Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho các bạn cách giải phương trình bậc nhất ba ẩn và giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chuyên đề 1. Mời các bạn tham khảo.
Mục lục bài viết
1. Hướng dẫn cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
– Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: ax + by + cz = d
Trong đó: x, y, z là ba ẩn a, b, c (a, b, c không đồng thời bằng 0).
d là các hệ số
– Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:
Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số (xo; yo; zo) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).
– Muốn giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ta thường dùng:
+ Phương pháp thế: Rút một ẩn theo ẩn còn lại trong một phương trình của hệ và thế vào phương trình còn lại, thu được hệ mới mà trong đó có một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.
+ Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong các phương trình bằng nhau hoặc đối nhau. Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
– Tổng quát: Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải hệ phương trình có ít ẩn số hơn.
Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế giống như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sử dụng phương pháp Toán học:
Ví dụ:
x− 2y + 3z =9(1)
2x + 3y − z =4(2)
x + 5y − 4z = 2(3)
Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình (3) với −2, sau đó cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên các phương trình (1) và (2) ta được hệ:
x− 2y + 3z = 9 (1)
2x + 3y − z = 4 (2)
−7y + 7z = 0 (3.1)
Bước 2: Nhân hai vế của phương trình (1) với −2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên các phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:
x − 2y + 3z = 9 (1)
7y − 7z = −14 (2.1)
−7y + 7z =0 (3.1)
Bước 3: Cộng vế với vế của phương trình (2.1) với phương trình (3.1), giữ nguyên các phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
x − 2y + 3z = 9 (1)
7y −7z = −14 (2.1)
0y + 0z = −14 (3.2)
=> Vì phương trình (3.2) vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Bài tập luyện tập kèm đáp án:
Bài 1. Giải hệ phương trình x + 2y + z = 10 (1), y − z = 5 (2), 2z = 4 (3).
Từ phương trình (3) suy ra z = 2.
Thay z = 2 vào phương trình (2) ta được y − 2 = 5 ⇔ y = 7.
Thay y = 7, z = 2 vào phương trình (3) ta được x + 2.7 + 2 = 10 ⇔ x = −6.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−6; 7; 2).
Bài 2. Giải hệ phương trình x − y + z = −3 (1), 3x + 2y + 3z = 6 (2), 2x − y − 4z = 3 (3)
Lời giải.
Nhân hai vế của phương trình (1) với −3 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình (1) với −2 rồi cộng vào phương trình (3) theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình x − y + z = −3, −5y = −15, y − 6z = 9.
Giải phương trình (2) ta được y = 3.
Thay y = 3 vào phương trình (3) ta được 3 − 6z = 9 ⇔ z = −1.
Thay y = 3, z = −1 vào phương trình (1) ta được x − 3 + (−1) = −3 ⇔ x = 1.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1; 3; −1).
Bài 3. Giải hệ phương trình x − y + 2z = 4 (1), 2x + y − z = −1 (2), x + y + z = 5 (3).
Nhân hai vế của phương trình (1) với −2 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng.
Nhân hai vế của phương trình (1) với −1 rồi cộng vào phương trình (2) theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình:
x − y + 2z = 4, 3y − 5z = −9, 2y − z = 1.
Tiếp tục nhân hai vế của phương trình (2) với − 2 rồi cộng vào phương trình (3) theo từng vế tương ứng,
Từ phương trình (3) suy ra z = 3.
Thay z = 3 vào phương trình (2) ta được 3y − 5.3 = −9 ⇔ y = 2.
Thay y = 2, z = 3 vào phương trình (3) ta được x − 2 + 2.3 = 4 ⇔ x = 0.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0; 2; 3).
Bài 4: Ba bạn Vân, Anh, Khoa đi chợ mua trái cây. Bạn Anh mua 2 kí cam và 3 kí quýt hết 105 nghìn đồng, bạn Khoa mua 4 kí nho và 1 kí cam hết 215 nghìn đồng, bạn Vân mua 2 kí nho, 3 kí cam và 1 kí quýt hết 170 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi loại cam, quýt, nho là bao nhiêu?
Lời giải.
Gọi x, y, z (nghìn đồng) lần lượt là giá một kí cam, quýt, nho.
Điều kiện x, y, z là số dương.
Từ giả thiết bài toán ta có: 2x + 3y = 105, x + 4z = 215, 3x + y + 2z = 170.
Dùng phép cộng đại số ta đưa hệ trên về dạng tam giác, ta được hệ x + 4y = 125, y − 10z = −475, 22z = 1100.
Giải hệ trên ta được x = 15, y = 25, z = 50.
Vậy giá mỗi kí cam, quýt, nho lần lượt là 15, 25, 50 (nghìn đồng).
Bài 5: Một cửa hàng bán quần, áo và nón. Ngày thứ nhất bán được 3 cái quần, 7 cái áo và 10 cái nón, doanh thu là 1930000 đồng. Ngày thứ hai bán được 5 cái quần, 6 cái áo và 8 cái nón, doanh thu là 2310000 đồng. Ngày thứ ba bán được 11 cái quần, 9 cái áo và 3 cái nón, doanh thu là 3390000 đồng. Hỏi giá bán mỗi quần, mỗi áo, mỗi nón là bao nhiêu?
Lời giải.
Gọi x, y, z (đồng) lần lượt là giá bán mỗi quần, mỗi áo, mỗi nón.
Theo đề bài ta có hệ phương trình 3x + 7y + 10z = 1930000, 5x + 6y + 8z = 2310000, 11x + 9x + 3z = 3390000.
Giải hệ trên ta được x = 210000, y = 100000, z = 60.
Vậy giá bán mỗi quần, mỗi áo, mỗi nón lần lượt là 210000 đồng, 100000 đồng, 60000 đồng.
Bài 6: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
Lời giải:
a) Bộ ba số (–3; 2;–1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (–3) + 2 . 2 – 3 . (–1) = 1, đây là đẳng thức sai.
b) Bộ ba số (–3; 2;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
–(–3) + 2 + (–1) = 4;
2 . (–3) + 2 – 3 . (–1) = –1;
3 . (–3) – 2 . (–1) = –7.
Bài 7: Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác.
Cho hệ phương trình:
x+y−2z=3y+z=72z=4″>
Hệ phương trình dạng tam giác có cách giải rất đơn giản.
Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối cùng thay y và z tìm được vào phương trình đầu để tìm x.
Lời giải:
+) Từ phương trình cuối ta tính được z = 2.
+) Thay z = 2 vào phương trình thứ hai ta được y + 2 = 7, suy ra y = 5.
+) Thay y = 5 và z = 2 vào phương trình đầu ta được x + 5 – 2 . 2 = 3, suy ra x = 2.
THAM KHẢO THÊM:
