Đến với toán học lớp 6, các em học sinh sẽ phải làm quen với cách học và kiến thức học rộng hơn, trong đó có bài về ước số và bội số. Vậy ước số và bội số là gì? Cách tìm ước số và bội số chuẩn? Cách tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất?
Mục lục bài viết
1. Ước số là gì? Cách tìm ước số?
1.1. Khái niệm ước số:
Ước số của một số tự nhiên a là b khi a chia hết cho b.
Ví dụ: 9 chia hết cho 3 thì 3 là ước số của 9.
Ký hiệu tập hợp ước của a là Ư(a).
Ví dụ 1: Tìm tập hợp ước số của 5
→ Lần lượt chia 5 cho 1, 2, 3, 4, 5. Trong đó 5 chia hết cho 1 và chia hết cho 5, vậy Ư(5)={1; 5}
Ví dụ 2: Tìm tập hợp ước số của 4
→ Lần lượt chia 4 cho 1,2,3,4. Trong đó 4 chia hết cho 1,2,4 , vậy Ư(4) = {1; 2;4}
1.2. Cách tìm ước số:
Ta có thể tìm ước số của a (a>1) bằng cách chia lần lượt các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho số nào, khi đó ta kết luận đó là những ước số của a.
2. Ước số chung là gì? Ước số chung lớn nhất là gì?
2.1. Khái niệm:
Ước số chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ví dụ: Viết tập hợp các ước chung của 4 và các tập hợp ước của 6, ta có:
Ư(4) = { 1 ; 2 ; 4 }
Ư(6) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }
Như trên có thể thấy các số 1 và 2 vừa là ước của 4, vừa là ước của 6. Ta nói chúng là các ước chung của 4 và 6.
Ta kí hiệu tập hợp các ước chung của 4 và 6 là ƯC (4, 6). Ta có:
ƯC (4, 6) = {1 ; 2}
x € ƯC (a, b) nếu a ÷ x và b ÷ x
Tương tự ta cũng có:
x € ƯC (a, b, c) nếu a ÷ x, b ÷ x và c ÷ x
Ví dụ : Tìm ước chung của 15 và 20?
Ta có :
Ư(15)= {1;3;5;15}
Ư(20)={1;2;4;5;10;20}
Vậy Ước chung của 15 và 20 là: ƯC(15;20)= {1;5}
ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1.
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
2.2. Cách tìm ước chung lớn nhất:
Để tìm ƯCLN, cần thực hiện:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.
Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của các số đó. Nếu trong các số đó có ít nhất một số bằng 0 và ít nhất một số khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của các số khác 0.
Ví dụ:
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30
Ta có: 12 = 2² ×3
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Suy ra ƯCLN(12; 20; 30) = 2
Lưu ý:
+) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
+) Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
+) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
3. Bội số là gì? Cách tìm bội số?
Bội số (tiếng Anh gọi là multiple) đã xuất hiện từ rất sớm khi chúng ta tiếp cận với toán học ở cấp tiểu học. Tuy nhiên khái niệm rõ ràng về bội số hoàn toàn không xuất hiện trong sách vở cho đến lớp 6.
Bội số có thể hiểu là: nếu số tự nhiên x chia hết cho y thì x gọi là bội của y.
Mọi số tự nhiên đều là bội của số 1. Có thể tìm bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó với 1, 2, 3,…
Bội số nhỏ nhất được tính là nếu kết quả của phép chia a:b = 1 thì a là bội số nhỏ nhất của b. Hay nói cách khác a = b.
4. Bội chung nhỏ nhất? Cách tìm bội chung nhỏ nhất?
4.1. Khái niệm BCNN:
Bội số chung nhỏ nhất (NCBN) của hai hay nhiều số là số khác 0 nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung.
Hay hiểu một cách đơn giản, bội chung nhỏ nhất là một số khác không nhỏ nhất có thể chia hết cho 2 hay nhiều số tự nhiên khác nhau.
Bội số chung nhỏ nhất của a và b được ký hiệu là BCNN(a,b).
Ví dụ: Bội chung của 2 và 3 là tập hợp các số tự nhiên khác 0 chia hết cho 2 và 3 gồm 0, 6, 12, 18, 24,… Chúng ta có thể thấy rằng 6 là số nhỏ nhất.
4.2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
Bước 1: Phân tích mỗi số thành một số nguyên tố.
Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung và thừa số nguyên tố riêng.
Bước 3: Đưa ra các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất của nó. Kết quả này là bội chung nhỏ nhất được tìm thấy.
Ví dụ: tìm bội chung nhất của 8 và 12?
Bước 1: phân tích 8 và 12 thành tích của các số nguyên tố:
8=2 x 2 x 2= 2^3
12=2 x 2 x 3= 2^2 x 3
Bước 2: chọn thừa số chung và riêng
Bước 3: nhân các thừa số chung và riêng có số mũ lớn nhất, khi đó bội chung nhỏ nhất của 2 số cần tìm là tích của các thừa số chung và riêng có số mũ lớn nhất đó
BCNN(8;12)= 2^3 x 3= 24
Kết luận: BCNN(8;12)=24
5. Phương pháp giải và một số bài tập ứng dụng về ước số và bội số:
5.1. Phương pháp chung giải các bài toán về ước số và bội số:
Có hai phương pháp chính để giải được dạng bài tập này đó là:
Phương pháp 1: Bám sát vào định nghĩa của ước chung lớn nhất để có thể biểu diễn hai số cần tìm. Đồng thời liên hệ với những yếu tố đề bài đã dùng để suy ra hai số.
Phương pháp 2: Trong trường hợp không tìm ra định nghĩa, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa 3 yếu tố là ước chung lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tích của 2 số nguyên dương a và b.
Chương trình toán học của lớp 6 và riêng phần số học hay xuất hiện các dạng bài tập tìm hai số nguyên dương khi đã có các thông tin về ước và bội. Để thực hiện thành công những bài tập này trước hết chúng ta cần đọc đề một cách kỹ lưỡng và căn cứ theo phương pháp tổng quát để tiến hành xử lý vấn đề do đề bài đặt ra.
5.2. Một số dạng bài tập điển hình:
Bài 1: Tìm ƯCLN của:
a) 56 và 140
b) 24, 84, 180
c) 60 và 180
d) 15 và 19
ĐÁP ÁN
a) Phân tích ra thừa số nguyên tố:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ ƯCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28
b) 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN (24; 84; 180) = 2²× 3 = 12.
c) 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60
Bài 2: Cho a = 123456789; b = 987654321.
Tìm ƯCLN của (a; b)
Giải:
Ta có: a⋮9,b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)
Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì 9⋮d
Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)
Bài 3: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.
Đáp án:
Ư(4) = {1; 2; 4}
Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Ư(9) = {1; 3; 9}
Ư(13) = {1;13}
Ư(1) = {1}
Bài 4: Tìm ƯCLN của:
a) 56 và 140
b) 24, 84, 180
c) 60 và 180
d) 15 và 19
Lời giải:
a) Phân tích ra thừa số nguyên tố:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ ƯCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28
b) 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN (24; 84; 180) = 2²× 3 = 12.
c) 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60
Trên đây là khái niệm, định nghhiax và ví dục về ước số và bội số, rất mong những thông tin trên đem lại giá trị hữu ích cho bạn đọc.
