Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm

1. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, ta cần biết hai yếu tố: điểm tiếp tuyến và hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm tiếp tuyến là điểm có tọa độ (x0, y0) trên đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm đó, tức f'(x0). Khi có hai yếu tố này, ta có thể viết phương trình tiếp tuyến theo công thức:

y – y0 = f'(x0).(x – x0)

Ví dụ, cho hàm số y = x^2 – 2x + 3. Ta muốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1, 2). Ta có:

– Điểm tiếp tuyến là A(1, 2).

– Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại x = 1, tức f'(1) = 2x – 2|_(x=1) = 0.

Do đó, phương trình tiếp tuyến là:

y – 2 = 0.(x – 1)

Rút gọn, ta được:

y = 2

2. Dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x0; f(x0)):

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x0; f(x0)), ta cần tìm được hai yếu tố sau:

– Hệ số góc của tiếp tuyến, bằng đạo hàm của hàm số tại x0, tức là f'(x0).

– Điểm cắt trục tung của tiếp tuyến, bằng giá trị của y khi x bằng 0, tức là y = f(x0) – f'(x0)x0.

Sau khi có hai yếu tố này, ta có thể viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng:

y = f'(x0)x + f(x0) – f'(x0)x0

Hoặc dưới dạng khác:

y – f(x0) = f'(x0)(x – x0)

Ví dụ: Cho hàm số y = x^2 – 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2).

Lời giải:

Ta có: f'(x) = 2x – 2. Vậy f'(1) = 0. Phương trình tiếp tuyến là:

y – 2 = 0(x – 1)

Tức là: y = 2.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = x0:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= x0, ta cần tìm được giá trị của f(x0) và f'(x0). Giá trị f(x0) là tung độ của tiếp điểm, còn f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến. Sau đó, ta dùng công thức phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc cho trước để viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình có dạng:

y – f(x0) = f'(x0)(x – x0)

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^2 + 2x – 3 biết hoành độ tiếp điểm x = 1.

Lời giải:

Ta có: f(1) = 1^2 + 2*1 – 3 = 0 và f'(x) = 2x + 2 => f'(1) = 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

y – 0 = 4(x – 1)

Hay y = 4x – 4.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0, ta cần tìm được hoành độ x0 của tiếp điểm. Ta có thể dùng công thức sau:

y0 = f(x0) + f'(x0)(x – x0)

Trong đó, f'(x0) là đạo hàm của hàm số tại x0. Đây là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm có hoành độ x0.

Ví dụ: Cho hàm số y= x^2 – 2x + 3. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Ta có: f(x) = x^2 – 2x + 3

f'(x) = 2x – 2

Đặt y0 = 4, ta được:

4 = x0^2 – 2×0 + 3 + (2×0 – 2)(x – x0)

Sắp xếp lại, ta được:

x^2 – (4×0 – 2)x + (4 – x0^2 + 4×0 – 6) = 0

Đây là một phương trình bậc hai về x. Để có nghiệm duy nhất, ta cần phương trình có delta bằng không. Ta có:

delta = (4×0 – 2)^2 – 4(4 – x0^2 + 4×0 – 6) = 0

Giải ra, ta được:

x0 = 1 hoặc x0 = 3

Do đó, ta có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 4, là:

y = 2x + 1 (với x0 = 1)

y = 4x – 3 (với x0 = 3)

3. Bài tập vận dụng liên quan:

Bài 1: Cho hàm số y= x3- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 ).

Lời giải:

Để tìm phương trình của tiếp tuyến tại điểm M(0;1) của đồ thị hàm số y=x^3-2x+1, ta sẽ sử dụng đạo hàm của hàm số.

– Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y=x^3-2x+1

y’ = 3x^2 – 2

– Bước 2: Tại điểm M(0;1), ta tính giá trị của đạo hàm:

y'(0) = 3(0)^2 – 2 = -2

– Bước 3: Xác định phương trình của tiếp tuyến bằng công thức:

y – y1 = y'(x – x1)

Trong đó (x1, y1) là điểm M(0;1) và y’ là đạo hàm tại điểm M.

Thay vào công thức, ta có:

y – 1 = -2(x – 0)

y – 1 = -2x

y = -2x + 1

Vậy phương trình của tiếp tuyến tại điểm M(0;1) của đồ thị hàm số y=x^3-2x+1 là y = -2x + 1.

Bài 2: Cho hàm số y= x2 + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

Lời giải:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x2 + 2x – 6 tại điểm có hoành độ là 1, ta cần tìm tung độ và đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Ta có:

y(1) = 12 + 2.1 – 6 = -3

y'(x) = 2x + 2

y'(1) = 2.1 + 2 = 4

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1, -3) là:

y – (-3) = 4(x – 1)

y = 4x – 7

Bài 3: Cho hàm số y = x^3 – 3x + 2. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 1.

Lời giải:

– Tính đạo hàm của hàm số: y’ = 3x^2 – 3

– Tính giá trị của đạo hàm tại x0 = 1: y'(1) = 3 – 3 = 0

– Tính giá trị của hàm số tại x0 = 1: y(1) = 1 – 3 + 2 = 0

– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x0 = 1 có dạng: y – y0 = m(x – x0)

– Thay các giá trị đã tính được vào phương trình, ta được: y – 0 = 0(x – 1)

– Rút gọn, ta được: y = 0

Bài 4: Cho hàm số y = ln(x + 1). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = e – 1.

Lời giải:

– Tính đạo hàm của hàm số: y’ = 1/(x + 1)

– Tính giá trị của đạo hàm tại x0 = e – 1: y'(e – 1) = 1/e

– Tính giá trị của hàm số tại x0 = e – 1: y(e – 1) = ln(e) = 1

– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x0 = e – 1 có dạng: y – y0 = m(x – x0)

– Thay các giá trị đã tính được vào phương trình, ta được: y – 1 = (1/e)(x – e + 1)

– Rút gọn, ta được: y = (x + e)/e

Bài 5: Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?

Lời giải:

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y=x^3+4x+2) tại điểm có tung độ là 2, ta sẽ thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số (y=x^3+4x+2).[y’ = 3x^2 + 4]

– Bước 2: Tìm hoành độ tại điểm cần xét.

Để tìm hoành độ, ta cần giải phương trình (x^3+4x+2 = 2) để tìm giá trị của x.

[x^3+4x = 0].[x(x^2+4) = 0]. [x(x+2)(x-2) = 0]

Ta tìm được ba nghiệm của phương trình là (x = 0), (x = -2) và (x = 2). Vì vậy, có 3 điểm có tung độ là 2: (0, 2), (-2, 2) và (2, 2).

– Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại các điểm cần xét.

+ Tại điểm (0, 2): [y'(0) = 3(0)^2 + 4 = 4]

+ Tại điểm (-2, 2): [y'(-2) = 3(-2)^2 + 4 = 16]

+ Tại điểm (2, 2): [y'(2) = 3(2)^2 + 4 = 16]

– Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến.

+ Tại điểm (0, 2): Phương trình tiếp tuyến là: [y – 2 = 4(x – 0)].[y = 4x + 2]

+ Tại điểm (-2, 2): Phương trình tiếp tuyến là: [y – 2 = 16(x + 2)].[y = 16x + 34]

+ Tại điểm (2, 2): Phương trình tiếp tuyến là: [y – 2 = 16(x – 2)].[y = 16x – 30]

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y=x^3+4x+2) tại điểm có tung độ là 2 có thể có một trong ba dạng sau:

(y = 4x + 2) tại điểm (0, 2)

(y = 16x + 34) tại điểm (-2, 2)

(y = 16x – 30) tại điểm (2, 2)