Tổng hợp các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản và nâng cao

1. Những hằng đẳng thức cơ bản:

– Bình phương của một tổng: (a+b)²=a²+2ab+b²

Chứng minh đẳng thức:

VP = a²+2ab+b²

     =(a²+ab)+(b²+ab)

     =a(a+b)+b(a+b)

     =(a+b)(a+b)

     =(a+b)² =VT (đpcm)

– Bình phương của một hiệu: (a−b)²=a²−2ab+b²

Chứng minh đẳng thức:

VP = a²-2ab+b²

      = a² -ab -ab +b²

      = a(a-b) -b.(a-b)

      = (a-b).(a-b)

      = (a-b)² = VT (đpcm)

– Hiệu hai bình phương: a²−b²=(a+b)(a−b)

Chứng minh đẳng thức:

VP = (a-b).(a+b) 

      = a² +ab -ab -b²

      = a² -b² + (ab-ab)

      = a² -b² + 0

       = a² -b² = VP

– Lập phương của một tổng: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Chứng minh đẳng thức:

VT = (a+b)³

     =(a+b)(a+b)(a+b)

     =a(a+b)(a+b)+b(a+b)(a+b)

     =(a²+ab)(a+b)+(ab+b²)(a+b)

     =(a³+a²b+a²b+ab²)+(a²b+ab²+ab²+b³)

     =a³+a²b+a²b+ab²+a²b+ab²+ab²+b³

     =a³+a²b+a²b+a²b+ab²+ab²+ab²+b³

     =a³+3a²b+3ab²+b³ = VP (đpcm)

– Lập phương của một hiệu: (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³

Chứng minh đẳng thức:

VT = (a-b)³

     =(a-b)(a-b)(a-b)

     =a(a-b)(a-b)-b(a-b)(a-b)

     =(a²-ab)(a-b)-(ab-b²)(a-b)

     =(a³-a²b-a²b+ab²)-(a²b-ab²-ab²+b³)

     =(a³-2a²b+ab²)-(a²b-2ab²+ab²+b³)

     = a³-2a²b+ab²-a²b+2ab²-ab²-b³)   

     =a³-3a²b-3ab²+b³ = VP (đpcm)

– Tổng hai lập phương: a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)

Chứng minh đẳng thức:

VP = (a+b)(a²-ab+b²)

      =a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³

      =a³+b³= VT (đpcm)

– Hiệu hai lập phương: a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)

Chứng minh đẳng thức:

VP = (a-b)(a²+ab +b²)

      =a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³

      =a³-b³= VT (đpcm)

2. Những hằng đẳng thức mở rộng:

– Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng: 

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

Chứng minh đẳng thức:

VT = (a+b+c)²

     = [(a+b)+c]²   

     = (a+b)²+2c(a+b) +c²

     = a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²

     = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = VP (đpcm)

– (a – b + c )² = a² + b² + c²  – 2ab – 2bc + 2ac

Chứng minh đẳng thức:

VP = (a-b+c)²

     = [(a-b)+c]²   

     = (a-b)²+2c(a-b) +c²

     = a²-2ab+b²+2ac-2bc+c²

     = a² + b² + c² – 2ab – 2bc + 2ca = VT (đpcm)

– (a + b + c + d)² = a² + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd

Chứng minh đẳng thức:

VT = (a+b+c+d)²

     = [(a+b)+(c+d)]²

     = (a+b)²+2(a+b)(c+d)(c+d)²

     = a²+2ab+b²+2ac+2bc+2ad+2bd+c²+2cd+d²   

     =  a² + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd = VP (đpcm)

– Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng:

– (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3 (a + b)(a + c)(b + c)

Chứng minh đẳng thức:

VP =(a+b+c)³

      =[(a+b)+c]³

      =(a+b)³+c³+3(a+b)c(a+b+c)

      =a³+b³+c³+3ab(a+b)+3c(a+b+c)(a+b)

      =a³+b³+c³+3(a+b)(ab+ac+cb+c^2)

      =a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a) = VT ( đpcm)

– a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc)

Chứng minh đẳng thức:

(a+b)³= a³ + 3a2b +3ab2 + b³

= a3 + b3 + 3ab (a+b)

VT = a3 + b3 +c3 -3abc

     = (a+b)3 – 3ab (a+b) + c3 – 3abc

     = (a+b)3 + c3 – 3ab (a+b) – 3abc

     = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac – bc + c2 – 3ab)

     = (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab – bc – ac) =VP (đpcm)

– a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Chứng minh đẳng thức:

(a+b)³= a³ + 3a2b +3ab2 + b³

          = a3 + b3 + 3ab (a+b)

suy ra: a3 + b3 = (a+b)³-3ab (a+b)

– a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Chứng minh đẳng thức:

(a-b)³= a³ – 3a2b +3ab2 – b³

          = a3 – b3 – 3ab (a-b)

suy ra: a3 – b3 = (a-b)³+3ab (a-b)

– Hằng đẳng thức bậc 4: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Chứng minh đẳng thức:

VT =[(a+b)2]2

= [a2+2ab+b2]2 

 =[(a²+2ab)+b²]²

= [(a2+2ab)2+2(a2+2ab)b2+b4     

 =a4 + 4a3b + 4a2b2  + 2a2b2 + 4ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4=VP (đpcm)

– Hằng đẳng thức bậc 5:

( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5

Chứng minh đẳng thức:

Ta có:

VT = (a+b)2 . (a+b)3

= (a2 + 2ab + b2).(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)

= a5 + 3a4b + 3a3b2 + a2b3 + 2a4b + 6a3b2 + 6a2b3 + 2ab4 + a3b2 + 3a2b3 + 3ab4 + b5

= a5 + (3a4b + 2a4b) + (3a3b2 + 6a3b2 + a3b2) + (a2b3 + 6a2b3 + 3a2b3) + (2ab4 + 3ab4)+ b5

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5 = VP (đpcm)

3. Những hằng đẳng thức nâng cao:

Bình phương của n số hạng (n>2)

(a₁+a₂+a₃+…+a_n−1+a_n)²=a1²+a2²+a3²+…+an²+2a1a2+2a1a3+…+2a1an+2a2a3…+a_n−1a_n

Hằng đẳng thức an+bn ( với n là số lẻ)

aⁿ+bⁿ=(a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+bⁿ⁻¹)

Hằng đẳng thức  an−bn ( với n là số lẻ)

aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+bⁿ⁻¹)

Hằng đẳng thức  an−bn (với n là số chẵn)

aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+bⁿ⁻¹)

hoặc: =(a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…−bⁿ⁻¹)

Cách nhớ: Gặp bài toán có công thức  an−bn (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:

a2−b2=(a+b)(a−b) (viết (a+b) trước )

a2−b2=(a−b)(a+b) ( viết (a−b) trước ).

Chú ý: Gặp bài toán an+bn ( với n là số chẵn) hãy nhớ

a2+b2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể biến đổi thành tích được.

4. Bài tập áp dụng và lời giải:

4.1. Dạng bài tập 01: 

Bài 1:  Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x2 + 2x + 1

b) 9×2 + y2 + 6xy

c) 25a2 + 4b2 – 20ab

Lời giải:

a) x2 + 2x + 1

= x2 + 2.x.1 + 12

= (x + 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1)

b) 9×2 + y2 + 6xy

= 9×2 + 6xy + y2

= (3x)2 + 2.3x.y + y2

= (3x + y)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y)

c) 25a2 + 4b2 – 20ab

= 25a2 – 20ab + 4b2

= (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2

= (5a – 2b)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)

4.2. Dạng bài tập 02:

Bài 2: Chứng minh rằng: (10a + 5)² = 100a . a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752

Lời giải:

Ta có:

(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52

       = 100a2 + 100a + 25

       = 100a(a + 1) + 25

Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có:

a5² = (10a+5)²

= 100a(a+1)+25

= 100.A + 25

= A25

Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng a5 , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.

Áp dụng:

25² = (10.2 + 5)2 do đó a = 2 ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625. Vậy 252 = 625

35² = (10.3 + 5)2 do đó a = 3 ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225. Vậy 352 = 1225

65² = (10.6 + 5)2 do đó a = 6 ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225. Vậy 652 = 4225

75² = (10.7 + 5)2 do đó a = 7 ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625. Vậy 752 = 5625

Bài 3: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x2 + 6xy + … = ( … + 3y)2

b) … – 10xy + 25y2 = ( … – …)2

Lời giải: 

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1) với

A = x ;

2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

Vậy ta có hằng đẳng thức:

x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2

hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với :

B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y

2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

= x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

Bài 4: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9×2 – 6x + 1.

b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1.

Lời giải:

a) 9×2 – 6x + 1

= (3x)2 – 2.3x.1 + 12

= (3x – 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1)

b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1

= (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12

= [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)

= (2x + 3y + 1)2

Bài 5: Tính nhanh:

a) 101² ; b) 199² ; c) 47.53

Lời giải: 

a) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2.100 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201

b) 199² = (200 – 1)² = 200 ² – 2.200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491

Bài 6: Chứng minh rằng:

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Áp dụng:

a) Tính (a – b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12.

b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 và a.b = 3.

Lời giải:

Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

Ta có:

VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab

      = a2 + (4ab – 2ab) + b2

      = a2 + 2ab + b2

      = (a + b)2 = VT (đpcm)

+ Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Ta có:

VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab

      = a2 + (2ab – 4ab) + b2

      = a2 – 2ab + b2

      = (a – b)2 = VT (đpcm)

+ Áp dụng, tính:

a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412