Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập Toán 11 chi tiết

1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác:

Để giải hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về lượng giác, bao gồm các công thức lượng giác, các định lí lượng giác, các bảng giá trị lượng giác và các phép biến đổi lượng giác. Ta cũng cần biết cách sử dụng máy tính khoa học để tính toán các giá trị lượng giác chính xác.

Giải hàm số lượng giác là tìm tập xác định, tập nghiệm, vẽ đồ thị và nghiên cứu sự biến thiên của hàm số. Để làm được điều này, cần áp dụng các phương pháp sau:

– Phương pháp đặt t = sinx hoặc t = cosx để chuyển hàm số lượng giác về hàm số bậc hai hoặc bậc cao hơn của t.

– Phương pháp đặt t = tan(x/2) để chuyển hàm số lượng giác về hàm số bậc nhất hoặc bậc hai của t.

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác cộng hoặc trừ để chuyển hàm số lượng giác về dạng đơn giản hơn.

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác kép hoặc nửa để chuyển hàm số lượng giác về dạng đơn giản hơn.

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác tam hoặc bốn để chuyển hàm số lượng giác về dạng đơn giản hơn.

Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các nghiệm của phương trình trong một khoảng cho trước. Để làm được điều này, ta cần áp dụng các phương pháp sau:

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác cộng hoặc trừ để chuyển phương trình lượng giác về dạng đơn giản hơn.

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác kép hoặc nửa để chuyển phương trình lượng giác về dạng đơn giản hơn.

– Phương pháp sử dụng các công thức lượng giác tam hoặc bốn để chuyển phương trình lượng giác về dạng đơn giản hơn.

– Phương pháp sử dụng bảng giá trị lượng giác để tìm nghiệm của phương trình khi có thể.

– Phương pháp sử dụng máy tính khoa học để tìm nghiệm gần đúng của phương trình khi không thể tìm nghiệm chính xác.

* Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y = sin(x) + cos(x) trên đoạn [0; 2π]. Tìm các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải:

– Ta có y’ = cos(x) – sin(x). Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y’ = 0, ta được x = π/4 + kπ/2, với k là số nguyên.

– Ta xét bảng biến thiên của hàm số như sau:

x | 0 | π/4 | π/2 | 3π/4 | π | 5π/4 | 3π/2 | 7π/4 | 2π

y’ | + | 0 | – | 0 | + | 0 | – | 0 | +

y | √2 | √2 | 1 | -√2 | -√2 | -1 | √2 | √2

– Ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = π/4 + kπ, với k là số nguyên, và cực đại bằng √2.

– Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3π/4 + kπ, với k là số nguyên, và cực tiểu bằng -√2.

– Khoảng biến thiên của hàm số là [-√2; √2].

Bài 2: Giải phương trình lượng giác cos(3x) – sin(3x) = √3.

Lời giải:

– Ta có cos(3x) – sin(3x) = √3 ⇔ cos(3x) – sin(3x) – √3 = 0.

– Ta nhân hai vế của phương trình với 2cos(3x), ta được:

– 2cos^2(3x) – 2sin(3x)cos(3x) – 2√3cos(3x) = 0 ⇔ cos(6x) – sin(6x) – √3cos(3x) = 0.

– Ta đặt t = cos(3x), ta có phương trình bậc hai: t^2 – t – √3t – 1 = 0.

– Phương trình có hai nghiệm: t1 = (√13 + 1)/4 và t2 = -(√13 + 1)/4.

– Do đó, ta có hai hệ phương trình:

Hệ 1: {cos(3x) = (√13 + 1)/4; cos(6x) – sin(6x) = √3(√13 + 1)/4}

Hệ 2: {cos(3x) = -(√13 + 1)/4; cos(6x) – sin(6x) = -√3(√13 + 1)/4}

– Giải hệ thứ nhất, ta được x thuộc {arccos((√13 + 1)/4)/3 + kπ; arccos(-(√13 + 1)/4)/6 + kπ}, với k là số nguyên.

– Giải hệ thứ hai, ta được x thuộc {arccos(-(√13 + 1)/4)/3 + kπ; arccos((√13 + 1)/4)/6 + kπ}, với k là số nguyên.

2. Tổ hợp và xác suất:

2.1. Tổ hợp:

Tổ hợp là một khái niệm toán học liên quan đến việc chọn ra một số phần tử từ một tập hợp cho trước, mà không quan tâm đến thứ tự của các phần tử đó.

Tổ hợp được tính bằng công thức:

C(n, k) = n! / (k! × (n – k)!)

Trong đó n là số phần tử của tập hợp, k là số phần tử được chọn, và n! là giai thừa của n. Giai thừa của một số là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến số đó. Ví dụ, 5! = 5. 4.3.2.1 = 120.

* Bài tập: 

Bài 1: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của A có ít nhất 3 phần tử?

Lời giải:

Số tập con của A có ít nhất 3 phần tử bằng số cách chọn 3, 4, …, 10 phần tử từ A. Theo công thức tổ hợp, ta có:

C(10,3) + C(10,4) + … + C(10,10) = (C(10,0) + C(10,1) + … + C(10,10)) – (C(10,0) + C(10,1) + C(10,2)) = 2^10 – (1 + 10 + 45) = 1012.

Vậy số tập con của A có ít nhất 3 phần tử là 1012.

Bài 2: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho C(n,5) > C(n-1,6).

Lời giải:

Ta có C(n,5) > C(n-1,6) khi và chỉ khi n!/(5!(n-5)!) > (n-1)!/(6!(n-7)!). Rút gọn hai vế của bất phương trình, ta được:

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) > 720(n-6).

Đặt f(n) = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) – 720(n-6), ta thấy f(n) là hàm bậc năm đối với n. Ta cần tìm n nhỏ nhất sao cho f(n) > 0.

Thử các giá trị của n từ 7 trở lên, ta được:

f(7) = -30240 < 0

f(8) = -17280 < 0

f(9) = -5040 < 0

f(10) = 0

f(11) = 7920 > 0

Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 11.

2.2. Xác suất:

Xác suất của biến cố A là số đo khả năng xảy ra của biến cố A, kí hiệu là P(A).

Xác suất có các tính chất sau:

– P(Ω) = 1, P(∅) = 0

– 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A

– Nếu A và B xung khắc với nhau, thì P(A∪B) = P(A) + P(B)

– Với mọi biến cố A, ta luôn có P(¬A) = 1 – P(A)

* Bài tập:

Bài 1: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ, 8 quả cầu xanh và 6 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để:

a) Có ít nhất một quả cầu đỏ.

b) Có đúng một quả cầu xanh.

c) Không có quả cầu vàng.

Lời giải:

a) Xác suất để không có quả cầu đỏ là P(A) = C(14,3)/C(24,3) = 0.087. Vậy xác suất để có ít nhất một quả cầu đỏ là P(A’) = 1 – P(A) = 0.913.

b) Xác suất để có đúng một quả cầu xanh là P(B) = C(8,1)*C(16,2)/C(24,3) = 0.381.

c) Xác suất để có ít nhất một quả cầu vàng là P(C) = C(18,3)/C(24,3) = 0.413. Vậy xác suất để không có quả cầu vàng là P(C’) = 1 – P(C) = 0.587.

Bài 2: Một túi chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Lần lượt rút ra 2 viên bi từ túi mà không hoàn lại. Tính xác suất để:

a) Cả hai viên bi đều trắng.

b) Có đúng một viên bi trắng.

c) Hai viên bi có màu khác nhau.

Lời giải:

a) Xác suất để cả hai viên bi đều trắng là P(D) = C(4,2)/C(10,2) = 0.133.

b) Xác suất để có đúng một viên bi trắng là P(E) = C(4,1).C(6,1)/C(10,2) = 0.4.

c) Xác suất để hai viên bi có màu khác nhau là P(F) = P(D’) + P(E’) = (1 – P(D)) + (1 – P(E)) = 0.467.

3. Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân:

– Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một quy luật nào đó. Có hai loại dãy số thường gặp là cấp số cộng và cấp số nhân.

