Skip to content
 1900.6568

Trụ sở chính: Số 89, phố Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội

  • DMCA.com Protection Status
Home

  • Trang chủ
  • Ngữ văn
  • Lịch sử
  • Địa lý
  • Toán học
  • Vật lý
  • Hóa học
  • Sinh học
  • Tiếng Việt
  • Tiếng Anh
  • Tin học
  • GDCD
  • Giáo án
  • Quản lý giáo dục
    • Thi THPT Quốc gia
    • Tuyển sinh Đại học
    • Tuyển sinh vào 10
    • Mầm non
    • Đại học
  • Pháp luật
  • Bạn cần biết

Home

Đóng thanh tìm kiếm

  • Trang chủ
  • Đặt câu hỏi
  • Đặt lịch hẹn
  • Gửi báo giá
  • 1900.6568
Dịch vụ luật sư uy tín toàn quốc
Trang chủ Giáo dục Toán học

Phương trình sai phân là gì? Cách nghiên cứu và ứng dụng?

  • 01/01/2020
  • bởi Cao Thị Thanh Thảo
  • Cao Thị Thanh Thảo
    01/01/2020
    Theo dõi chúng tôi trên Google News

    Phương trình sai phân là một phần kiến thức quan trọng trong toán học và thực tiễn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp cho các bạn những thông tin cơ bản về phương trình sai phân mà chúng tôi tìm hiểu và sưu tầm được.

      Mục lục bài viết

      • 1 1. Sai phân là gì?
      • 2 2. Thế nào là phương trình sai phân?
      • 3 3. Hướng nghiên cứu của phương trình sai phân:
      • 4 4. Ứng dụng của phương trình sai phân:
      • 5 5. Một số câu hỏi liên quan:

      1. Sai phân là gì?

      Sai phân là một thuật ngữ trong toán học (tiếng Anh: difference), nghĩa là sự chênh lệch giá trị hàm tại hai điểm gần nhau.

      Ký hiệu: ΔUn= Un+1 – Un.

      Sai phân cấp m của hàm số Un Là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó:

      ΔmUn = Δ(Δm-1Un)= Δm-1 Un + 1 –  Δm-1 Un

      Chẳng hạn sai phân cấp 2 được tính:

      Δ2Un= Δ(ΔUn)=ΔUn+1 – ΔUn = (Un+2 – Un+1)-(Un +1 – Un)

      = Un+2 -2Un+1 + Un

      Tương tự ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un, Un+1,…,Un+m

      Ngoài ra:

      – Sai phân tiến của f(x) là f(x+1)-f(x)

      – Sai phân lùi của f(x) là f(x)-f(x-1)

      2. Thế nào là phương trình sai phân?

      Phương trình sai phân (tiếng anh là difference equation) là phương trình mà giá trị hiện tại của biến số phụ thuộc được biểu thị dưới dạng hàm của giá trị trước đó của chính nó. Phương trình sai phân bậc n là phương trình trong đó độ trễ dài nhất của biến số phụ thuộc bằng n thời kỳ. Ví dụ, phương trình sai phân bậc 2 có dạng:

      Xt = a + b.Xt-1 + c.Xt-2

      Trong đó t là thời kỳ thứ t

      Phương trình sai phân còn có thể được hiểu là: phương trình với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f(n) = Un có mặt dưới dạng sai phân các cấp.

      PT sai phân cấp m có dạng tổng quát:
      G(n,Un,ΔUn,Δ2Un,…,ΔmUn) = 0

      Thực tế, có vô vàn hiện tượng khoa học kỹ thuật mà việc tìm hiểu, phân tích nó có thể dẫn đến các bài toán giải phương trình sai phân. Phương trình sai phân còn là một công cụ hữu hiệu giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phương trình đại số cấp cao. Sự ra đời của phương trình sai phân được bắt nguồn từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lượng biến thiên liên tục (được biểu diễn bởi hàm, chẳng hạn f(x)) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó.

      Khác với các hàm thông thường có nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức,… ), phương trình sai phân lại có mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ được đưa ra. Thường thì nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C bất kì. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên.

      Xem thêm:  Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      Tuy nhiên trong thực tế, rất khó để ta có thể tìm ra công thức của hàm nghiệm. Khi ấy, người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập với giá trị mà thực tiễn mang lại. Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định được các giá trị thực, khi ấy người ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Với sự hỗ trợ của máy tính, việc tìm các giá trị này thông thường được thực hiện bằng phương phân số. Phương trình sai phân được phân làm nhiều loại, trong mỗi loại phương trình sai phân lại được chia thành hai dạng phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai phân phi tuyến tính.

