Khối đa diện được bao bởi? Đặc điểm của khối đa diện?

1. Khối đa diện là gì?

1.1. Khái niệm về khối đa diện:

Khối đa diện là một khái niệm trong hình học không gian, được định nghĩa là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện: hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung; và mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như vậy được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. Có nhiều loại khối đa diện khác nhau, ví dụ như khối tứ diện, khối lập phương, khối bát diện, khối lăng trụ, khối chóp… 

Ví dụ về một khối đa diện là kim tự tháp Ai Cập, được xây dựng bởi bốn tam giác vuông góc với một hình vuông ở dưới. Kim tự tháp có năm mặt, tám cạnh và năm đỉnh. Nếu ta xoay kim tự tháp 180 độ quanh trục đi qua trung điểm của hai cạnh đối nhau ở dưới, ta sẽ thu được kim tự tháp ban đầu. Điều này cho thấy kim tự tháp là bằng nhau với chính nó sau khi dời hình.

Một ví dụ phổ biến về khối đa diện nữa là các khối đa diện Platon, còn được gọi là “chín khối đa diện đều”. Chín khối đa diện đều bao gồm: tứ diện, tam giác đều, tứ diện đều, tứ diện đều, tứ diện đều, tứ diện đều, tứ diện đều, tứ diện đều, và tứ diện đều.

1.2. Khối đa diện được bao bởi?

Khối đa diện được bao bởi các mặt là các đa giác phẳng. Số lượng mặt và hình dạng của chúng phụ thuộc vào loại khối đa diện cụ thể.

1.3. Đặc điểm của khối đa diện:

Khối đa diện có các đặc điểm sau:

– Các cạnh của khối đa diện là các đoạn thẳng nối các đỉnh của các mặt. Các cạnh có thể có độ dài bằng nhau hoặc khác nhau, tùy thuộc vào cấu trúc của khối đa diện.

– Đỉnh của khối đa diện là các điểm giao nhau của các cạnh. Số lượng đỉnh cũng phụ thuộc vào loại khối đa diện cụ thể.

– Mỗi mặt của khối đa diện có một mặt đối diện tương ứng, là mặt nằm ở phía đối diện của khối đa diện. Mặt đối diện có các đặc điểm tương tự nhau, bao gồm số lượng cạnh và hình dạng.

– Khối đa diện có các góc tạo bởi các cạnh và mặt. Các góc có thể có độ lớn bằng nhau hoặc khác nhau, tùy thuộc vào cấu trúc của khối đa diện.

– Có nhiều loại khối đa diện khác nhau, như khối đa diện Platon, khối đa diện Archimedean, khối đa diện Johnson và nhiều loại khác. Mỗi loại khối đa diện có cấu trúc và đặc điểm riêng.

2. Khối đa diện lồi là gì?

2.1. Khái niệm về khối đa diện lồi:

Đây là một khái niệm trong hình học không gian, liên quan đến các hình có nhiều mặt là các đa giác phẳng. Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc khối đa diện đó thì luôn nằm hoàn toàn trong hoặc trên khối đa diện đó. Nói cách khác, miền trong của khối đa diện lồi luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó. Ví dụ: Khối chóp, khối lăng trụ, khối lập phương, khối bát diện, khối tứ diện,… là các khối đa diện lồi. 

2.2. Tính chất của khối đa diện lồi:

Khối đa diện lồi có những tính chất sau:

– Mỗi cạnh của khối đa diện lồi là cạnh chung của đúng hai mặt.

– Tổng số cạnh của các mặt tại một đỉnh bất kỳ bằng bậc của đỉnh đó.

– Tổng số cạnh của tất cả các mặt bằng hai lần tổng số cạnh.

– Tổng số góc của tất cả các mặt bằng hai lần tổng số góc ở các đỉnh.

– Số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt bằng hai (Định lý Ơ-le).

3. Hình đa diện là gì?

Hình đa diện là một hình học không gian được tạo thành bởi một số mặt phẳng đóng. Mỗi mặt phẳng đóng được gọi là một đa giác, và các đa giác này được nối với nhau bởi các cạnh. Các cạnh này là các đoạn thẳng nối hai đỉnh của hai đa giác kề nhau. Các đỉnh này là các điểm giao nhau của ba hoặc nhiều hơn các cạnh. Hình đa diện có thể được phân loại theo nhiều tiêu chí khác nhau, chẳng hạn như số mặt, số cạnh, số đỉnh, tính chất của các mặt, tính chất của các cạnh, tính chất của các góc, tính chất của không gian bao quanh, v.v. Một số ví dụ về hình đa diện là:

– Hình lập phương: là hình đa diện có 6 mặt hình vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và 8 đỉnh vuông góc. Hình lập phương là một trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật và là một trong năm hình đa diện đều.