– Cấp số cộng là dãy số có quy luật là từ hai số hạng liên tiếp, số hạng sau trừ số hạng trước bằng một hằng số gọi là công sai. Công thức tổng quát của cấp số cộng là:

a_n = a_1 + (n – 1)d

Trong đó, a_n là số hạng thứ n, a_1 là số hạng đầu tiên, d là công sai.

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S_n = n(a_1 + a_n)/2 = n/2(2a_1 + (n-1)d).

– Cấp số nhân là dãy số có quy luật là từ hai số hạng liên tiếp, số hạng sau chia cho số hạng trước bằng một hằng số gọi là công bội. Công thức tổng quát của cấp số nhân là:

a_n = a_1 . q^(n – 1)

Trong đó, a_n là số hạng thứ n, a_1 là số hạng đầu tiên, q là công bội.

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: S_n = a_1(1 – q^n)/(1 – q), khi q khác 1 và S_n = na_1, khi q bằng 1.

– Để giải dãy số, ta cần xác định được loại dãy số, công sai hoặc công bội, và các thông tin về các số hạng trong dãy. Sau đó, ta có thể áp dụng các công thức trên để tìm ra các giá trị cần thiết.

* Bài tập

Bài 1: Tìm công sai và công thức của cấp số cộng: 3, 7, 11, 15, …

Lời giải: Ta có d = 7 – 3 = 11 – 7 = 15 – 11 = 4. Vậy công sai của cấp số cộng này là 4. Để tìm công thức, ta thay các giá trị đã biết vào công thức tổng quát của cấp số cộng:

a_n = a_1 + (n-1)d

   = 3 + (n-1)4

   = 4n – 1

Vậy công thức của cấp số cộng này là: a_n = 4n – 1.

Bài 2: Tìm lý thừa và công thức của cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, …

Lời giải: Ta có q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 3. Vậy lý thừa của cấp số nhân này là 3. Để tìm công thức, ta thay các giá trị đã biết vào công thức tổng quát của cấp số nhân:

a_n = a_1 * q^(n-1)

   = 2 * 3^(n-1)

Vậy công thức của cấp số nhân này là: a_n = 2 * 3^(n-1).

4. Giới hạn:

Để giải giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục, ta cần hiểu khái niệm về giới hạn và liên tục. Giới hạn của dãy số là giá trị mà các phần tử của dãy số tiến đến khi n tiến đến vô cùng. Giới hạn của hàm số là giá trị mà hàm số tiến đến khi biến số x tiến đến một giá trị xích định hoặc vô cùng. Hàm số liên tục là hàm số có giá trị tại một điểm bằng với giới hạn của hàm số tại điểm đó.

– Để tìm giới hạn của dãy số, sử dụng các phương pháp như so sánh, nhân chia, căn bậc hai, lũy thừa, logarit…

– Để kiểm tra tính liên tục của hàm số, ta có thể sử dụng các điều kiện như: tồn tại giới hạn tại điểm xét, tồn tại giá trị tại điểm xét và bằng với giới hạn tại điểm đó.

* Bài tập

Bài 1: Tính giới hạn của hàm số sau khi x tiến đến 2:

f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2)

Lời giải:

Ta có: f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) = [(x – 2)(x + 2)]/(x – 2)

Khi x tiến đến 2, ta được:

lim(x->2) f(x) = lim(x->2) [(x – 2)(x + 2)]/(x – 2)

Do x khác 2, nên ta có thể rút gọn được (x – 2) trong tử và mẫu, ta được:

lim(x->2) f(x) = lim(x->2) (x + 2)

Khi x tiến đến 2, ta có x + 2 tiến đến 4, nên:

lim(x->2) f(x) = lim(x->2) (x + 2) = 4

Vậy giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2 là 4.

