nhau của miền. Điều quan trọng cần lưu ý là các điều kiện biên phải được áp dụng trên toàn bộ biên: ranh giới “tự do” luôn phải tuân theo điều kiện Neumann đồng nhất. Điều kiện biên hỗn hợp khác với điều kiện Robin vì điều kiện sau bao gồm các loại điều kiện biên khác nhau được áp dụng cho cùng một vùng của đường biên, trong khi điều kiện hỗn hợp ngụ ý các loại bc khác nhau được áp dụng cho các phần khác nhau của đường biên.

– Điều kiện ranh giới Cauchy: Điều kiện biên Cauchy là điều kiện trên cả trường chưa biết và các đạo hàm của nó . Nó khác với điều kiện Robin vì điều kiện Cauchy ngụ ý áp đặt hai ràng buộc (1 Dirichlet bc + 1 Neumann bc), trong khi điều kiện Robin chỉ ngụ ý một ràng buộc đối với tổ hợp tuyến tính của hàm chưa biết và các đạo hàm của nó.

– Điều kiện biên Dirichlet

Cơ học chất rắn thường được mô hình hóa thông qua một mô hình dựa trên chuyển vị, do đó các điều kiện biên Dirichlet thường bao gồm việc áp đặt chuyển vị của kết cấu tại các điểm đã cho. Cơ học kết cấu thường dựa trên các công thức bao gồm các phép quay tương đối, mà độ phân giải số của chúng yêu cầu hàm hình dạng phi tuyến trong phép gần đúng phần tử hữu hạn. Ví dụ, cấu trúc khung dựa trên lý thuyết chùm và phần tử hữu hạn liên quan có 6 bậc tự do (3 chuyển vị + 3 phép quay trong không gian 3D). Đối với bài toán 2D, mỗi nút của đường biên có 3 bậc tự do, trên đó có thể áp dụng các điều kiện biên Dirichlet: 2 phép dời hình ( và ) và 1 phép quay ( ). Những ràng buộc này thường được mô tả như sau:𝑢𝑥𝑢𝑦𝜔