– Hình chóp: là hình đa diện có một mặt là một đa giác bất kỳ và các mặt còn lại là các tam giác có một đỉnh chung. Hình chóp có thể được phân loại theo số cạnh của mặt đáy hoặc theo tính chất của các tam giác bên. Một số ví dụ về hình chóp là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp lục giác, v.v.

– Hình trụ: là hình đa diện có hai mặt song song và bằng nhau là hai đường tròn và các mặt còn lại là các hình chữ nhật nối hai đường tròn. Hình trụ có thể được xem như là một trường hợp giới hạn của hình lăng trụ khi số cạnh của mặt đáy tăng vô tận.

– Hình cầu: là hình không gian được tạo thành bởi tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cho trước (gọi là tâm) một khoảng cách cho trước (gọi là bán kính). Hình cầu không phải là một hình đa diện theo nghĩa chặt chẽ, nhưng có thể được xấp xỉ bởi các hình đa diện có số mặt rất lớn, chẳng hạn như các hình khối Platon hay các hình khối Archimedes.

4. Hai đa diện bằng nhau:

4.1. Phép dời hình trong không gian:

Phép dời hình trong không gian là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian. Nghĩa là với hai điểm M, N tùy ý và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’=MN. Phép dời hình trong không gian có thể được xem như một phép tịnh tiến trong không gian, tức là di chuyển toàn bộ hình theo một vector xác định. Phép dời hình trong không gian bảo toàn các thuộc tính như diện tích, thể tích, góc, tỉ lệ, v.v. của hình ban đầu.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD với tọa độ S (1,2,3), A (0,0,0), B (4,0,0), C (4,3,0), D (0,3,0). Ta muốn dời hình này bằng cách dịch chuyển theo vector (-1,-2,-1).

– Bước 1: Chọn điểm S (1,2,3) làm điểm gốc.

– Bước 2: Tính vector dịch chuyển SA = A – S = (0,0,0) – (1,2,3) = (-1,-2,-3).

– Bước 3: Áp dụng vector dịch chuyển cho các điểm khác:

S’ = S + SA = (1,2,3) + (-1,-2,-3) = (0,0,0)

A’ = A + SA = (0,0,0) + (-1,-2,-3) = (-1,-2,-3)

B’ = B + SA = (4,0,0) + (-1,-2,-3) = (3,-2,-3)

C’ = C + SA = (4,3,0) + (-1,-2,-3) = (3,1,-3)

D’ = D + SA = (0,3,0) + (-1,-2,-3) = (-1,1,-3)

Bước 4: Kiểm tra lại hình chóp S’.A’B’C’D’ sau khi dời có bảo toàn các thuộc tính như diện tích đáy, thể tích chóp v.v.

Thông qua quá trình trên, ta đã thực hiện phép dời hình để biến đổi hình chóp S.ABCD thành hình chóp S’.A’B’C’D’ với vector dịch chuyển (-1,-2,-1).

4.2. Phép dời hình hai đa diện bằng nhau:

Phép dời hình trong không gian hình đa diện là phép biến đổi một hình đa diện bằng cách dời tất cả các đỉnh của nó theo cùng một vector. Kết quả của phép dời hình là một hình đa diện mới có cùng kích thước, hình dạng và định hướng với hình ban đầu, nhưng có vị trí khác nhau trong không gian. Phép dời hình có tính chất bảo toàn khoảng cách, góc và diện tích của các mặt phẳng. Phép dời hình còn được gọi là phép tịnh tiến hoặc phép trượt.

5. Các công thức tính khối đa diện:

5.1. Công thức tính thể tích của một khối đa diện:

Thể tích của một khối đa diện là độ lớn của không gian mà khối đa diện chiếm giữ. Công thức tính thể tích của một khối đa diện phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của nó. Một số công thức cơ bản như sau:

– Thể tích của khối chóp: V = 1/3.B.h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao.

– Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao.

– Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = a.b.c, với a, b, c là ba kích thước.

– Thể tích của khối lập phương: V = a^3, với a là độ dài cạnh.

Ngoài ra, có một số công thức nâng cao cho các khối đa diện đặc biệt như khối tứ diện, khối tam diện, khối lục giác đều… 

5.2. Diện tích toàn phần của một khối đa diện:

Công thức tính diện tích toàn phần của một khối đa diện là tổng diện tích của tất cả các mặt phẳng của khối đa diện đó. Để tính diện tích toàn phần, ta cần biết diện tích của từng mặt phẳng và cách xác định số lượng các mặt phẳng.

Có nhiều cách để xác định số lượng các mặt phẳng của một khối đa diện, nhưng một cách đơn giản và phổ biến là sử dụng công thức Euler: V – E + F = 2, trong đó V là số đỉnh, E là số cạnh và F là số mặt phẳng của khối đa diện.

Từ công thức này, ta có thể suy ra F = 2 + E – V. Sau khi xác định được số lượng các mặt phẳng, ta cần tính diện tích của từng mặt phẳng theo công thức tương ứng với hình dạng của nó.

Ví dụ, nếu một mặt phẳng là hình tam giác, ta có thể sử dụng công thức S = 1/2ab sin C, trong đó a và b là hai cạnh liền kề góc C của tam giác. Cuối cùng, ta cộng tất cả các diện tích của các mặt phẳng lại để được diện tích toàn phần của khối đa diện.

5.3. Công thức tính diện tích xung quanh của một khối đa diện:

Công thức tính diện tích xung quanh của một khối đa diện là tổng diện tích của các mặt phẳng của khối đó. Để tính được diện tích xung quanh, ta cần biết số lượng, hình dạng và kích thước của các mặt phẳng. Một số khối đa diện đơn giản có công thức tính diện tích xung quanh đã được xác định sẵn, ví dụ như:

– Hình lập phương: S = 6a^2, trong đó a là cạnh của hình lập phương.

– Hình chóp: S = P + (1/2)pl, trong đó P là diện tích đáy, p là chu vi đáy và l là chiều cao tam giác.

– Hình trụ: S = 2πr(r + h), trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ.

Nếu khối đa diện có hình dạng phức tạp, ta có thể chia nó thành các khối đơn giản hơn và cộng dồn diện tích xung quanh của từng khối. Ví dụ, một hình bát giác có thể được chia thành hai hình lập phương và một hình chóp.

5.4. Công thức tính chiều cao của một khối đa diện:

Công thức tính chiều cao của một khối đa diện là một vấn đề hình học không gian phổ biến. Một khối đa diện là một hình không gian có các mặt phẳng là các đa giác. Chiều cao của một khối đa diện là khoảng cách từ một mặt phẳng bất kỳ của khối đến mặt phẳng song song với nó và chứa điểm xa nhất của khối. Để tính chiều cao của một khối đa diện, ta có thể sử dụng các công thức sau:

– Nếu khối đa diện có một mặt là hình tam giác, ta có thể tính chiều cao bằng cách lấy diện tích của tam giác chia cho nửa chu vi của nó, rồi nhân với hai.

– Nếu khối đa diện có một mặt là hình chữ nhật, ta có thể tính chiều cao bằng cách lấy diện tích của hình chữ nhật chia cho chiều dài của một cạnh bất kỳ, rồi nhân với hai.

– Nếu khối đa diện có một mặt là hình thoi, ta có thể tính chiều cao bằng cách lấy diện tích của hình thoi chia cho nửa tích của hai đường chéo, rồi nhân với hai.

– Nếu khối đa diện có một mặt là hình bình hành, ta có thể tính chiều cao bằng cách lấy diện tích của hình bình hành chia cho chiều dài của một cạnh bất kỳ, rồi nhân với hai.

– Nếu khối đa diện có một mặt là hình vuông, ta có thể tính chiều cao bằng cách lấy diện tích của hình vuông chia cho chiều dài của một cạnh, rồi nhân với hai.

Các công thức trên chỉ áp dụng khi khối đa diện là hình lăng trụ hoặc hình chóp. Nếu khối đa diện là hình khác, ta phải sử dụng các phương pháp khác để tính chiều cao, ví dụ như công thức Heron hay công thức Euler.