Bài 2: Tính giới hạn của hàm số sau khi x tiến đến vô cùng:

g(x) = (3x^3 + x)/(5x^3 – x^2 + 1)

Lời giải:

Ta có: g(x) = (3x^3 + x)/(5x^3 – x^2 + 1)

Khi x tiến đến vô cùng, ta có thể chia cả tử và mẫu cho x^3, ta được:

g(x) = [(3 + 1/x^2)/(5 – 1/x + 1/x^3)]

Khi x tiến đến vô cùng, ta có các số hạng có mũ âm của x sẽ tiến đến 0, nên:

lim(x->oo) g(x) = lim(x->oo) [(3 + 1/x^2)/(5 – 1/x + 1/x^3)] = (3/5)

Vậy giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng là 3/5.

5. Đạo hàm:

Đạo hàm của một hàm số y = f(x) tại điểm x0 được định nghĩa là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số dần về 0. Đạo hàm có ý nghĩa hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x0. Đạo hàm cũng có ý nghĩa vật lý là vận tốc tức thời của một điểm chuyển động theo quỹ đạo của hàm số. Công thức tính đạo hàm bao gồm các quy tắc cơ bản và các quy tắc nâng cao.

Một số quy tắc cơ bản như sau:

– Đạo hàm của một hằng số bằng 0: (k)’ = 0

– Đạo hàm của biến số bằng 1: (x)’ = 1

– Đạo hàm của tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu đạo hàm của hai hàm số đó: (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x); (f(x) – g(x))’ = f'(x) – g'(x)

– Đạo hàm của tích hai hàm số bằng tổng của tích đạo hàm của một hàm số với hàm số còn lại: (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

– Đạo hàm của thương hai hàm số bằng thương của hiệu tích đạo hàm của một hàm số với hàm số còn lại và bình phương của mẫu số: (f(x)/g(x))’ = (f'(x)g(x) – f(x)g'(x))/(g(x))^2

Một số quy tắc nâng cao như sau:

– Đạo hàm của mũ là tích của mũ và đạo hàm của lũy thừa: (f(x)^n)’ = nf'(x)f(x)^(n-1)

– Đạo hàm của căn bậc hai là thương của đạo hàm của căn bậc hai và hai lần căn bậc hai: (sqrt(f(x)))’ = f'(x)/(2sqrt(f(x)))

– Đạo hàm của logarit là thương của đạo hàm và logarit: (log(f(x)))’ = f'(x)/f(x)

– Đạo hàm của e^x là e^x: (e^x)’ = e^x

– Đạo hàm của sin x là cos x: (sin x)’ = cos x

– Đạo hàm của cos x là -sin x: (cos x)’ = -sin x

* Bài tập:

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x^3 – 2x + 5.

Lời giải:

Để tính đạo hàm của hàm số y, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa:

y’ = (x^3)’ – (2x)’ + (5)’

y’ = 3x^2 – 2

Bài 2: Tìm điểm cực trị của hàm số y = x^4 – 4x^3 + 6x^2.

Lời giải:

Để tìm điểm cực trị của hàm số y, ta cần tìm các giá trị của x sao cho y’ = 0. Ta có:

y’ = 4x^3 – 12x^2 + 12x

y’ = 0 <=> x(4x^2 – 12x + 12) = 0

<=> x = 0 hoặc x = (12 ± √(144 – 192))/8

<=> x = 0 hoặc x = (3 ± √3)/2

Để kiểm tra xem các giá trị này có phải là điểm cực trị hay không, ta áp dụng bảng biến thiên của hàm số:

x | -∞ | (3 – √3)/2 | 0 | (3 + √3)/2 | +∞

y’ | – | + | 0 | – | +

y | +∞ | -6√3 + 27/4 | 0 | 6√3 + 27/4 | +∞

Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng:

– x = (3 – √3)/2 là điểm cực đại với y = -6√3 + 27/4

– x = (3 + √3)/2 là điểm cực tiểu với y = 6√3 + 27/4

– x = 0 không phải là điểm cực trị

6. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng:

Phép dời hình và phép đồng dạng là hai loại biến đổi hình học trong mặt phẳng. Phép dời hình là phép biến đổi một hình bất kỳ thành một hình khác có cùng kích thước và hình dạng, nhưng có vị trí khác nhau. Phép đồng dạng là phép biến đổi một hình bất kỳ thành một hình khác có cùng hình dạng, nhưng có kích thước khác nhau. Cả hai phép biến đổi này đều giữ nguyên các góc và các tỉ số độ dài của các cạnh tương ứng.