      3. Hướng nghiên cứu của phương trình sai phân:

      Phương trình sai phân (difference equation) được nghiên cứu một cách rộng rãi trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng, vật lý và các ngành kỹ thuật khác. Trong đó:

      – Toán học thuần túy thì chú trọng vào việc tìm ra sự tồn tại và duy nhất của hàm nghiệm.

      – Toán học ứng dụng thì chú trọng vào các phương pháp để tính xấp xỉ hàm nghiệm.

      Còn trong một số ngành khác thì phương trình sai phân được dùng trong mô hình các quá trình vật lý, sinh học và kỹ thuật. Ta có ví dụ như sau: tương tác giữa các nguyên tử trong phân tử, hay giữa các nơron thần kinh. Khi áp dụng trong các ứng dụng thực tiễn, thay vì việc tìm ra dạng đóng của hàm nghiệm thì chúng có thể được tính xấp xỉ bằng các phương pháp số.

      Các nhà toán học cũng nghiên cứu nghiệm yếu (tiếng Anh là weak solution) dựa vào đạo hàm yếu (tiếng Anh là weak derivative). Việc nghiên cứu tính ổn định của hàm nghiệm của các phương trình sai phân là một trong những nội dung về lý thuyết ổn định (tiếng Anh là stability theory).

      Xem thêm:  Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      4. Ứng dụng của phương trình sai phân:

      Phương trình sai phân được ứng dụng rộng rãi trong toán học và thực tiễn, cụ thể như sau:

      Trong việc giải các bài toán (toán học thuần túy):

      – Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Việc xây dựng được cách giải tổng quát cho hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một đã định hướng phương pháp giải các bài toán: giải phương trình hàm, giải phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính.

      – Chuyển đổi các đại lượng trung bình

      – Tìm giới hạn của dãy số: Các bài toán tìm giới hạn được trình bày dạng này có liên quan đến tìm dãy số là nghiệm của phương trình hay hệ phương trình sai phân đã cho.

      – Giải các bài toán số học: Với yêu cầu là xác định các yếu tố số học liên quan đến dãy số đó như: ước số, số nguyên tố, số chính phương, số lập phương,… Việc giải các bài toán như này có thể dẫn tới giải phương trình sai phân tuyến tính hay phi tuyến tính.

      – Giải các bài toán về phương trình hàm:

      – Giải các bài toán về tích phân: Bằng cách sử dụng phương pháp truy hồi trong các bài tập tính tích phân ta có thể giải được các phương trình sai phân tuyến tính cấp một, cấp hai. Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp chọn để giải. 

      Trong thực tế (toán học ứng dụng):

      Trong các ứng dụng của Toán học được áp dụng vào đời sống xã hội thì ứng dụng của phương trình sai phân là một nội dung quan trọng hấp dẫn, phong phú và có phần phức tạp. Chính vì thế, lâu nay lĩnh vực ứng dụng này đã thu hút được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, tuy nhiên, vẫn còn đó rất nhiều điều chưa biết, cần chúng ta khám phá, tìm tòi. Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng mang tính thực tế trong các lĩnh vực, ngành nghề như: y học, kinh tế, vật lí, kĩ thuật, khoa học. Đặc biệt, khi  mô hình kinh tế được thiết lập dưới dạng các mô hình toán học cụ thể, thì việc vận dụng toán học để phân tích các mô hình kinh tế luôn là vấn đề cấp thiết đối với các nhà quản lý. Như đã đề cập ở trên thì phương trình sai phân là một lĩnh vực toán học và với giá trị của mình, ta có thể tìm thấy nhiều ứng dụng của nó trong nền kinh tế thị trường.

      Xem thêm:  Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      Tóm lại, toán học đã và đang được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như y học, sinh học, tự động hoá, công nghệ truyền thông, các mô hình kinh tế,… Và phương trình sai phân là một trong những ứng dụng thú vị, quan trọng nhất của toán học vào đời sống.

      5. Một số câu hỏi liên quan:

      Dạng 1: Tìm un, thoả mãn điều kiện:

      u₁ = α, aun+1+bun = 0, a, b, cho truóc, n ∈ N*.

      Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm ). Khi đó un = qλn (g là hằng số), trong đó q được xác định khi biết u1 = α.

      Ví dụ: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2.

