Số nguyên là gì? Cho ví dụ? Phân số có phải là số nguyên?

1. Số nguyên là gì? 

Số nguyên là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, được tạo thành bởi tập hợp các số nguyên dương, số nguyên âm (là các số đối của số nguyên dương), và số 0. Được ký hiệu là Z, tên gọi này xuất phát từ tiếng Đức với ý nghĩa “chữ số”. Tập hợp số nguyên là một phần trong hai tập hợp lớn hơn: tập hợp số hữu tỉ Q và tập hợp số thực R. Nó cũng bao gồm tập hợp số tự nhiên N.

Tập hợp số nguyên Z là vô hạn nhưng đếm được, điều này có nghĩa là không có giới hạn về số lượng số nguyên và chúng có thể được liệt kê theo thứ tự. Tập hợp Z có thể được chia thành hai tập con riêng biệt: tập hợp Z+ chứa các số nguyên dương, và tập hợp Z- chứa các số nguyên âm.

Ví dụ, tập hợp số nguyên Z bao gồm các số: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Trong đó, -3, -2, -1 là các số nguyên âm, 0 là số không, và 1, 2, 3 là các số nguyên dương.

Các số nguyên có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và ứng dụng trong thực tế. Chúng được sử dụng để biểu thị các khái niệm về đếm, đo lường, thứ tự và phép tính. Đồng thời, các phép toán trên số nguyên đóng vai trò cơ bản trong tính toán và công nghệ thông tin.

2. Tính chất của số nguyên:

Số nguyên, là một tập hợp quan trọng trong toán học, có nhiều tính chất cơ bản và thú vị. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của tập hợp số nguyên Z:

– Không có số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất: Tập hợp số nguyên không có phần tử nào được coi là số nguyên lớn nhất hay nhỏ nhất. Khái niệm này chỉ có tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện cụ thể trong từng trường hợp. Ví dụ, trong một tập hợp các số nguyên dương hữu hạn, số nguyên lớn nhất là số có giá trị lớn nhất trong tập hợp đó, và tương tự, số nguyên nhỏ nhất là số có giá trị nhỏ nhất trong tập hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất: Trong tập hợp số nguyên, số nguyên dương nhỏ nhất là 1, và số nguyên âm lớn nhất là -1. Số 1 là số nguyên dương nhỏ nhất vì nó không có số nguyên dương nào nhỏ hơn trong tập hợp Z. Tương tự, số -1 là số nguyên âm lớn nhất vì không có số nguyên âm nào lớn hơn nó trong tập hợp Z.

– Tập con hữu hạn của số nguyên: Tập hợp số nguyên Z chứa vô số tập con hữu hạn, có nghĩa là có rất nhiều tập con của Z có số lượng phần tử hữu hạn. Mỗi tập con như vậy sẽ có số nguyên nhỏ nhất và số nguyên lớn nhất xác định trong phạm vi của nó. Ví dụ, nếu ta xét tập hợp các số nguyên từ -5 đến 5, thì số nguyên nhỏ nhất trong tập con này là -5 và số nguyên lớn nhất là 5.

– Không tồn tại số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp: Trong tập hợp số nguyên, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp. Nghĩa là giữa hai số nguyên liên tiếp như a và a+1, không có số nguyên nào cách đều đặn về khoảng cách từ a và a+1. Ví dụ, giữa hai số nguyên liên tiếp 3 và 4, không có số nguyên nào nằm giữa chúng.

3. Số 0 có phải số nguyên không?

Số 0 là một số đặc biệt trong tập số nguyên Z vì nó nằm ở giữa tập hợp số nguyên dương và tập hợp số nguyên âm, nhưng không thuộc cả hai tập này và không phải là giao của chúng. Khi chúng ta biểu diễn các số nguyên trên một trục số ngang, tập hợp các số nguyên dương sẽ nằm bên phải của điểm 0, và tập hợp các số nguyên âm sẽ nằm bên trái của điểm 0. Tập hợp này là vô hạn và được biểu diễn bởi một đường thẳng không có điểm kết thúc, với chiều mũi tên từ trái sang phải được coi là hướng dương. Trong biểu đồ này, điểm 0 là gốc của trục số và nằm chính giữa, phân tách tập số nguyên dương và tập số nguyên âm.

Ngoài ra, ta cũng có thể biểu diễn các số nguyên trên một trục số đứng. Trong trường hợp này:

– Chiều dương hướng từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên).

– Điểm gốc của trục số đứng là điểm 0, ở chính giữa trục số (biểu diễn số 0).

– Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm phía trên điểm 0).

Từ gốc trục số 0, ta có thể xác định khái niệm số đối. Hai số được gọi là đối nhau khi chúng nằm ở hai phía của điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng nhau (theo đơn vị đo trên trục số). Ví dụ, số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm, và số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương. Số 0 có số đối là chính nó, tức là số 0.