Để giải phép dời hình, ta cần xác định vector dời hình, tức là một đại lượng có phương và độ lớn, biểu thị hướng và khoảng cách mà mỗi điểm của hình ban đầu được dời sang. Vector dời hình có thể được xác định bằng cách nối hai điểm tương ứng của hai hình bằng một mũi tên. Sau khi có vector dời hình, ta có thể áp dụng nó lên các điểm còn lại của hình ban đầu để được các điểm của hình kết quả.

Để giải phép đồng dạng, cần xác định tỉ số đồng dạng, tức là tỉ số giữa độ dài của hai cạnh tương ứng của hai hình. Tỉ số đồng dạng có thể được tính bằng cách chia độ dài của một cạnh bất kỳ của hình kết quả cho độ dài của cạnh tương ứng của hình ban đầu. Sau khi có tỉ số đồng dạng, có thể áp dụng nó lên các cạnh của hình ban đầu để được các cạnh của hình kết quả. Ngoài ra, cũng cần xác định tâm đồng dạng, tức là điểm không thay đổi vị trí khi áp dụng phép biến đổi. Tâm đồng dạng có thể được xác định bằng cách nối hai điểm tương ứng của hai hình bằng một đường thẳng và tìm điểm giao nhau của các đường thẳng này.

* Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm và góc BAC = 60 độ. Tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C trong hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(0; 0), B nằm trên trục Ox và C nằm trong phần tư thứ nhất. Sau đó, dùng phép dời hình để xác định tọa độ của tam giác A’B’C’ biết rằng A’B’C’ là hình ảnh của ABC khi dời hình theo vectơ u(2; -3).

Lời giải:

Ta có AB = 6 cm nên B(6; 0). Ta có AC = 8 cm và góc BAC = 60 độ nên C(4; 4√3). Do đó, tọa độ của các đỉnh A, B, C là A(0; 0), B(6; 0) và C(4; 4√3).

Để dời hình tam giác ABC theo vectơ u(2; -3), ta cộng tọa độ của mỗi đỉnh với tọa độ của vectơ u. Ta được:

A'(0 + 2; 0 – 3) = (2; -3)

B'(6 + 2; 0 – 3) = (8; -3)

C'(4 + 2; 4√3 – 3) = (6; √3 – 3)

Vậy tọa độ của tam giác A’B’C’ là A'(2; -3), B'(8; -3) và C'(6; √3 – 3).

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm và AD = 9 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi E là điểm thuộc cạnh BC sao cho BE = 6 cm. Chứng minh rằng tứ giác AMEN là hình bình hành và tính diện tích của nó. Sau đó, dùng phép đồng dạng để xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác AME và diện tích của hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:

Ta có AM = MB = AB/2 = 6 cm và EN = NC = CD/2 = 4.5 cm. Do đó, AM // EN và AM = EN. Tương tự, ta có AN // EM và AN = EM. Vậy tứ giác AMEN là hình bình hành.

Diện tích của hình bình hành AMEN bằng diện tích của tam giác AME cộng với diện tích của tam giác MEN. Ta có:

S(AME) = (1/2)AM.AE.sin(AÊM) = (1/2)6.9.sin(90) = 27 (cm^2)

S(MEN) = (1/2)ME.EN.sin(MÊN) = (1/2)6.4.5.sin(90) = 13.5 (cm^2)

Vậy S(AMEN) = S(AME) + S(MEN) = 27 + 13.5 = 40.5 (cm^2).

