Phương trình tham số là một công cụ mạnh mẽ để tìm đường thẳng đi qua hai điểm. Điều này giúp chúng ta tạo ra các phương trình chính xác và chi tiết cho đường thẳng nhanh chóng. Để hiểu rõ hơn, mời bạn tham khảo bài viết Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm:
Để tìm đường thẳng đi qua hai điểm A và B, ta cần biết tọa độ của hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2).
Bước 1: Tính độ dời giữa hai điểm A và B theo các trục x và y:
Δx = x2 – x1
Δy = y2 – y1
Bước 2: Xác định phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm này. Ta có các công thức sau:
x = x1 + t*Δx
y = y1 + t*Δy
Trong đó, t là tham số của đường thẳng.
Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) là:
x = x1 + t*(x2 – x1)
y = y1 + t*(y2 – y1)
2. Cách thực hiện để viết phương trình tham số đi qua 2 điểm:
Để viết phương trình tham số đi qua 2 điểm, ta có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Gọi hai điểm là A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂).
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng AB bằng cách lấy hiệu của hai vectơ chỉ phương của điểm B và điểm A:
V→ = B→ – A→ = (x₂ – x₁)î + (y₂ – y₁)ĵ
Bước 3: Xây dựng phương trình tham số dạng:
x = x₁ + a(t – t₁)
y = y₁ + b(t – t₁)
Trong đó, (x, y) là tọa độ của điểm trên đường thẳng, a và b là hai đại số tham số, t là biến tham số, và t₁ là giá trị của tại điểm A.
Bước 4: Gán giá trị tại điểm A vào phương trình tham số:
x₁ = x₁ + a(t – t₁)
y₁ = y₁ + b(t – t₁)
Bước 5: Giải hệ phương trình hai phương trình hai ẩn a và b để tìm ra giá trị của hai đại số tham số.
Với cách thực hiện trên, ta có thể viết được phương trình tham số đi qua hai điểm cho trước.
3. Bài tập vận dụng có đáp án:
Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 + 3.(m – 1).x2 + 6.( m – 2).x – 1.
Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 1
Lời giải:
Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Hàm số có hai cực trị => (m – 3)2 > 0 => m khác 3
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Bài 2: Cho phương trình tổng quát của đường thẳng là 2x – 3y + 6 = 0. Tìm vị trí của các điểm cắt của đường thẳng với trục hoành và trục tung.
Lời giải:
Để tìm vị trí của điểm cắt trục hoành và trục tung, ta có thể đặt x = 0 và y = 0 tương ứng vào phương trình tổng quát của đường thẳng:
Điểm cắt trục tung: x = 0, 2x – 3y + 6 = 0 => y = 2
Điểm cắt trục hoành: y = 0, 2x – 3y + 6 = 0 => x = 3
Vậy đường thẳng có điểm cắt trục tung là (0, 2) và điểm cắt trục hoành là (3, 0).
Bài 3: Cho Parabol (P): y = − (1)2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Lời giải:
Với bài toán này chúng ta chưa biết được tọa độ của A và B là như nào. Tuy nhiên bài toán lại cho A và B thuộc (P) và có hoành độ rồi. Chúng ta cần đi tìm tung độ của điểm A và B là xong.
Tìm tọa độ của A và B:
Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc (P) nên ta có tung độ y = − (2)2 => A (1; −1
Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc (P) nên ta có tung độ y = − (2)2 => B (2; −4)
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: y = ax+b. Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có:
– 1 = 1.a + b; – 4 = a.2 + b => a = -3; b = 2
Thay a = -3 và b = 2 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y = −3x + 2 Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là: y = −3x + 2
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiể
B. Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Đường thẳng d đi qua điểm H( – 5; -1; 1)
D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)
Lời giải:
Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u→= Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Vậy phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Cho t = – 1 ta được điểm H ( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.
Cho t = -3 ta được điểm M ( -11;- 3; – 3) thuộc đường thẳng d
Chọn A.
Bài 5: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN
A. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Lời giải:
Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu=>vectơ chỉ phương của CN là u→ =(1; -1;1)
Vậy phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Do vecto u→ (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v→ (-1; 1; -1) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng CN.
=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Chọn D
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Vậy phương trình chính tắc của AB là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Chọn B
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A (2; 3; 5); B ( 0; -1; -3) và C ( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Lời giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu => M( 1; 1; 1).
+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)
+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu làm vecto chỉ phươn
=> Phương trình tham số của đường thẳng d: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.
Chọn A.
THAM KHẢO THÊM:
