Tỉ lệ thức là gì? Các lý thuyết về tỉ lệ thức (SGK Toán lớp 7)

1. Tỉ lệ thức là gì? 

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số, có dạng a/b = c/d hoặc a:b = c:d, trong đó a, b, c, d là các số hữu tỉ và b, d khác 0. Tỉ lệ thức có nhiều tính chất quan trọng trong toán học, ví dụ như tính chất nhân hai vế cho một số khác 0, tính chất cộng hai vế cho một số khác 0, tính chất đối xứng, tính chất nghịch đảo, tính chất bằng nhau và tính chất thế. Tỉ lệ thức được ứng dụng trong nhiều bài toán liên quan đến tỉ lệ giữa các đại lượng, ví dụ như bài toán về tốc độ, bài toán về quy tắc ba, bài toán về tỉ số và phần trăm.

2. Các lý thuyết về tỉ lệ thức:

2.1. Công thức tỉ lệ thức:

Chúng ta sử dụng công thức tỷ số khi so sánh mối quan hệ giữa hai số hoặc đại lượng. Dạng tổng quát để biểu diễn tỷ số giữa hai đại lượng là ‘a’ và ‘b’ là a:b, được đọc là ‘a trên b’.

Dạng phân số biểu thị tỷ lệ này là a/b. Để đơn giản hóa hơn nữa một tỷ số, chúng ta thực hiện theo quy trình tương tự mà chúng ta sử dụng để đơn giản hóa một phân số. a:b = a/b. Ví dụ: Một lớp học có 50 học sinh, có 23 học sinh nữ và còn lại là nam. Tìm tỉ số giữa số nam và số nữ.

Tổng số học sinh = 50; Số bạn nữ = 23.

Tổng số nam = Tổng số học sinh – Tổng số nữ

= 50 – 23

= 27

Do đó, tỷ lệ là (Số nam: Số nữ), là 27:23.

2.2. Tính toán tỷ lệ:

Để tính tỉ số của hai đại lượng ta thực hiện các bước sau. 

Ví dụ: Cần 15 cốc bột mì và 20 cốc đường để làm bánh bông lan, hãy tính tỷ lệ bột mì và đường được sử dụng trong công thức.

Bước 1: Tìm số lượng của cốc bột mì và cốc đường mà chúng ta đang xác định tỷ lệ. Trong trường hợp này là 15 và 20.

Bước 2: Viết tỷ lệ dưới dạng phân số a/b. Ta có 15/20.

Bước 3: Rút gọn phân số hơn nữa, nếu có thể. Phân số tối giản sẽ cho tỉ số cuối cùng. Ở đây, 15/20 có thể rút gọn thành 3/4.

Bước 4: Do đó tỉ lệ bột và đường có thể biểu thị là 3:4.

2.3. Làm thế nào để đơn giản hóa tỷ lệ thức?

Tỷ lệ biểu thị số lượng cần thiết của một đại lượng này so với đại lượng khác. Tỉ lệ thức có thể được đơn giản hóa và thể hiện ở dạng thấp nhất. Các tỷ số khi được biểu diễn dưới dạng thấp nhất sẽ dễ hiểu và có thể được đơn giản hóa giống như cách chúng ta đơn giản hóa phân số. Để đơn giản hóa tỷ lệ, ta sử dụng các bước sau. 

Ví dụ: Hãy đơn giản hóa tỷ lệ thức 18:10.

Bước 1: Viết tỉ số a:b dưới dạng phân số a/b. Viết tỉ số dưới dạng phân số ta được 18/10

Bước 2: Tìm ước chung lớn nhất của ‘a’ và ‘b’. Trong trường hợp này, ước chung lớn nhất của 10 và 18 là 2.

Bước 3: Chia tử số và mẫu số của phân số với ước chung lớn nhất để thu được phân số tối giản. Ở đây, bằng cách chia tử số và mẫu số cho 2, chúng ta được (18: 2)/(10: 2) = 9/5.

Bước 4: Biểu diễn phân số này dưới dạng tỉ số để có kết quả. Do đó, tỷ lệ thức đơn giản hóa là 9:5.

* Lưu ý:

Trường hợp cả hai số ‘a’ và ‘b’ đều bằng nhau theo tỷ lệ a:b thì a:b = 1.

– Nếu a > b theo tỉ lệ a : b thì a : b > 1.

– Nếu a < b theo tỉ lệ a : b thì a : b < 1.

Cần đảm bảo rằng đơn vị của hai đại lượng này giống nhau trước khi so sánh chúng.

2.4. Tỉ lệ thức trong cuộc sống thực tế:

Tỉ lệ thức xuất hiện thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày và giúp đơn giản hóa nhiều hoạt động của chúng ta bằng cách đưa các con số vào trong bối cảnh. Tỷ số cho phép chúng ta đo lường và biểu thị số lượng bằng cách làm cho chúng dễ hiểu hơn.

Ví dụ về các tỉ lệ thức trong cuộc sống:

– Chiếc xe đang di chuyển với vận tốc 60 dặm một giờ, hay 60 dặm trong 1 giờ.

– Bạn có 1 trong 28.000.000 cơ hội trúng xổ số. Trong các tình huống có thể xảy ra, chỉ có 1 trong số 28.000.000 trường hợp bạn trúng số.

– Có đủ bánh quy cho mỗi học sinh có hai hoặc 2 bánh quy cho 78 học sinh.

– Trẻ em đông hơn người lớn với tỷ lệ 3:1, tức là số trẻ em nhiều gấp ba lần số người lớn.

3. Bài tập về tỉ lệ thức:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức a : b = c : d. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d đều khác 0 thì (a + b) : (c + d) = (a – b) : (c – d).

Lời giải:

Ta có a : b = c : d

Nhân cả hai vế với bd, ta được ad = bc

Cộng cả hai vế với b^2 + d^2, ta được ad + b^2 + d^2 = bc + b^2 + d^2

Sắp xếp lại, ta được (a + b)(d + b) = (c + d)(b + d)

Chia cả hai vế cho (b + d)^2, ta được (a + b) : (c + d) = (d – b) : (c – d)

Đổi dấu cả hai vế, ta được (a + b) : (c + d) = (b – d) : (d – c)

Hoán vị các số hạng, ta được (a + b) : (c + d) = (a – b) : (c – d)

Bài 2: Có 49 nam và 28 nữ trong khán phòng của một trường học. Nêu tỉ số giữa số nam và số nữ.

Lời giải:

Cho trước, số nam = 49; và số học sinh nữ = 28. 

Ước số chung lớn nhất của 49 và 28 là 7. Bây giờ, để đơn giản hóa, chia hai số hạng cho ước chung lớn nhất của chúng là 7. 

Điều này có nghĩa là (49/7)/(28/7) = 7/ 4. 

Vậy tỉ số giữa số nam và số nữ = 7:4.

Bài 3: Một lớp học âm nhạc có 30 học sinh. 10 người trong số họ là người lớn và còn lại là trẻ em. Tỷ lệ số học sinh là trẻ em so với tổng số học sinh trong lớp âm nhạc là bao nhiêu?

Lời giải:

Cho tổng số học sinh lớp âm nhạc = 30 và tổng số người lớn = 10. 

Do đó số trẻ tham gia lớp âm nhạc = 30 -10, bằng 20. 

Tỉ số của tổng số học sinh số trẻ em trên tổng số học sinh lớp âm nhạc = 20:30, khi đơn giản hóa sẽ là 2:3.

Bài 4: Rút gọn tỉ số đã cho 87:75.

Lời giải:

Để đơn giản hóa tỷ lệ đã cho, trước tiên chúng ta sẽ tìm ước số chung lớn nhất của 87 và 75, bằng 3. 

Sau đó, chúng ta sẽ chia mỗi số hạng cho 3. 

Điều này có nghĩa là (87/3)/(75/3) = 29/ 25. Như vậy, tỷ lệ 87:75 ở dạng đơn giản nhất là 29:25.

Bài 5: Nếu cần 14 cốc sữa chua và 4 cốc dâu tây để làm một chiếc bánh dâu tây thì tỷ lệ giữa sữa chua và dâu tây được sử dụng là bao nhiêu?

A. 7: 4

B. 7: 3

C. 7: 2

Đáp án: C. 7: 2

Lời giải:

Trong bài toán này, ta có số cốc sữa chua là 14 và số cốc dâu tây là 4. Do đó, tỷ lệ giữa sữa chua và dâu tây là 14/4, hay 14 : 4. Ta có thể rút gọn tỷ lệ này bằng cách chia cả tử và mẫu cho một số chung của chúng. Ta thấy rằng cả 14 và 4 đều chia hết cho 2, nên ta có thể chia cả tử và mẫu cho 2 để được tỷ lệ rút gọn là:

(14/2) : (4/2) = 7 : 2

Vậy đáp án đúng là C. Tỷ lệ giữa sữa chua và dâu tây được sử dụng để làm bánh dâu tây là 7 : 2.

Bài 6: Có 6 quả táo trong một cái bát chứa 8 quả.

a. Tỷ lệ táo so với tổng số quả là bao nhiêu?

b. Nếu hai quả còn lại không phải là táo mà là cam thì tỉ lệ giữa táo và cam là bao nhiêu? 

Lời giải: 

a. 6:8, đơn giản hóa thành 3:4

b. 6:2, đơn giản hóa thành 3:1