Phương trình bậc 3 vô nghiệm khi nào? Cách chứng minh?

1. Phương trình vô nghiệm là gì?

Phương trình vô nghiệm là một loại phương trình toán học mà không tồn tại bất kỳ giá trị nào của biến làm cho phương trình trở thành đúng. Điều này có nghĩa là khi ta thay thế biến trong phương trình bằng bất kỳ giá trị nào, phương trình sẽ không thỏa mãn. Phương trình vô nghiệm thường được ký hiệu bằng “Ø” hoặc cũng có thể được biểu diễn bằng cách viết “Không có giá trị nào thỏa mãn phương trình”.

Ví dụ, xét phương trình đơn giản sau: 2x + 3 = 10. Ta muốn tìm giá trị của biến x mà làm cho phương trình trở thành đúng. Tuy nhiên, sau khi giải phương trình, ta sẽ nhận thấy rằng không tồn tại giá trị nào của x khi thay vào phương trình sẽ làm cho cả hai vế bằng nhau. Do đó, phương trình 2x + 3 = 10 là một phương trình vô nghiệm.

Trong một số trường hợp, có thể xác định được trước rằng một phương trình sẽ không có nghiệm dựa trên tính chất của nó hoặc qua các phép biến đổi đơn giản. Tuy nhiên, việc xác định sự vô nghiệm của một phương trình có thể phức tạp hơn đối với những phương trình phức tạp hơn.

Phương trình và bất phương trình vô nghiệm xuất hiện khi không tồn tại bất kỳ giá trị nào của biến làm cho chúng trở thành đúng. Điều kiện để một phương trình hoặc bất phương trình vô nghiệm sẽ phụ thuộc vào loại phương trình và bất phương trình cụ thể.

– Phương trình bậc nhất một ẩn (ax + b = 0):

Phương trình bậc nhất một ẩn vô nghiệm khi và chỉ khi hệ số a bằng 0 và hệ số b khác 0. Nghĩa là nếu a = 0 và b ≠ 0, thì phương trình sẽ không có nghiệm.

– Phương trình bậc hai một ẩn (ax^2 + bx + c = 0):

Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm khi và chỉ khi hệ số a khác 0 và delta (∆), hay còn gọi là biểu thức denta (b^2 – 4ac), nhỏ hơn 0. Khi ∆ < 0, không có giá trị nào của biến làm cho phương trình trở thành đúng và do đó phương trình vô nghiệm.

Bất phương trình vô nghiệm xuất hiện trong trường hợp đặc biệt khi tham số trong bất phương trình không thể đạt được các giá trị thỏa mãn điều kiện bất phương trình.

Điều quan trọng cần nhớ là phương trình vô nghiệm không có nghĩa là không có lời giải. Điều này chỉ đơn giản là chỉ không có giá trị nào của biến thỏa mãn phương trình cụ thể đó. Trong các tình huống thực tế, điều này có thể ám chỉ rằng vấn đề mô hình hóa bằng phương trình đã được đặt ra không có giải pháp thực tế hoặc phù hợp với ngữ cảnh cụ thể.

2. Phương trình bậc 3 vô nghiệm là gì? 

Phương trình bậc ba (còn được gọi là phương trình bậc 3) vô nghiệm là một loại phương trình toán học mà không tồn tại bất kỳ giá trị nào của biến làm cho phương trình trở thành đúng. Điều này có nghĩa là khi ta thay thế biến trong phương trình bậc ba bằng bất kỳ giá trị nào, phương trình sẽ không thỏa mãn.

Phương trình bậc ba có dạng tổng quát là: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, với a, b, c và d là các hệ số và x là biến số mà ta muốn tìm giá trị.

Phương trình bậc ba vô nghiệm có thể xảy ra trong nhiều tình huống khác nhau và có ý nghĩa quan trọng trong giải tích và ứng dụng toán học. Việc xác định phương trình bậc ba vô nghiệm là cần thiết khi giải quyết các vấn đề thực tế phức tạp và trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau.

3. Công thức Phương trình bậc 3 vô nghiệm:

Để xác định phương trình bậc ba (phương trình bậc 3) vô nghiệm, ta cần tính giá trị của delta (∆) và điều kiện để delta nhỏ hơn 0.

Phương trình bậc ba có dạng tổng quát là: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, với a, b, c và d là các hệ số và x là biến số mà ta muốn tìm giá trị.

Công thức tính delta (∆) của phương trình bậc ba là:

∆ = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2

Nếu delta (∆) nhỏ hơn 0, tức là ∆ < 0, thì phương trình bậc ba vô nghiệm.

Khi delta (∆) nhỏ hơn 0, không tồn tại bất kỳ giá trị nào của biến x khi thay vào phương trình để cả hai vế trở thành bằng nhau. Điều này dẫn đến việc phương trình bậc ba không có nghiệm hoặc nó không thể giải bằng các phép biến đổi và tính toán thông thường.

Điều kiện delta (∆) < 0 là điều kiện cần và đủ để phương trình bậc ba vô nghiệm. Nếu delta (∆) ≥ 0, có thể tồn tại một hoặc ba nghiệm phức hoặc thậm chí một nghiệm kép, tùy thuộc vào giá trị cụ thể của delta (∆) và các hệ số a, b, c, d của phương trình.

