Nếu bạn đang học giải tích thì có lẽ bạn đã quen với các khái niệm về hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến. Hiểu các khái niệm này là rất quan trọng để giải quyết nhiều vấn đề tính toán. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các hàm số này qua bài viết sau.
Mục lục bài viết
1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?
– Câu hỏi:
Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R?
A. x+sin2x
B. x-sin2x
C. 2x+sin 3x
D. 2x-sinx
– Đáp án: D. 2x-sinx
– Giải thích:
Để xác định hàm số nào luôn đồng biến trên R, ta cần kiểm tra đạo hàm của các hàm số đó. Đạo hàm của một hàm số là một hàm số khác biểu thị tỷ lệ thay đổi của hàm số ban đầu theo biến số. Nếu đạo hàm của một hàm số luôn dương trên R, thì hàm số đó luôn đồng biến trên R. Ngược lại, nếu đạo hàm của một hàm số luôn âm trên R, thì hàm số đó luôn nghịch biến trên R.
Ta có các công thức sau:
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(ax)’ = a
Áp dụng các công thức này, ta tính được đạo hàm của các hàm số đã cho như sau:
(x + sin 2x)’ = 1 + 2cos 2x
(x – sin 2x)’ = 1 – 2cos 2x
(2x + sin 3x)’ = 2 + 3cos 3x
(2x – sin x)’ = 2 – cos x
Ta thấy rằng đạo hàm của các hàm số A, B, C không có dấu xác định trên R, tức là có thể dương hoặc âm tùy vào giá trị của x. Do đó, các hàm số này không phải là hàm số luôn đồng biến trên R.
Đối với hàm số D, ta có:
2 – cos x > 0 với mọi x thuộc R
Vậy đạo hàm của hàm số D luôn dương trên R. Do đó, hàm số D là hàm số luôn đồng biến trên R.
Đáp án: D. 2x – sin x
2. Hàm số đồng biến trên R:
Hàm số đồng biến trên R là hàm số mà khi tăng biến số thì giá trị hàm số cũng tăng; hoặc cùng giảm khi biến số giảm. Nói cách khác, hàm số đồng biến trên R có đạo hàm không âm hoặc không dương trên toàn miền xác định của nó.
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên tập R nếu với mọi x1, x2 thuộc R, ta có x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Điều này có nghĩa là khi biến đổi x theo chiều tăng dần, giá trị của hàm số cũng tăng theo.
Để kiểm tra một hàm số có đồng biến trên R hay không, ta có thể sử dụng phương pháp dựa vào đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm của hàm số luôn dương trên R, tức f'(x) > 0 với mọi x thuộc R, thì hàm số đó là đồng biến trên R. Ngược lại, nếu đạo hàm của hàm số luôn âm trên R, tức f'(x) < 0 với mọi x thuộc R, thì hàm số đó là nghịch biến trên R. Nếu đạo hàm của hàm số có dấu thay đổi trên R, tức f'(x) có lúc dương lúc âm, thì hàm số đó không đồng biến cũng không nghịch biến trên R mà phụ thuộc vào khoảng xét.
Để giải thích chi tiết hàm đồng biến trên R, ta có thể sử dụng một ví dụ cụ thể. Giả sử có hàm số y = x², ta muốn xác định xem hàm số này có đồng biến trên R hay không.
Có thể dùng phương pháp đạo hàm để kiểm tra tính đồng biến của hàm số. Ta tính đạo hàm của hàm số y = x², được y’ = 2x. Ta thấy rằng y’ > 0 với mọi x thuộc R, nghĩa là đạo hàm luôn dương trên R. Điều này chứng tỏ hàm số y = x² là đồng biến tăng trên R.
Nếu ta vẽ đồ thị của hàm số y = x², ta cũng có thể nhận thấy rằng khi x tăng thì y cũng tăng, và ngược lại. Đồ thị của hàm số có dạng một parabol lồi lên, có điểm cực tiểu tại (0, 0).
Đây là một trong những ví dụ về hàm đồng biến trên R. Tương tự, ta có thể áp dụng phương pháp đạo hàm để kiểm tra tính đồng biến của các hàm số khác trên R.
3. Hàm số nghịch biến:
Hàm số nghịch biến trên R là hàm số mà khi tăng giá trị của biến số x thì giá trị của hàm số sẽ giảm và ngược lại, khi giảm giá trị của biến số x thì giá trị của hàm số sẽ tăng.
Một hàm nghịch biến trên R là một hàm số f: R -> R sao cho nếu x < y thì f(x) > f(y) hoặc nếu x > y thì f(x) < f(y). Nói cách khác, một hàm nghịch biến trên R là một hàm giảm chặt hoặc tăng chặt trên toàn miền xác định. Ví dụ, hàm f(x) = -x là một hàm nghịch biến trên R vì nếu x < y thì f(x) = -x > -y = f(y). Một hàm nghịch biến trên R có thể được biểu diễn bằng đồ thị là một đường cong không có điểm uốn.
Để xác định một hàm số có nghịch biến trên R hay không, ta có thể dùng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp so sánh giá trị của hàm số tại các điểm khác nhau.
– Phương pháp đạo hàm: Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, và có đạo hàm f'(x) không đổi dấu trên R, thì ta có thể dùng đạo hàm để kiểm tra tính nghịch biến của hàm số. Theo định nghĩa, hàm số f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi f'(x) < 0 với mọi x thuộc R. Nghĩa là đạo hàm của hàm số luôn âm trên R.
Ví dụ, hàm số f(x) = -x² + 3x – 2 có đạo hàm là f'(x) = -2x + 3. Để f'(x) < 0, ta cần có -2x + 3 < 0, hay x > 3/2. Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (3/2; +∞). Tuy nhiên, nếu ta xét toàn bộ R, ta thấy rằng f'(x) > 0 khi x < 3/2. Vậy hàm số f(x) không nghịch biến trên R.
– Phương pháp so sánh: Nếu hàm số f(x) không có đạo hàm hoặc khó tính được đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp so sánh giá trị của hàm số tại các điểm khác nhau để kiểm tra tính nghịch biến của hàm số. Theo định nghĩa, hàm số f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi với mọi x1, x2 thuộc R mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Nghĩa là giá trị của hàm số giảm khi biến số tăng. Ví dụ, hàm số f(x) = 1/x có giá trị là f(1) = 1, f(2) = 1/2, f(3) = 1/3,… Ta thấy rằng khi x tăng thì f(x) giảm. Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên R.
4. Cách tìm khoảng tăng và khoảng giảm:
Cho một hàm f(x), chúng ta có thể xác định các khoảng trong đó nó tăng và giảm bằng cách sử dụng vi phân và đại số.
Bước 1: Tìm đạo hàm f'(x) của hàm số.
Bước 2: Tìm các số 0 của f'(x). Hãy nhớ rằng, số không là các giá trị của x sao cho f'(x) = 0. Đặt f'(x) = 0 và giải tìm x.
Bước 3: Xác định các khoảng. Các khoảng nằm giữa các điểm cuối của khoảng f(x) và các số 0 của f'(x). Nếu khoảng của f(x) không được cho trước, giả sử f(x) nằm trên khoảng (-∞, ∞).
Bước 4: Xác định xem hàm số tăng hay giảm trên mỗi khoảng. Cho khoảng (a, c), chọn giá trị b, a < b < c. Giải f'(b). Nếu f'(b) dương thì f(x) đang tăng trên (a, c). Nếu f'(b) âm, f(x) đang giảm trên (a, c).
* Ví dụ: Nếu g(x) = (x – 5)², hãy tìm các khoảng trong đó g(x) tăng và giảm.
Lời giải:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Sử dụng quy tắc dây chuyền,
g'(x) = 2(5 – x)
Bước 2: Tìm các số 0 của hàm đạo hàm.
Nói cách khác, tìm các giá trị của g(x) bằng 0. Bạn có thể làm điều này bằng cách đặt g(x) = 0 và sử dụng đại số để giải tìm x. Từ các định nghĩa trên, chúng ta biết hàm số không đổi tại các điểm có đạo hàm bằng 0.
g'(x) = 0 = 2(5 – x)
⇒ 0 = 5 – x
⇒ x = 5
Bước 3: Sử dụng số không để xác định khoảng.
Vì x = 5 là số 0 duy nhất cho g'(x), nên chỉ có 2 khoảng: từ vô cực âm đến 5, và từ 5 đến âm vô cực.
Chúng có thể được biểu thị bằng ký hiệu bất đẳng thức:
-∞ < x < 5
5 < x < ∞
Hoặc trong ký hiệu khoảng:
(-∞, 5), (5, ∞)
Hãy nhớ rằng, các điểm cuối KHÔNG bao gồm vì g(x) không tăng cũng không giảm ở các điểm cuối.
Bước 4: Xác định xem hàm số tăng hay giảm trong mỗi khoảng.
Trong khoảng đầu tiên, ((-∞, 5), chúng ta sẽ chọn b = 0. -∞ < x < 5
g'(b) = g'(0) = 2(5-0) = 10
10 > 0
Đối với khoảng thứ hai, (5, ∞), chúng ta sẽ chọn b = 6. 5 < 6 < ∞
g'(b) = g'(6) = 2(5-6) = -2
-2 < 0
Do đó, g(x) tăng trên (-∞, 5) và giảm trên (5, ∞).
