Tam giác cân là gì? Các cách chứng minh tam giác cân?

1. Tam giác cân là gì? 

Định nghĩa của một tam giác cân đã thay đổi một chút trong những năm qua. Ban đầu, Euclid, người đôi khi được gọi là Euclid của Alexandria và được coi là Cha đẻ của Hình học, đã định nghĩa một tam giác cân như sau: một tam giác có hai cạnh bằng nhau. Tuy nhiên, theo thời gian, trong khi tình cảm vẫn như cũ, thuật ngữ đã thay đổi một chút. Định nghĩa hiện đại hơn của tam giác cân là một tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Sự thay đổi này có vẻ nhỏ, nhưng nó có nghĩa là, theo tiêu chuẩn hiện đại, tam giác đều, có ba cạnh bằng nhau, là trường hợp đặc biệt của tam giác cân.

Trong trường hợp tam giác cân có hai cạnh bằng nhau thì các cạnh bằng nhau được gọi là hai chân của tam giác và cạnh thứ ba là đáy.

Nguồn gốc tên: Isosceles lấy tên từ gốc Hy Lạp ‘isos’, nghĩa là bằng nhau và ‘skelos’, nghĩa là chân.

2. Tính chất của tam giác cân:

Dưới đây là một số tính chất của tam giác cân:

– Hai cạnh ở đáy của tam giác cân bằng nhau.

– Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.

– Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đến đường cân sẽ cắt đường cân ở trung điểm của đường cân và bằng một nửa độ dài đường cân.

– Đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác vuông góc với đáy cân.

– Tam giác cân có trọng tâm, trung tuyến, đường cao, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp đều trùng nhau.

– Diện tích của tam giác cân là bán kính đường tròn ngoại tiếp nhân với nửa chu vi tam giác hoặc là tích của chiều cao và đáy tam giác chia đôi.

– Tam giác cân là một trong những tam giác đều, có ba đường trung trực cùng một điểm trùng nhau.

– Tam giác cân đối xứng qua đường cân và qua đường trung tuyến cũng như đường cao.

– Nếu trong một tam giác có đường trung tuyến bằng đường cao thì tam giác đó là tam giác cân.

Các tính chất trên đều là những kiến thức căn bản về tam giác cân, chúng ta có thể áp dụng vào các bài toán trong hình học và giải quyết vấn đề liên quan đến tam giác cân.

3. Các loại Tam giác cân:

 Nói chung, tam giác cân được phân thành ba loại khác nhau:

– Tam giác nhọn cân: Tam giác nhọn cân là tam giác có cả ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai trong số các góc của nó có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của tam giác nhọn cân là 50°, 50° và 80°.

– Tam giác vuông cân: Sau đây là một ví dụ về tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng của chúng) có số đo bằng nhau. 

– Tam giác tù cân: Tam giác tù cân là tam giác có một trong ba góc tù (nằm trong khoảng từ 90° đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về góc tam giác tù cân là 30°, 30° và 120°.

4. Diện tích và chu vi tam giác cân:

– Diện tích của một tam giác cân được cho bởi công thức sau:

Diện tích (A) = ½ × đáy (b) × chiều cao (h)

– Chu vi của tam giác cân được cho bởi công thức:

Chu vi (P) = 2a + đáy (b)

Ở đây, ‘a’ là độ dài của các cạnh bằng nhau của tam giác cân và ‘b’ là độ dài của cạnh không bằng nhau thứ ba.

Các ví dụ đã giải quyết

Ví dụ 1

Chiều cao của một tam giác cân với diện tích 12 cm vuông và đáy là 6 cm là bao nhiêu?

Giải pháp:

Diện tích tam giác cân = ½ x đáy x chiều cao 

tức là 12 = ½ x 6 x chiều cao

tức là 12 = 3 x chiều cao

tức là chiều cao = 4 cm

Ví dụ 2

Chu vi của một tam giác cân là bao nhiêu, nếu mỗi cạnh bằng nhau là ‘a’ cm và cạnh không bằng nhau là ‘b’ cm?