Điều quan trọng cần nhớ là việc tính toán delta (∆) và kiểm tra điều kiện ∆ < 0 giúp ta xác định liệu phương trình bậc ba có nghiệm hay không, và đây là bước quan trọng trong việc giải quyết và hiểu tính chất của các phương trình bậc ba.

Ví dụ:

Ví dụ 1: Phương trình 2x^3 + 4x^2 + 6x + 8 = 0 a = 2, b = 4, c = 6, d = 8 ∆ = 18 * 2 * 4 * 6 * 8 – 4 * 4^3 * 8 + 4^2 * 6^2 – 4 * 2 * 6^3 – 27 * 2^2 * 8^2 = -10496 Vì ∆ < 0 (nhỏ hơn 0), phương trình này vô nghiệm.

Ví dụ 2: Phương trình x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0 a = 1, b = -3, c = 3, d = -1 ∆ = 18 * 1 * (-3) * 3 * (-1) – 4 * (-3)^3 * (-1) + (-3)^2 * 3^2 – 4 * 1 * 3^3 – 27 * 1^2 * (-1)^2 = 0 Vì ∆ = 0, phương trình này không vô nghiệm. (Đây là một trường hợp đặc biệt khi ∆ = 0, tạo thành phương trình có nghiệm kép).

Ví dụ 3: Phương trình x^3 + 6x^2 + 9x + 12 = 0

Trong phương trình này, a = 1, b = 6, c = 9, d = 12

Tính giá trị của delta (∆): ∆ = 18 * 1 * 6 * 9 * 12 – 4 * 6^3 * 12 + 6^2 * 9^2 – 4 * 1 * 9^3 – 27 * 1^2 * 12^2 ∆ = 7776 – 1728 + 2916 – 324 – 3888 ∆ = 6048

Vì ∆ = 6048 > 0 (lớn hơn 0), phương trình này không vô nghiệm. Trong trường hợp này, ∆ dương, điều này chỉ ra rằng phương trình bậc ba này có thể có một hoặc ba nghiệm phức, không nhất thiết phải là nghiệm thực. Để xác định các nghiệm cụ thể, ta cần tiếp tục phân tích phương trình sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc ba, chẳng hạn như sử dụng công thức nghiệm Cardano hay sử dụng phân tích hình học.

4. Cách giải Phương trình bậc 3 vô nghiệm:

Để tính toán và kiểm tra phương trình bậc ba (phương trình bậc 3) có vô nghiệm, chúng ta sẽ đi sâu vào các bước tính toán và kiểm tra chi tiết sau:

Phương trình bậc ba có dạng tổng quát là: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 Trong đó, a, b, c và d là các hệ số và x là biến số mà ta muốn tìm giá trị.

Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình bậc ba Trước tiên, ta xác định các hệ số a, b, c và d của phương trình bậc ba.

Bước 2: Tính giá trị của delta (∆) Delta (∆) của phương trình bậc ba được tính bằng công thức sau: ∆ = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2

Bước 3: Kiểm tra điều kiện delta (∆) < 0 để phương trình vô nghiệm Để phương trình bậc ba không có nghiệm, ta cần kiểm tra xem delta (∆) có nhỏ hơn 0 hay không. Nếu ∆ < 0, tức là delta (∆) nhỏ hơn 0, thì phương trình bậc ba vô nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra phương trình bậc ba có nghiệm phức hay không Nếu delta (∆) ≥ 0, có thể tồn tại một hoặc ba nghiệm phức hoặc nghiệm kép tùy thuộc vào giá trị cụ thể của delta (∆) và các hệ số a, b, c, d của phương trình. Để kiểm tra liệu phương trình có nghiệm phức hay không, ta có thể sử dụng một số phương pháp như:

a) Kiểm tra điều kiện của các nghiệm phức: Dựa vào kiểm tra điều kiện của các nghiệm phức thông qua giá trị của a, b, c, d và delta (∆).

b) Sử dụng biểu thức viết lại phương trình dưới dạng delta (∆) và các nghiệm phức: Ta có thể viết lại phương trình bậc ba dưới dạng delta (∆) và giá trị của các nghiệm phức, từ đó xác định liệu phương trình có nghiệm phức hay không.

Bước 5: Kết luận

– Nếu delta (∆) < 0, phương trình bậc ba vô nghiệm.

– Nếu delta (∆) ≥ 0, có thể tồn tại một hoặc ba nghiệm phức hoặc nghiệm kép tùy thuộc vào giá trị cụ thể của delta (∆) và các hệ số a, b, c, d của phương trình.

Lưu ý: Xác định phương trình bậc ba vô nghiệm là một bước quan trọng trong việc giải quyết và hiểu tính chất của các phương trình bậc ba. Việc kiểm tra delta (∆) và các điều kiện để phương trình vô nghiệm giúp ta hiểu rõ hơn về tính chất của phương trình và xác định các điểm cụ thể khi phương trình không có nghiệm.