Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất?

1. Ước chung lớn nhất là gì?

Ước là gì?

Nếu một số tự nhiên a có thể được chia hết cho một số tự nhiên b mà không để lại phần dư, thì ta nói b là ước của a. Trong trường hợp này, ta có thể nói rằng a chia hết cho b. Điều này có nghĩa là a có thể được biểu diễn dưới dạng b nhân một số tự nhiên.

– Tập hợp ước của a là: Ư (a)

Ví dụ: Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Ước chung và ước chung lớn nhất

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b. Ước chung giữa hai số này có thể có nhiều giá trị khác nhau và được xác định bởi việc chia a và b cho các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n và kiểm tra xem có thể chia hết cho cả hai số không.

Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b. Ước chung lớn nhất là một giá trị duy nhất và có thể được tìm thấy bằng cách xem xét tất cả các ước chung của a và b và tìm giá trị lớn nhất trong số đó.

Ta ký hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC (a; b)

Tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu là: ƯCLN (a; b)

Ví dụ: ƯC (30; 48) = {1; 2; 3; 6}

ƯCLN = (30; 48) = 6

* Lưu ý:

Ước chung của hai số là ước chung lớn nhất của chúng. Điều này có nghĩa là ước chung không thể lớn hơn bất kỳ ước chung nào khác giữa hai số đó.

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số mà ước chung lớn nhất của chúng là 1. Điều này có nghĩa là không có ước chung nào khác ngoài số 1 giữa hai số đó.

Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này đảm bảo rằng tử và mẫu không thể được chia hết cho bất kỳ số nguyên nào khác ngoài 1.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất:

Bước 1. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Trước tiên, chúng ta sẽ phân tích các số trong dãy thành các thừa số nguyên tố riêng biệt. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và thành phần của từng số.

Bước 2. Chọn ra các thừa số chung

Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định những thừa số chung giữa các số đã phân tích ở bước trước. Những thừa số này là những yếu tố quan trọng và cần được chúng ta tập trung vào để tiếp tục quá trình tính toán.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn ra. Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó chính tích đó là ƯCLN phải tìm.

Cuối cùng, chúng ta sẽ lập tích các thừa số đã chọn ra ở bước trước. Việc lấy từng thừa số với số mũ nhỏ nhất của nó giúp chúng ta tìm ra Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số ban đầu. Đây là kết quả mà chúng ta cần tìm trong quá trình này.

3. Bài tập về ước chung lớn nhất

Dạng 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Phương pháp giải:

– Cách 1: Để tìm ƯCLN của các số cho trước ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên.

Chú ý:

a chia hết cho b => ƯCLN (a; b)

a chia b dư r thì ƯCLN (a; b) = ƯCLN (b; r)

– Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơ-clit

Bước 1. Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử a = bx + r

+ Nếu r # 0 ta thực hiện bước 2

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN (a; b) = b

Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư

+ Nếu r1 # 0 ta thực hiện bước 3

+ Nếu r1 = 0 thì ƯCLN (a; b) = b

Bước 3. Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết

Bài 1. Sử dụng thuật toán Ơ-clit để tìm

a. ƯCLN (174; 18)

b. ƯCLN (124; 16)

Đáp án

a. Ta thực hiện theo các bước:

Lấy 174 chia cho 18 ta được 174 = 9 . 18 + 12

Lấy 18 chia cho 12 ta được 18 = 1 . 12 + 6

Lấy 12 chia cho 6 ta được 12 = 2 . 6 + 0

Vậy ta được ƯCLN (174; 18) = 6

b. Ta thực hiện  theo các bước:

Lấy 124 chia cho 16, ta được 124 = 7 .16 + 12

Lấy 16 chia cho 12, ta được 16 = 1 . 12 + 4

Lấy 12 chia cho 4 ta được 12 = 3 . 4 + 0

Vậy ƯCLN (124; 16) = 4

Bài 2. Tìm ước chung lớn nhất của các số

a. ƯCLN (18; 30)

b. ƯCLN (24; 48)

c. ƯCLN (18; 30; 15)

d. ƯCLN (24; 48; 36)

Đáp án

a. ƯCLN (18; 30)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

18 = 2 . 32

30 = 2 . 3 . 5

Từ đó ƯCLN (18; 30) = 2 . 3 = 6

b. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

24 = 23 . 3

48 = 24 . 3

Từ đó ƯCLN (24; 48) = 23 . 3. = 24

c. 18 = 2  . 32

30 = 2 . 3 . 5

15 = 3 . 5

ƯCLN (18; 30; 15) = 3

d. 24 = 23 . 3

48 = 24 . 3

36 = 22 . 32

Từ đó ƯCLN (24; 48; 36) = 22 . 3 = 12

Dạng 2. Tìm ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số trước

Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này

Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho

Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN

Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước

Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này

Bài 1. Tìm số tự nhiên x và y

a. ( x + 1)( y – 5) = 6

b. (2x + 1 )(2y – 1) = 15

Đáp án

a. (x + 1)(y – 5) = 6 =  2 . 3 = 3 . 2 = 6 . 1 = 1 . 6

Ta có bảng sau:

Vậy (x, y) = {(1; 8); (2; 7); (5; 6); (0; 11)}

b. (2x + 1)(2y – 1) = 15 = 1 . 15 = 3 . 5 = 5 . 3 = 15 . 1

Ta có bảng sau:

Vậy (x,y) = {(0; 8); (1;3); (2;2); (7;1)}

Bài 2. Tìm các ước chung cua 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN

Đáp án

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

24 = 23 . 3

180 = 22 . 32 . 5

Từ đó Ư CLN (24; 180) = 22 . 3 = 12

Mà Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vậy ƯC (24; 180) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Bài 3. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 90 chia hết cho x, 150 chia hết cho x và 5 < x < 30

Đáp án

Số tự nhiên x thỏa mãn 90 chia hết cho x, 150 chia hết cho x nên x € ƯCLN (90; 150)

Phân tích các số ra thừa sô nguyên tố

90 = 2 . 32 . 5

150 = 2 . 3 . 52

Từ đó ƯCLN (90; 150) = 2 . 3 . 5 = 30

Mà Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Vì 5 < x < 30 nên x € {6; 10; 15}

Bài 4. Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN (a; b) = 3 và a . b = 891

Đáp án

Ta có ƯCLN (a,b) = 3 nên a = 3k, b = 3m và ƯCLN (k,m) = 1

Giả sử a> b => k > m. Ta có: a . b = 891 => 3k . 3m = 891 => k . m = 32 . 11

Trường hợp 1: k = 11, m = 9 => a = 33, b = 27

Trường hợp 2: k = 99, m = 1 => a = 297, b = 3

Dạng 3. Toán có lời văn

Phương pháp giải:

Bước 1: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hau hay nhiều số

Bước 2. Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó

Bài 1. Đào và Mai mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có nhiều hơn hai bút và số bút ở mỗi hộp bằng nhau. Biết rằng Đào mua được 28 bút và Mai mua được 36 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Đáp án

Gọi a là số bút chì màu trong mỗi hộp.

Ta phải có: 28 chia hết cho a và 36 chia hết cho a (a > 2)

Do đó, a € Ư CLN (28; 36) và a > 2

Ta tìm được Ư CLN (28; 36) = 4 => Ư CLN (28; 36) = {1; 2; 4}

mà a > 2 nên a = 4.

Vậy mỗi hộp có 4 bút.

Bài 2. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 quyển vở, 48 bút bi và 36 gói bánh thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học lỳ. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phân thưởng? Khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyền vở, bút bi và gói bánh?

Đáp án

Gọi a là số phần thương để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì (a € N*; a < 24)

Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho 24 chia hết cho a, 48 chia hết cho a, 36 chia hết cho a

Tức là a = ƯC LN (24; 48; 36)

Ta có: 24 = 23 . 3

48 = 24 . 3

36 = 22 . 32

ƯCLN (24; 48; 36) = 22 . 3 = 12 => a = 12

Vậy có thể chia được nhiều nhất thành 12 phần thưởng

Trong đó có 2 quyền vở, 4 bút bi và 3 gói bánh

Bài 3. Một hình chữ nhất có chiều dài 150m, chiều rộng 90m, được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh vuông lớn nhất trong cách chia trên? (số đo cạnh là số tự nhiên với đơn vị là m)

Đáp án

Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90

Do đó, độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN (90; 150) = 30

Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m

Bài 4. Lớp 6A có 24 học sinh nam và 36 học sịnh nữ. Thầy giáo cần chia cả lớp thành các hàng dọc để tập thể dục, sao cho số nam và số nữ ở mỗi hàng bằng nhau. Trong các cách sắp xếp, cách nào thực hiện được? Điền vào chỗ trống những trường hợp chia được.

Đáp án

Số hàng dọc chia được là ước chung của 24 và 36

Trong bốn số 4; 6; 8; 12 chỉ có 8 không là ước chung cua 12 nên cách thứ ba không thực hiện được. Cách thứ nhất:

– Số nam ở mỗi hàng là 24 : 4 = 6

– Số nữ ở mỗi hàng là: 36 : 4 = 9

Tương tự với cách thứ hai và thứ tư, ta có bảng:

Bài 5. Một đội y tế gồm có 36 bác sĩ, 120 y tá. Có thể chia đội u tế đó thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để các bác sĩ và các y tá được chia đề vào mỗi tổ?

Đáp án

Số đội nhiều nhất chia được la ước chung lớn nhất của 36 và 120

ta có: 36 = 22 . 32

120 = 23 . 3 . 5

=> Ư CLN (36; 120) = 22 . 3 = 12

Vậy đội y tế có thể chia được thành nhiều nhất 12 tổ