Giải pháp:

Chu vi tam giác cân = tổng các cạnh

Chu vi tam giác cân = (a + a + b) cm, tức là (2a + b) cm

Ví dụ 3

Tìm chu vi của một tam giác cân biết đáy là 16 cm và các cạnh bằng nhau là 24 cm.

Giải pháp: 

Công thức tính chu vi tam giác cân, P = 2a + b

Ở đây, a (cạnh) = 24 cm và b (đế) = 16 cm

Do đó, chu vi của một tam giác cân, P = 2(24) + 16 = 64 cm.

Vậy chu vi là 64 cm.

5. Các cách chứng minh tam giác cân:

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta có thể áp dụng hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

Để chứng minh một tam giác có hai cạnh bằng nhau, ta cần so sánh độ dài của hai cạnh đó và xác định chúng có bằng nhau hay không. Để làm được điều này, ta có thể sử dụng thước đo độ dài để đo chiều dài của hai cạnh và so sánh chúng. Nếu hai cạnh có độ dài bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Để chứng minh một tam giác có hai góc bằng nhau, ta cần đo độ lớn của hai góc đó và xác định chúng có bằng nhau hay không. Để làm được điều này, ta có thể sử dụng thước đo góc để đo độ lớn của hai góc và so sánh chúng. Nếu hai góc có độ lớn bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ngoài hai cách trên, ta còn có thể áp dụng các tính chất của tam giác cân để chứng minh một tam giác là tam giác cân. Ví dụ, nếu ta biết tam giác đó có đường trung tuyến bằng đường cao thì tam giác đó là tam giác cân. Nếu ta biết tam giác đó có trung điểm của đường cân nằm trên đường trung tuyến thì tam giác đó cũng là tam giác cân.

Trong toán học, chứng minh một tam giác là tam giác cân không chỉ là việc xác định tính chất của một hình học mà còn là một bài toán giúp cải thiện kỹ năng tư duy logic và khả năng suy luận của học sinh.

Bài tập: Cho tam giác PQR với PQ = PR. Chứng minh tam giác PQR là tam giác cân.

Giải: Ta cần chứng minh PQ = PR và ∠Q = ∠R. PQ = PR (điều kiện đã cho) ∠P là góc giữa hai cạnh PQ và PR.

Ta cần chứng minh rằng ∠Q = ∠R. Khi đó, ta sẽ chứng minh được tam giác PQR là tam giác cân.

Ta có: ∠P = ∠Q + ∠R (theo công thức tổng của các góc trong tam giác). Nhưng vì PQ = PR, nên ∠Q = ∠R (theo định lý cạnh – góc – cạnh).

Vậy, tam giác PQR là tam giác cân.

Kết luận: Tam giác PQR là tam giác cân do PQ = PR và ∠Q = ∠R.

Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = AC. Đường trung tuyến BM của tam giác ABC cắt đường cao CH tại điểm N. Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác cân.

Lời giải: Ta biết AB = AC, vậy tam giác ABC là tam giác cân. Do đó, đường cao CH cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC. Như vậy, ta có BN = CN. Do đó, tam giác BMN có hai cạnh BM và BN bằng nhau, nên đó là tam giác cân.

Bài tập: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải: Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nghĩa là BM chia AC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có AB = BC và BM = MC. Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác cân.

Bài tập: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC. Chứng minh rằng IK là đường cao của tam giác BMK.

Lời giải: Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nghĩa là BM chia AC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có AB = BC và BM = MC. Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác cân và đường trung tuyến BM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Vì I là trung điểm của AB, nên BI = IA. Tương tự, ta có KC = CA. Như vậy, ta có BI = KC. Do đó, tam giác BIK là tam giác cân. Vì IK vuông góc với BM và IK cắt BM tại trung điểm của BM, nên IK là đường cao của tam giác BMK.