Tiếp tuyến là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến?

1. Tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm. Đồng thời nó cũng sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn tại chính điểm đó. Ngoài ra, Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đồ thị mà không cắt đồ thị tại 1 điểm nhất định và điểm đó chính là tiếp điểm. 

Tiếp tuyến của 1 đường cong tại 1 điểm bất kì thuộc đường cong là 1 đường thẳng và chỉ “chạm” vào đường cong đó tại điểm đó. Leibniz đã định nghĩa tiếp tuyến như 1 đường thẳng nối 1 cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, 1 đường thẳng là 1 tiếp tuyến của đường cong  y = f (x) tại điểm x = c trên đường cong, khi đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong, và độ dốc f ‘(c) với f ‘ là đạo hàm của f.

Khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là một đường thẳng tiếp xúc trực tiếp với đồ thị hàm số tại chính điểm đó. Và công thức để chúng ta có thể xác định được tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M(x1, x2) sẽ là: y = f’(x1)(x-x1) + x2 .

Dựa vào công thức trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm sẽ chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến.

2. Tính chất và dấu hiệu nhận biết đường tiếp tuyến là gì?

2.1. Tính chất:

Để có thể giải các bài tập hình học có liên quan được chính xác và nhanh chóng hơn thì bạn nên nắm chắc được tính chất của loại đường này. Dưới đây là một số tính chất mà bạn nhất định phải ghi nhớ nhé!

– Nếu một đường thẳng được xác định là tiếp tuyến của đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.– Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì sẽ đi qua tâm.

– Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, chúng ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn đó.– Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại 1 điểm bất kỳ và điểm đó sẽ chính là khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

+ Tia được kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn sẽ được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau thì sẽ được gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua các tiếp điểm.

2.2. Dấu hiệu:

– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm nào đó nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

– Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bất kỳ bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến:

3.1. Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b => ka = -1 => k = -(1/a).

Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng cho trước với hệ số góc k = -(1/k).

3.2. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng:

Tiếp tuyến d song song đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.

Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.

Sau khi đã lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ hãy kiểm tra lại tiếp tuyến đó xem có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì ta không nhận kết quả đó.

3.3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm:

Bước 1. Cần tính đạo hàm y’=f(x). Từ đó có thể suy ra hệ số góc tiếp tuyến k=y’(x0).

Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng là: y= y’(x0)(x – x0) + y0.

Lưu ý:

– Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì cần tìm được y0 bằng cách thay thế x0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì cần đi tìm y0 cũng bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b thì khi đó các hoành độ tiếp điểm x chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d sẽ có dạng là f(x) = ax + b.

Đặc biệt: Nếu trục hoành Ox thì sẽ có y = 0 và trục tung Oy thì sẽ có x = 0.

Nhận xét: Việc sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thực chất chỉ là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công mà thôi. Sử dụng máy tính sẽ giúp các bạn tính toán được nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm trong dạng đề thi Đại học những năm gần đây thì sử dụng máy tính cầm tay sẽ là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh lựa chọn nhất.

3.4. Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm:

Bước 1: Ta hãy gọi M (x0; f(x0)) là tiếp điểm. Sau đó tính hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0) dựa theo x0.

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng d: y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

Vì điểm A (xA; yA) thuộc d nên yA=f’(x0)(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên ta sẽ tìm được x0.

Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào phương trình ở bước 2 ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

4. Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)

Cách giải:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc

Áp dụng phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0

Cách giải:

– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.

– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.

Áp dụng phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0

Cách giải:

– Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0.

– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì khi thay vào ta có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)

Cách giải:

– Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0

– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.

Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Một số dạng bài khác

– Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này

y’(x0). a = -1 ⇔ y’(x0) = -1/a … khi đó bài toán lại quay về dạng 4.

Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì điều này

⇔ y’(x0) = a…bài toán lại quay về dạng 4.

Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng đã cho. Khi đó bài toán lại quay về dạng 1.

5. Một số lưu ý quan trọng về tiếp tuyến của đường tròn:

– Bạn cần nắm vững các tính chất cũng như định lý có liên quan đến tiếp tuyến đường tròn.– Ghi chú hoặc tóm tắt lại thành hệ thống các thông tin trong đề để tránh thiếu sót.

– Đọc kỹ đề bài để có thể nắm rõ các thông tin.

– Thường xuyên làm thêm các bài tập về nhà để rèn luyện được tư duy nhanh nhạy.– Sử dụng máy tính cầm tay khi cần thiết để ra đáp án chính xác.

6. Một số thuật ngữ khác liên quan đến tiếp tuyến:

Ngoài các thuật ngữ trên thì các bạn cũng cần nắm được một số thuật ngữ khác liên quan đến tiếp tuyến khác như:

Gia tốc tiếp tuyến là gì?

Gia tốc tiếp tuyến là đại lượng được sử dụng để mô tả cho sự thay đổi độ lớn của vectơ vận tốc. Gia tốc tiếp tuyến có những điểm lưu ý sau: 

• Phương của gia tốc tiếp tuyến trùng với phương của tiếp tuyến
• Chuyển động nhanh dần khi cùng chiều và chuyển động chậm dần khi ngược chiều.

Ứng suất tiếp tuyến là gì?

Ứng suất tiếp tuyến hay ứng suất lực cản/ áp suất là ứng suất chỉ xuất hiện bên trong hệ do nội lực gây ra trên 1 đơn vị diện tích.

Lực tiếp tuyến là gì?

Lực tiếp tuyến cũng giống như tên gọi của nó theo phương tiếp tuyến và nó có tác dụng làm thay đổi độ lớn của vận tốc. Còn lực pháp tuyến hay lực hướng tâm có tác dụng làm thay đổi phương của vận tốc, nghĩa là làm cho chất điểm chuyển động theo quỹ đạo cong.

Bài viết trên đây về tiếp tuyến là gì, tính chất cũng như dấu hiệu của nó chắc hẳn đã giúp các bạn học sinh có thêm kiến thức để áp dụng vào bài tập. Chúc các bạn luôn đạt thành tích học tập tốt . Và nếu bạn còn thắc mắc nào cần được Luật Dương Gia giải đáp thì đừng ngần ngại để lại bình luận ngay dưới bài viết này nhé!