      Cách giải:

      Ta có: Un+1 = 2 un, u₁ = 1.

      Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 2. Vậy un = c2n.

      Từ u1 = 1 suy ra c = 1/2. Do đó Un = 2n-1

      Dạng 2:

      Là phương trình có dạng:

      ak.Un+k + ak-1.Un+k-1+ … + a0.Un = 0 (1)

      Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực.

      Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng Un= λn, thay vào (6) ta có phương trình đặc trưng:

      ak.λk+ ak-1.λk-1+ … + a0.λ = 0 (7)

      Trường hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, … λk ta có k nghiệm riêng độc lập tuyến tính x1n= λ1n, … xkn = λkn. Nghiệm tổng quát: Un= C1. λ1n+ C2. λ2n+ … + Ck. λkn

      Trường hợp 2: Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội s và k-s nghiệm thực phân biệt: λ1= λ2= … = λs, ta thay thế s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn tương ứng bằng: x1n= λ1n, x2n= nλ1n, … , Nghiệm tổng quát:

      Un= (C1+nC2+ … + ns-1Cs)λ1n + Cs+1λ1n+…+ Ck. λkn

      Trường hợp 3: Nếu phương trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r (cosα + i.sinα) thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r (cosα – i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt, khi đó tương ứng ta thay thế x1n= r n. cosnα và x2n = r n.sinnα trong nghiệm tổng quát. Nghiệm tổng quát: Un= r n[C1. cosnα + C2. sinnα] + C3. λ3n… + Ck. λkn

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

      Trên đây là bài viết của Luật Dương Gia về Phương trình sai phân là gì? Cách nghiên cứu và ứng dụng? thuộc chủ đề Toán cao cấp, thư mục Toán học. Mọi thắc mắc pháp lý, vui lòng liên hệ Tổng đài Luật sư 1900.6568 hoặc Hotline dịch vụ 037.6999996 để được tư vấn và hỗ trợ.

      Duong Gia Facebook Duong Gia Tiktok Duong Gia Youtube Duong Gia Google
      •   Tư vấn pháp luật qua Email
         Tư vấn nhanh với Luật sư
      Dịch vụ luật sư toàn quốc
      Dịch vụ luật sư uy tín toàn quốc
      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      Toán cao cấp chỉ các phần của toán học có độ khó cao hơn và phức tạp hơn so với các khái niệm và phương pháp toán học cơ bản. Nó thường liên quan đến các chủ đề và phần mở rộng của toán học, và đòi hỏi kiến thức sâu sắc và kỹ năng phân tích, lý luận cao cấp. Dưới đây là bài tập về toán cao cấp có lời giải chi tiết, mời các bạn tham khảo!

      Xem thêm

      -
      CÙNG CHUYÊN MỤC
      • Hình chữ nhật là gì? Tính chất và dấu hiệu nhận biết thế nào?
      • Số nguyên tố là gì? Tính chất, bảng số nguyên tố và ví dụ?
      • Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125, 11 và cách giải
      • Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất
      • Hỗn số là gì? Cách tính hỗn số? Cách chuyển ra phân số?
      • Các dạng toán tổng tỉ? Phương pháp giải toán tổng tỉ lớp 4?
      • Hợp số là gì? Hợp số là những số nào? Lấy ví dụ về hợp số?
      • Bài Toán đếm hình lớp 1: Tổng hợp bộ đề kèm lời giải chi tiết
      • Công thức tính chu vi hình thoi, cách tính diện tích hình thoi
      • Công thức tính chu vi hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật
      • Công thức tính diện tích, chu vi, thể tích các hình cơ bản
      • Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
      Thiên Dược 3 Bổ
      Thiên Dược 3 Bổ
      BÀI VIẾT MỚI NHẤT
      • NATO là gì? Tổ chức Hiệp ước Bắc Đại Tây Dương (NATO)
      • Sáng kiến kinh nghiệm phát triển văn hóa đọc cho cộng đồng
      • Khóc nhiều sẽ bị gì? Khóc nhiều quá thì có bị mù không?
      • Dịch vụ đại diện xử lý xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ
      • Dịch vụ gia hạn hiệu lực văn bằng bảo hộ sở hữu trí tuệ
      • Dịch vụ đăng ký bảo hộ nhãn hiệu quốc tế uy tín trọn gói
      • Dịch vụ đăng ký thương hiệu, bảo hộ logo thương hiệu
      • Dịch vụ đăng ký nhãn hiệu, bảo hộ nhãn hiệu độc quyền
      • Luật sư bào chữa các tội liên quan đến hoạt động mại dâm
      • Luật sư bào chữa tội che giấu, không tố giác tội phạm
      • Dịch vụ Luật sư bào chữa tội chống người thi hành công vụ
      • Dịch vụ Luật sư bào chữa tội buôn lậu, mua bán hàng giả
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Tư vấn pháp luật
      • Tư vấn luật tại TPHCM
      • Tư vấn luật tại Hà Nội
      • Tư vấn luật tại Đà Nẵng
      • Tư vấn pháp luật qua Email
      • Tư vấn pháp luật qua Zalo
      • Tư vấn luật qua Facebook
      • Tư vấn luật ly hôn
      • Tư vấn luật giao thông
      • Tư vấn luật hành chính
      • Tư vấn pháp luật hình sự
      • Tư vấn luật nghĩa vụ quân sự
      • Tư vấn pháp luật thuế
      • Tư vấn pháp luật đấu thầu
      • Tư vấn luật hôn nhân gia đình
      • Tư vấn pháp luật lao động
      • Tư vấn pháp luật dân sự
      • Tư vấn pháp luật đất đai
      • Tư vấn luật doanh nghiệp
      • Tư vấn pháp luật thừa kế
      • Tư vấn pháp luật xây dựng
      • Tư vấn luật bảo hiểm y tế
      • Tư vấn pháp luật đầu tư
      • Tư vấn luật bảo hiểm xã hội
      • Tư vấn luật sở hữu trí tuệ
      Dịch vụ luật sư uy tín toàn quốc

