Lý thuyết và bài tập về năng lượng trong dao động điều hòa

1. Khái niệm năng lượng trong dao động điều hòa:

1.1. Dao động điều hòa là gì?

Dao động điều hòa là một loại dao động cơ học mà biên độ, tần số và pha của vật dao động không thay đổi theo thời gian. Năng lượng cơ học của vật dao động điều hòa là bằng tổng năng lượng động học và năng lượng thế. Năng lượng cơ học được bảo toàn trong quá trình dao động, tức là không có sự trao đổi năng lượng giữa vật dao động và môi trường.

1.2. Công thức năng lượng dao động điều hòa:

Công thức tính năng lượng dao động điều hòa là:

W = Wđ + Wt = 1/2.k.A2 = 1/2.m.ω2.A2

Trong đó:

– W là năng lượng dao động điều hòa (J)

– Wđ là động năng của vật (J)

– Wt là thế năng đàn hồi của vật (J)

– k là độ cứng của lò xo (N/m)

– m là khối lượng của vật (kg)

– ω là tần số góc của dao động (rad/s)

– A là biên độ dao động (m)

Năng lượng động học của vật dao động điều hòa là năng lượng mà vật có do chuyển động của nó. Năng lượng động học phụ thuộc vào vận tốc của vật, càng cao thì năng lượng càng lớn. Năng lượng động học có giá trị lớn nhất khi vật qua vị trí cân bằng, và bằng không khi vật ở hai vị trí cực trị.

Năng lượng thế của vật dao động điều hòa là năng lượng mà vật có do tác dụng của lực phục hồi. Năng lượng thế phụ thuộc vào biên độ của dao động, càng lớn thì năng lượng càng cao. Năng lượng thế có giá trị lớn nhất khi vật ở hai vị trí cực trị, và bằng không khi vật qua vị trí cân bằng.

2. Lý thuyết về năng lượng trong dao động điều hòa:

2.1. Thế năng trong dao động điều hòa:

Thế năng trong dao động điều hòa là năng lượng mà vật dao động có được do vị trí của nó so với vị trí cân bằng.

Thế năng có thể được tính bằng công thức:

U = (1/2)kx^2,

Trong đó

– k là độ cứng của lò xo

– x là biên độ dao động. 

Thế năng tối đa xảy ra khi vật dao động ở vị trí xa nhất so với vị trí cân bằng, và thế năng bằng không khi vật dao động ở vị trí cân bằng. Thế năng và động năng của vật dao động điều hòa luôn luân chuyển qua lại, và tổng của chúng bằng hằng số, gọi là năng lượng cơ.

2.2. Động năng trong dao động điều hòa:

Động năng trong dao động điều hòa là năng lượng mà vật dao động có do chuyển động của nó. Động năng của vật dao động điều hòa thay đổi liên tục theo thời gian, tùy thuộc vào vị trí và vận tốc của vật. Động năng của vật dao động điều hòa có thể được tính bằng công thức:

Động năng = 1/2 x khối lượng x (vận tốc)^2

Trong công thức trên, khối lượng là hằng số, còn vận tốc là biến thiên theo thời gian. Vận tốc của vật dao động điều hòa có thể được tính bằng công thức:

Vận tốc = A x 2π x tần số x sin(2π x tần số x thời gian + pha ban đầu)

Trong công thức trên, A là biên độ, tần số là số lần dao động trong một giây, thời gian là thời điểm cần tính vận tốc, và pha ban đầu là góc lệch giữa vị trí ban đầu và vị trí cân bằng của vật.

Từ hai công thức trên, ta có thể suy ra rằng động năng của vật dao động điều hòa cũng biến thiên theo hàm sin. Động năng có giá trị lớn nhất khi vật ở vị trí cân bằng (sin = 1), và có giá trị nhỏ nhất khi vật ở hai vị trí cực trị (sin = 0). Động năng của vật dao động điều hòa luôn dương và không bao giờ bằng không.

2.3. Sự chuyển hóa năng lượng và bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa:

Sự chuyển hóa năng lượng và bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa là một trong những hiện tượng quan trọng trong vật lý. Dao động điều hòa là một loại dao động mà biên độ không đổi và tần số phụ thuộc vào đặc tính của vật dao động. Trong dao động điều hòa, năng lượng cơ của vật dao động được chuyển hóa liên tục giữa hai dạng: năng lượng thế cơ và năng lượng động cơ. Năng lượng thế cơ là năng lượng do vị trí của vật dao động so với vị trí cân bằng, còn năng lượng động cơ là năng lượng do vận tốc của vật dao động. Theo nguyên lý bảo toàn cơ năng, tổng năng lượng cơ của vật dao động không thay đổi trong suốt quá trình dao động, nếu không có sự tác dụng của các lực ma sát hay các yếu tố bên ngoài. Điều này có nghĩa là khi biên độ của vật dao động càng lớn, thì vận tốc của vật dao động càng nhỏ, và ngược lại. Sự chuyển hóa năng lượng và bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa cho thấy tính chu kỳ và ổn định của hiện tượng dao động.