Khi muốn viết số đối của một số nguyên dương, ta chỉ cần đặt dấu “-” trước số đó. Ngược lại, để viết số đối của một số nguyên âm, ta bỏ dấu “-” trước số đó. Dưới đây là ví dụ cụ thể:

• Số đối của 1 là -1
• Số đối của 2 là -2
• Số đối của 3 là -3
• Số đối của -4 là 4
• Số đối của -5 là 5
• Số đối của -6 là 6
• Số đối của 0 là 0 (đây là trường hợp đặc biệt).

Từ những tính chất trên, ta có thể thấy rằng tập hợp số tự nhiên N cùng với tập hợp số đối của nó tạo thành tập hợp số nguyên Z. Các số nguyên có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và có ứng dụng rộng rãi trong thực tế.

4. Phân số có phải là số nguyên?

Phân số là một khái niệm quan trọng trong toán học, được sử dụng để biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tỉ lệ của hai số nguyên. Một phân số được biểu diễn dưới dạng a/b, trong đó a là tử số và b là mẫu số. Tử số thể hiện số lượng đơn vị được lấy và mẫu số thể hiện số lượng đơn vị chia đều một đơn vị toàn cục.

Ví dụ, phân số 3/4 biểu thị rằng chúng ta lấy 3 đơn vị và chia chúng thành 4 phần bằng nhau. Phân số 2/5 biểu thị rằng chúng ta lấy 2 đơn vị và chia chúng thành 5 phần bằng nhau.

Phân số có thể được rút gọn bằng cách chia tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng. Điều này đảm bảo rằng phân số không còn có thể rút gọn thêm nữa và đại diện cho cùng một số hữu tỉ nhưng trong dạng rút gọn.

Một phân số được gọi là phân số đúng khi tử số nhỏ hơn mẫu số. Ví dụ, 2/3 là phân số đúng vì tử số 2 nhỏ hơn mẫu số 3. Một phân số được gọi là phân số bằng một khi tử số bằng mẫu số. Ví dụ, 4/4 là phân số bằng một.

Một phân số không phải là số nguyên khi và chỉ khi tử số không chia hết cho mẫu số. Nghĩa là, nếu tử số là một ước của mẫu số hoặc chính nó, thì phân số tương ứng sẽ là số nguyên. Ví dụ, 6/3 tương ứng với số nguyên 2, vì 6 chia hết cho 3. Tuy nhiên, phân số 5/2 không phải là số nguyên, vì 5 không chia hết cho 2.

5. Phân số và số nguyên khác gì nhau?

Phân số và số nguyên có một số khác biệt đáng chú ý. Dưới đây là một số điểm khác biệt chính:

Định nghĩa: 

hân số là sự biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tỉ lệ của hai số nguyên, trong đó số ở trên được gọi là tử số và số ở dưới được gọi là mẫu số. Phân số cho phép biểu diễn các giá trị nằm giữa hai số nguyên và làm cho các phép tính có thể áp dụng trên các số không làm gián đoạn tính toán.

Số nguyên, trên một khía cạnh, là tập hợp số tự nhiên kèm theo các số nguyên âm và số 0. Nó chỉ đại diễn cho các giá trị số nguyên, tức là các số không có phần thập phân hay phần lẻ.

Cấu trúc:

Phân số có hai phần tử là tử số và mẫu số, được ngăn cách bởi dấu chia. Ví dụ: 3/4 là một phân số với tử số là 3 và mẫu số là 4.

Trong khi đó, số nguyên chỉ có một phần tử đơn giản là giá trị số. Ví dụ: 5, -2, 0 là các số nguyên.

Giá trị:

Mỗi phân số đại diễn cho một giá trị số trong hữu tỉ, tức là một số mà có thể được biểu diễn bằng một phân số. Ví dụ, phân số 1/2 đại diễn cho 0.5, phân số 3/4 đại diễn cho 0.75.

Trong khi đó, số nguyên có giá trị số nguyên duy nhất. Ví dụ, số nguyên 5 đại diễn cho giá trị 5, số nguyên -2 đại diễn cho giá trị -2.

Phạm vi:

Phân số có thể biểu diễn các giá trị nằm giữa hai số nguyên. Ví dụ: phân số 3/2 nằm giữa 1 và 2. Phân số cho phép ta biểu diễn các giá trị số hữu tỉ trong khoảng giữa hai số nguyên.

Trong khi đó, số nguyên chỉ đại diễn cho các giá trị nguyên. Ví dụ: các số nguyên từ -3 đến 3 chỉ đại diễn cho các giá trị -3, -2, -1, 0, 1, 2 và 3.

Phép toán:

Những phép toán khác nhau áp dụng cho phân số và số nguyên. Phân số có thể được cộng, trừ, nhân và chia, giúp ta thực hiện các phép tính có thể có số không hoặc có phần thập phân.

Trong khi đó, số nguyên cũng có các phép toán cộng, trừ, nhân và chia, nhưng thêm một phép toán chia lấy dư. Điều này cho phép ta thực hiện các phép tính chỉ dùng số nguyên và đưa ra kết quả là một số nguyên.

Tóm lại, phân số và số nguyên đều có vai trò quan trọng trong toán học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các khác biệt giữa chúng cho phép ta áp dụng chúng vào các vấn đề và bài toán khác nhau, mở rộng phạm vi ứng dụng và khám phá thêm các tính chất toán học đa dạng.