      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      Toán cao cấp chỉ các phần của toán học có độ khó cao hơn và phức tạp hơn so với các khái niệm và phương pháp toán học cơ bản. Nó thường liên quan đến các chủ đề và phần mở rộng của toán học, và đòi hỏi kiến thức sâu sắc và kỹ năng phân tích, lý luận cao cấp. Dưới đây là bài tập về toán cao cấp có lời giải chi tiết, mời các bạn tham khảo!

      Xem thêm

      Tags:

      Toán cao cấp


      CÙNG CHỦ ĐỀ
      ảnh chủ đề

      Bài tập về toán cao cấp 1 có hướng dẫn lời giải chi tiết nhất

      Toán cao cấp chỉ các phần của toán học có độ khó cao hơn và phức tạp hơn so với các khái niệm và phương pháp toán học cơ bản. Nó thường liên quan đến các chủ đề và phần mở rộng của toán học, và đòi hỏi kiến thức sâu sắc và kỹ năng phân tích, lý luận cao cấp. Dưới đây là bài tập về toán cao cấp có lời giải chi tiết, mời các bạn tham khảo!

      Xem thêm

      Tìm kiếm

      Duong Gia Logo

      Hỗ trợ 24/7: 1900.6568

      •   Yêu cầu dịch vụ
         Gửi câu hỏi qua Zalo

      VĂN PHÒNG HÀ NỘI:

      Địa chỉ: 89 Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: [email protected]

      VĂN PHÒNG MIỀN TRUNG:

      Địa chỉ: 141 Diệp Minh Châu, phường Hoà Xuân, quận Cẩm Lệ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

       Email: [email protected]

      VĂN PHÒNG MIỀN NAM:

      Địa chỉ: 227 Nguyễn Thái Bình, phường 4, quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

       Điện thoại: 1900.6568

        Email: [email protected]

      Bản quyền thuộc về Luật Dương Gia | Nghiêm cấm tái bản khi chưa được sự đồng ý bằng văn bản!

      Chính sách quyền riêng tư của Luật Dương Gia

      • Chatzalo Chat Zalo
      • Chat Facebook Chat Facebook
      • Chỉ đường picachu Chỉ đường
      • location Đặt câu hỏi
      • gọi ngay
        1900.6568
      • Chat Zalo
      Chỉ đường
      Trụ sở chính tại Hà NộiTrụ sở chính tại Hà Nội
      Văn phòng tại Đà NẵngVăn phòng tại Đà Nẵng
      Văn phòng tại TPHCMVăn phòng tại TPHCM
      Gọi luật sư Gọi luật sư Yêu cầu dịch vụ Yêu cầu dịch vụ
      • Gọi ngay
      • Chỉ đường

        • HÀ NỘI
        • ĐÀ NẴNG
        • TP.HCM
      • Đặt câu hỏi
      • Trang chủ
      ID: 44457