Trực tâm là gì? Tính chất và xác định trực tâm của tam giác?

1. Khái niệm về trực tâm của một tam giác là gì?

Trực tâm của một tam giác là điểm trùng với giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó. Đường cao trong tam giác là đoạn thẳng kết nối một đỉnh của tam giác với đối diện của nó sao cho tạo thành một góc vuông. Cạnh đối diện với đường cao được gọi là đáy của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy của đường cao đó. Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên, để xác định trực tâm, ta không nhất thiết phải vẽ đủ ba đường cao, mà chỉ cần kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai đường cao này sẽ giao nhau tại trực tâm của tam giác.

Với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân và tam giác đều, ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác, ta kẻ hai đường cao đến hai cạnh đối diện. Điểm giao nhau của hai đường cao này chính là trực tâm của tam giác, và đường cao còn lại sẽ chắc chắn đi qua trực tâm dù ta không cần kẻ.

Việc xác định trực tâm của tam giác không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào tính chất toán học của tam giác. Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm, thì điểm đó chắc chắn là trực tâm của tam giác.

Ví dụ trực tâm hình tam giác dưới đây:

Ta có: S là trực tâm của Tam giác LMN.

2. Cách xác định trực tâm của tam giác:

Để xác định trực tâm của một tam giác, ta có thể tìm giao điểm của ba đường cao của tam giác đó. Tuy nhiên, chỉ cần vẽ hai đường cao của tam giác, ta đã có thể xác định được trực tâm. Trong trường hợp của các dạng tam giác như tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân, tam giác đều, ta có thể kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Trực tâm của tam giác được xác định tại điểm cắt của hai đường cao này. Đường cao còn lại cũng phải đi qua trực tâm của tam giác, mặc dù không cần vẽ. Tuy nhiên, đối với tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh của góc vuông, vì hai cạnh tạo thành góc vuông cũng chính là đường cao của tam giác.

Trực tâm của các dạng tam giác khác nhau:

+ Trực tâm của tam giác nhọn – trực tâm nằm trong miền của tam giác nhọn.

+ Trực tâm của tam giác vuông – Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

+ Trực tâm của tam giác tù – Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

3. Tính chất của trực tâm:

Trực tâm trong tam giác có nhiều tính chất đặc biệt như sau:

Tính chất 1: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến.

Tính chất 2: Nếu đường trung tuyến cũng là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 3: Nếu đường trung tuyến cũng là đường phân giác vuông góc thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao kẻ từ các đỉnh đến các cạnh đối diện.

Tính chất 5: Đường cao ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra rằng trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh và ba cạnh đều là một điểm duy nhất.

4. Bài tập thực hành về trực tâm của tam giác:

4.1. Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.
Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc 

A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Đáp án: D

Bài 3: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng:

A. ΔABO = ΔCOE

B. ΔBOA = ΔCOE

C. ΔAOB = ΔCOE

D. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (vì O thuộc đường trung trực của AC )

+ OB = OE (vì O thuộc đường trung trực của BE )

+ AB = CE (giả thiết)

Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

4.2. Bài tập tự luận và hướng dẫn giải:

Bài 1:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

GIẢI 

Vẽ hình minh họa:

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM.

Bài 2: Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó: E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 3: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Bài 2: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 3: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).

Bài 4: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 5: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 6: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.