Để dùng phép đồng dạng, ta xét hai tam giác AME và ABC. Ta có:

AM/AB = AE/AC

6/12 = 9/x

x = 18

Vậy AC = x = 18 cm và BC = √(AC^2 – AB^2) = √(18^2 – 12^2) = √180 ≈ 13.42 cm.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD bằng tích của hai cạnh kề AB và AD. Ta có:

S(ABCD) = AB.AD = 12.9 = 108 (cm^2)

Tỉ số giữa diện tích của tam giác AME và diện tích của hình chữ nhật ABCD bằng tỉ số bình phương của độ dài hai cạnh tương ứng. Ta có:

S(AME)/S(ABCD) = (AM/AB)^2

27/108 = (6/12)^2

1/4 = 1/4

Vậy S(AME)/S(ABCD) = 1/4.

7.  Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

Đường thẳng là tập hợp các điểm có vị trí liên tục trên một đường, không có độ rộng hay độ dày. Mặt phẳng là tập hợp các điểm có vị trí liên tục trên một mặt, không có độ dày.

Để ký hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

• Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu A ∈ (P).

– Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu B ∉ (P).

– Nếu A ∈ (P) ta còn nói A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P) đi qua A.

Đường thẳng và mặt phẳng có thể có mối quan hệ với nhau theo ba cách: song song, cắt nhau hoặc vuông góc.

– Khi hai đường thẳng song song, chúng không có điểm chung nào và luôn cách nhau một khoảng cố định.

– Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng có một điểm chung duy nhất và tạo thành một góc.

– Khi hai đường thẳng vuông góc, chúng cắt nhau tại một điểm và tạo thành một góc 90 độ.

– Khi một đường thẳng song song với một mặt phẳng, đường thẳng đó nằm hoàn toàn trong mặt phẳng đó và không có điểm chung nào với các đường thẳng khác trong mặt phẳng.

– Khi một đường thẳng cắt một mặt phẳng, đường thẳng đó có một điểm chung duy nhất với mặt phẳng và nằm trong hai nửa không gian khác nhau do mặt phẳng chia.

– Khi một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, đường thẳng đó cắt mặt phẳng tại một điểm và tạo thành các góc 90 độ với các đường thẳng khác trong mặt phẳng.

một điểm và tạo thành các góc 90 độ với các đường thẳng khác trong mặt phẳng.

8. Vecto trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian:

Để giải các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian, ta cần nắm vững các kiến thức sau:

– Định nghĩa và tính chất của vectơ trong không gian, cách biểu diễn một vectơ theo các vectơ khác, cách tính tổng, hiệu, bội số của các vectơ.

– Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng, cách phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, cách xác định vị trí tương đối của các điểm trong không gian bằng vectơ.

– Tích vô hướng của hai vectơ, cách tính góc giữa hai vectơ hoặc hai đường thẳng trong không gian, điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau.

– Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, cách dựng một mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

– Hai mặt phẳng vuông góc, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, cách tính diện tích hình chiếu của một đa giác lên một mặt phẳng cho trước, cách dựng một mặt phẳng qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

– Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, từ một điểm đến một mặt phẳng, từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song, từ hai mặt phẳng song song, từ hai đường thẳng chéo nhau.

* Bài tập

Bài 1: Cho hai đường thẳng d: (x – 1)/2 = (y – 2)/3 = (z – 3)/4 và d’: (x – 2)/5 = (y – 3)/6 = (z – 4)/7. Tính góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải:

– Ta có véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (2; 3; 4) và véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d’ là v = (5; 6; 7).

– Góc giữa hai đường thẳng d và d’ là góc giữa hai véc-tơ u và v. Ta có công thức tính góc giữa hai véc-tơ:

cosα = |u.v|/(|u|.|v|)

– Thay vào công thức, ta được:

cosα = |(2; 3; 4).(5; 6; 7)|/(√29.√110) = 56/(√29.√110)

– Vậy góc giữa hai đường thẳng d và d’ là α = arccos(56/(√29.√110)).

Bài 2: Cho mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0 và điểm A(1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

– Ta có véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; 1; 1).

– Để AM vuông góc với mặt phẳng (P), ta cần có AM.n = 0, hay:

(x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = 0

– Điều kiện trên cùng với phương trình của mặt phẳng (P) tạo thành hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất:

x = y = z = 2

– Vậy điểm M cần tìm là M(2; 2; 2).