Phương trình sai phân là gì? Cách nghiên cứu và ứng dụng?

1. Sai phân là gì?

Sai phân là một thuật ngữ trong toán học (tiếng Anh: difference), nghĩa là sự chênh lệch giá trị hàm tại hai điểm gần nhau.

Ký hiệu: ΔU_n= U_n+1 – U_n.

Sai phân cấp m của hàm số U_n Là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó:

Δ^mU_n = Δ(Δ^m-1U_n)= Δ^m-1 U_{n + 1} –  Δ^m-1 Un

Chẳng hạn sai phân cấp 2 được tính:

Δ²U_n= Δ(ΔU_n)=ΔU_n+1 – ΔU_n = (U_n+2 – U_n+1)-(U_{n +1} – U_n)

= U_n+2 -2U_n+1 + U_n

Tương tự ta có thể biểu diễn Δ^mU_n qua U_n, U_n+1,…,U_n+m

Ngoài ra:

– Sai phân tiến của f(x) là f(x+1)-f(x)

– Sai phân lùi của f(x) là f(x)-f(x-1)

2. Thế nào là phương trình sai phân?

Phương trình sai phân (tiếng anh là difference equation) là phương trình mà giá trị hiện tại của biến số phụ thuộc được biểu thị dưới dạng hàm của giá trị trước đó của chính nó. Phương trình sai phân bậc n là phương trình trong đó độ trễ dài nhất của biến số phụ thuộc bằng n thời kỳ. Ví dụ, phương trình sai phân bậc 2 có dạng:

X_t = a + b.X_t-1 + c.X_t-2

Trong đó t là thời kỳ thứ t

Phương trình sai phân còn có thể được hiểu là: phương trình với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f(n) = U_n có mặt dưới dạng sai phân các cấp.

Thực tế, có vô vàn hiện tượng khoa học kỹ thuật mà việc tìm hiểu, phân tích nó có thể dẫn đến các bài toán giải phương trình sai phân. Phương trình sai phân còn là một công cụ hữu hiệu giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phương trình đại số cấp cao. Sự ra đời của phương trình sai phân được bắt nguồn từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bởi một bên là một đại lượng biến thiên liên tục (được biểu diễn bởi hàm, chẳng hạn f(x)) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lượng đó.

Khác với các hàm thông thường có nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức,… ), phương trình sai phân lại có mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ được đưa ra. Thường thì nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C bất kì. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên.

Tuy nhiên trong thực tế, rất khó để ta có thể tìm ra công thức của hàm nghiệm. Khi ấy, người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập với giá trị mà thực tiễn mang lại. Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định được các giá trị thực, khi ấy người ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Với sự hỗ trợ của máy tính, việc tìm các giá trị này thông thường được thực hiện bằng phương phân số. Phương trình sai phân được phân làm nhiều loại, trong mỗi loại phương trình sai phân lại được chia thành hai dạng phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai phân phi tuyến tính.

3. Hướng nghiên cứu của phương trình sai phân:

Phương trình sai phân (difference equation) được nghiên cứu một cách rộng rãi trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng, vật lý và các ngành kỹ thuật khác. Trong đó:

– Toán học thuần túy thì chú trọng vào việc tìm ra sự tồn tại và duy nhất của hàm nghiệm.

– Toán học ứng dụng thì chú trọng vào các phương pháp để tính xấp xỉ hàm nghiệm.

Còn trong một số ngành khác thì phương trình sai phân được dùng trong mô hình các quá trình vật lý, sinh học và kỹ thuật. Ta có ví dụ như sau: tương tác giữa các nguyên tử trong phân tử, hay giữa các nơron thần kinh. Khi áp dụng trong các ứng dụng thực tiễn, thay vì việc tìm ra dạng đóng của hàm nghiệm thì chúng có thể được tính xấp xỉ bằng các phương pháp số.

Các nhà toán học cũng nghiên cứu nghiệm yếu (tiếng Anh là weak solution) dựa vào đạo hàm yếu (tiếng Anh là weak derivative). Việc nghiên cứu tính ổn định của hàm nghiệm của các phương trình sai phân là một trong những nội dung về lý thuyết ổn định (tiếng Anh là stability theory).

4. Ứng dụng của phương trình sai phân:

Phương trình sai phân được ứng dụng rộng rãi trong toán học và thực tiễn, cụ thể như sau:

Trong việc giải các bài toán (toán học thuần túy):

– Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Việc xây dựng được cách giải tổng quát cho hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một đã định hướng phương pháp giải các bài toán: giải phương trình hàm, giải phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính.

– Chuyển đổi các đại lượng trung bình

– Tìm giới hạn của dãy số: Các bài toán tìm giới hạn được trình bày dạng này có liên quan đến tìm dãy số là nghiệm của phương trình hay hệ phương trình sai phân đã cho.

– Giải các bài toán số học: Với yêu cầu là xác định các yếu tố số học liên quan đến dãy số đó như: ước số, số nguyên tố, số chính phương, số lập phương,… Việc giải các bài toán như này có thể dẫn tới giải phương trình sai phân tuyến tính hay phi tuyến tính.

– Giải các bài toán về phương trình hàm:

– Giải các bài toán về tích phân: Bằng cách sử dụng phương pháp truy hồi trong các bài tập tính tích phân ta có thể giải được các phương trình sai phân tuyến tính cấp một, cấp hai. Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp chọn để giải. 

Trong thực tế (toán học ứng dụng):

Trong các ứng dụng của Toán học được áp dụng vào đời sống xã hội thì ứng dụng của phương trình sai phân là một nội dung quan trọng hấp dẫn, phong phú và có phần phức tạp. Chính vì thế, lâu nay lĩnh vực ứng dụng này đã thu hút được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, tuy nhiên, vẫn còn đó rất nhiều điều chưa biết, cần chúng ta khám phá, tìm tòi. Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng mang tính thực tế trong các lĩnh vực, ngành nghề như: y học, kinh tế, vật lí, kĩ thuật, khoa học. Đặc biệt, khi  mô hình kinh tế được thiết lập dưới dạng các mô hình toán học cụ thể, thì việc vận dụng toán học để phân tích các mô hình kinh tế luôn là vấn đề cấp thiết đối với các nhà quản lý. Như đã đề cập ở trên thì phương trình sai phân là một lĩnh vực toán học và với giá trị của mình, ta có thể tìm thấy nhiều ứng dụng của nó trong nền kinh tế thị trường.

Tóm lại, toán học đã và đang được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như y học, sinh học, tự động hoá, công nghệ truyền thông, các mô hình kinh tế,… Và phương trình sai phân là một trong những ứng dụng thú vị, quan trọng nhất của toán học vào đời sống.

5. Một số câu hỏi liên quan:

Dạng 1: Tìm u_n, thoả mãn điều kiện:

u₁ = α, au_n+1+bu_n = 0, a, b, cho truóc, n ∈ N*.

Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm ). Khi đó un = qλⁿ (g là hằng số), trong đó q được xác định khi biết u1 = α.

Ví dụ: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2.

Cách giải:

Ta có: U_n+1 = 2 uⁿ, u₁ = 1.

Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 2. Vậy uⁿ = c2ⁿ.

Từ u₁ = 1 suy ra c = 1/2. Do đó U_n = 2^n-1

Dạng 2:

Là phương trình có dạng:

ak.U_n+k + a_k-1.U_n+k-1+ … + a₀.U_n = 0 (1)

Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực.

Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng U_n= λⁿ, thay vào (6) ta có phương trình đặc trưng:

a_k.λ^k+ a_k-1.λ^k-1+ … + a₀.λ = 0 (7)

Trường hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, … λk ta có k nghiệm riêng độc lập tuyến tính x¹_n= λ₁ⁿ, … x^k_n = λ_kⁿ. Nghiệm tổng quát: Un= C₁. λ₁ⁿ+ C₂. λ₂ⁿ+ … + C_k. λ_kⁿ

Trường hợp 2: Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ₁ có bội s và k-s nghiệm thực phân biệt: λ₁= λ₂= … = λ_s, ta thay thế s nghiệm riêng x¹_n, x²_n, …, x^s_n tương ứng bằng: x¹_n= λ₁ⁿ, x²_n= nλ₁ⁿ, … , Nghiệm tổng quát:

Un= (C₁+nC₂+ … + n^s-1C_s)λ₁ⁿ + C_s+1λ₁ⁿ+…+ C_k. λ_kⁿ

Trường hợp 3: Nếu phương trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ₁ = r (cosα + i.sinα) thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ₂ = r (cosα – i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt, khi đó tương ứng ta thay thế x¹_n= r n. cosnα và x²_n = r n.sinnα trong nghiệm tổng quát. Nghiệm tổng quát: Un= r n[C₁. cosnα + C₂. sinnα] + C3. λ₃ⁿ… + C_k. λ_kⁿ