3. Ứng dụng thực tế của năng lượng trong dao động điều hòa:

Năng lượng dao động trong điều hòa là một ứng dụng thực tế của dao động điều hòa trong cơ học cổ điển và lượng tử. Dao động điều hòa là một hệ mà khi bị chuyển dời khỏi vị trí cân bằng, thì chịu tác dụng của lực kéo về tỉ lệ thuận với li độ. Dao động điều hòa có thể được mô tả bằng phương trình dao động, biên độ, tần số, chu kỳ và pha ban đầu. Dao động điều hòa có nhiều ví dụ trong tự nhiên và kỹ thuật, như con lắc đơn, lò xo, dao động tử và điều hòa không khí.

Điều hòa không khí là một thiết bị sử dụng năng lượng dao động để làm mát hoặc làm nóng không khí trong một không gian nhất định. Điều hòa không khí hoạt động bằng cách sử dụng một chu trình nhiệt máy để chuyển nhiệt từ một nguồn nhiệt sang một nguồn lạnh. Trong quá trình này, chất làm lạnh được sử dụng để chuyển nhiệt giữa hai nguồn. Chất làm lạnh được nén và giãn nở liên tục để thay đổi trạng thái từ khí sang lỏng và ngược lại. Khi chất làm lạnh thay đổi trạng thái, nó cũng thay đổi nhiệt độ và áp suất. Đây chính là hiện tượng dao động điều hòa của chất làm lạnh.

Năng lượng dao động của chất làm lạnh được tính bằng công thức:

E = 1/2 k A^2

Trong đó E là năng lượng dao động, k là hằng số đàn hồi của chất làm lạnh, A là biên độ dao động của chất làm lạnh.

Năng lượng dao động của chất làm lạnh được sử dụng để truyền nhiệt giữa hai nguồn khác nhau. Khi chất làm lạnh ở trạng thái khí, nó có năng lượng dao động cao và nhiệt độ cao. Khi chất làm lạnh ở trạng thái lỏng, nó có năng lượng dao động thấp và nhiệt độ thấp. Bằng cách cho chất làm lạnh qua các ống dẫn, van tiết lưu và các bộ trao đổi nhiệt, ta có thể kiểm soát được quá trình dao động điều hòa của chất làm lạnh để tạo ra hiệu ứng làm mát hoặc làm nóng mong muốn.

4. Bài tập năng lượng trong dao động điều hòa và lời giải:

Một vật dao động điều hòa có phương trình x = A sin(ωt + φ). Biết rằng ở thời điểm t = 0, vật có vận tốc cực đại và biên độ dao động là 5 cm. Tần số góc của dao động là 10π rad/s. Hãy tính:

a) Pha ban đầu φ của dao động.

b) Năng lượng cơ toàn phần E của vật dao động.

c) Năng lượng cơ tại thời điểm t = 0.1 s.

Lời giải:

a) Ta có vận tốc của vật dao động là v = ωA cos(ωt + φ). Khi t = 0, vận tốc đạt cực đại, nên cos(ωt + φ) = 1 hoặc -1. Do đó, ta có hai trường hợp:

– Nếu cos(ωt + φ) = 1, thì φ = 0 hoặc 2πn (n là số nguyên).

– Nếu cos(ωt + φ) = -1, thì φ = π hoặc π + 2πn (n là số nguyên).

Ta chọn một giá trị của φ bất kỳ trong các giá trị trên. Ví dụ, ta chọn φ = 0.

b) Năng lượng cơ toàn phần của vật dao động là E = (1/2)kA^2, trong đó k là hệ số đàn hồi của lò xo. Ta có k = mω^2, trong đó m là khối lượng của vật và ω là tần số góc của dao động. Do đó, ta có:

E = (1/2)mω^2A^2

Ta không biết m, nhưng ta có thể tính được E theo vận tốc cực đại v_max của vật. Ta có:

v_max = ωA

=> E = (1/2)mv_max^2

Ta biết A = 5 cm và ω = 10π rad/s, nên ta có:

v_max = ωA = 10π * 5 * 10^-2 m/s

=> E = (1/2)m * (10π * 5 * 10^-2)^2 J

c) Năng lượng cơ tại thời điểm t bất kỳ là tổng của năng lượng động học K và năng lượng thế U của vật. Ta có:

K = (1/2)mv^2

U = (1/2)kx^2

Trong đó x là li độ của vật tại thời điểm t. Ta có:

x = A sin(ωt + φ)

v = ωA cos(ωt + φ)

Do đó, ta có:

K = (1/2)mω^2A^2 cos^2(ωt + φ)

U = (1/2)mω^2A^2 sin^2(ωt + φ)

=> E = K + U = (1/2)mω^2A^2 (cos^2(ωt + φ) + sin^2(ωt + φ)) = (1/2)mω^2A^2

Ta thấy rằng năng lượng cơ không phụ thuộc vào thời gian t, mà chỉ phụ thuộc vào biên độ A, khối lượng m và tần số góc ω. Điều này cho thấy năng lượng cơ của vật dao động điều hòa được bảo toàn.

Tại thời điểm t = 0.1 s, ta có:

E = (1/2)mω^2A^2

= (1/2)m * (10π)^2 * (5 * 10^-2)^2 J

= (1/2)m * (10π * 5 * 10^-2)^2 J

= (1/2)mv_max^2 J

Ta thấy rằng năng lượng cơ tại thời điểm t = 0.1 s bằng năng lượng cơ toàn phần của vật dao động, như đã tính ở phần b).