Tính chất kết hợp của phép nhân là gì? Tính chất phép nhân?

1. Hiểu như thế nào về phép nhân?

Trong toán học, phép nhân theo định nghĩa chính là phép tính của giãn số bởi số khác. Phép nhân cũng là một trong bốn phép toán số học cơ bản (bên cạnh cộng, trừ và chia). Phép nhân tác động lên hai hay nhiều đối tượng toán học (thừa số hoặc nhân tử) để tạo ra một đối tượng toán học mới. Phép nhân được biểu thị bằng “×” (hoặc “.”).

Phép nhân còn được hiểu là kết quả của việc di chuyển một số nguyên, trong trường hợp này nó chứa nhiều bản sao của số nguyên. Ví dụ, nếu ta cộng với nhiều số như 3+3+3+3 thì ra được 12. Thay vào đó, nếu ta sử dụng phép nhân thì nó sẽ nhanh hơn: 3 x 4.

Phép toán nhân hai số: A x B = C (Với A và B là thừa số, C là tích).

Trong khi phép cộng cho một số tự nhiên là tổng của chúng, thì phép nhân hai số tự nhiên cho một số tự nhiên duy nhất là tích của chúng. Dấu “×” có nghĩa là phép cộng, cũng như dấu “x” hoặc “.” là phép nhân.

a+b=c trong đó a và b là các số hạng; c được gọi là tổng.

a.b=d trong đó a và b là các thừa số; d được gọi là tích.

Nếu một phép nhân mà các thừa số đều kí hiệu bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, thì ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số. 

Ví dụ: a.b=ab;6.x.y=6xy

2. Một số các khái niệm liên quan:

2.1. Lũy thừa là gì? 

Định nghĩa về lũy thừa chính là phép toán nhân của một số lặp đi lặp lại n lần.

Ta có: 

a.a=a2

a.a.a=a3 

a.a.a.a=a4 

a.a.a.a….=an  

Từ đó ta có:

an=a.a.a.a….a  

mà a luỹ thừa n bằng tích của a nhân với a (chính nó) n lần. 

Ví dụ: 

a lũy thừa 4 

a⁴ = a.a.a.a

2.2. Giai thừa là gì? 

Ta kí hiệu: 1.2.3.4…n=n! chính là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n , đọc là n giai thừa.

Ví dụ về giai thừa: 

6!=1.2.3.4.5.6=720

1!=1 

Chú ý: Với n=0 người ta quy ước 0!=1

3. Tính chất cơ bản của phép nhân:

3.1. Tính chất giao hoán của phép nhân:

Phát biểu tính chất giao hoán của phép nhân: Tích của hai thừa số có giá trị sẽ không thay đổi khi đổi chỗ hai thừa số.  a.b=b.a 

Chú ý: 

– Phép nhân trong toán học có tính chất phân phối đối với phép trừ: a(b−c)=ab−ac 

– Nếu thừa số âm là số chẵn thì tích có dấu (+) và ngược lại, nếu  thừa số âm là số lẻ thì tích có dấu (-).

3.2. Tính chất kết hợp của phép nhân:

Phát biểu tính chất kết hợp của phép nhân: Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. (a.b).c=a.(b.c)

Ví dụ 1: Tính [10.(−4)].5

Cách giải: 

[10.(−4)].5=10.[(−4).5]=−200

Chú ý:  

– Bởi tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể nói về kết quả của tích của ba, bốn, năm… các số nguyên. Ví dụ: a.b.c=a.(b.c)=(a.b).c

– Giao hoán và kết hợp tổng quát là tính chất của phép nhân.  

– Khi thực hiện phép nhân nhiều số nguyên ta nên dựa vào tính chất giao hoán, kết hợp để thay đổi vị trí của các thừa số và dùng dấu ngoặc vuông để nhóm các thừa số một cách tùy ý. 

– Ta còn gọi tích a của một số n  là lũy thừa thứ n của số a.

3.3. Tính chất nhân với 1 của phép nhân:

Phát biểu tính chất nhân với 1 của phép nhân: Tích của một số với 1 là chính nó.

a.1=1.a=a 

Ví dụ : 7.1=1.7=7

3.4.Tính chất nhân với 0 của phép nhân:

Phát biểu tính chất nhân với 0 của phép nhân: Tích của một số với 0 là 0.

a.0=0 

Ví dụ: 468563.0=0 

3.5. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Phát biểu tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại.

a.(b+c)=ab+ac 

Chú ý: Phép nhân có tính phân phối đối với phép trừ: a(b−c)=ab−ac

Ví dụ: 7.6+7.3=7.(6+3)=7.9=63

4. Tính chất cơ bản của phép nhân phân số:

4.1. Phép nhân phân số là gì?

Để nhân phân số, tìm tích số của các tử số và các mẫu số rồi rút gọn kết quả: 

Ta có: a/b.c/d=a.c/b.d 

4.2. Các bước trong phép nhân phân số:

Nhân các tử số của phân số 

Tử số là số ở đầu phân số, ngược lại mẫu số là số ở cuối phân số. Sau khi nhân các phân số ta phải sắp xếp chúng sao cho tử số và mẫu số gần bằng nhau. Ví dụ: Khi thực hiện phép nhân 1/2 và 12/48, đầu tiên cần tìm tích số của hai tử số 1 và 12. 1 x 12 = 12. Tử số của đáp án là 12.

Tiếp tục nhân mẫu số của phân số

Tiếp theo nhân mẫu số tương tự như nhân tích của tử số. Nhân 2  với 48 ra 96. Tử là 12, mẫu là 96. Phân số là 12/96.

Rút gọn phân số để được kết quả 

Rút gọn kết quả nếu chưa rút gọn phân số. Cần lưu ý rằng muốn rút gọn một phân số ta phải tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của cả tử  và mẫu của phân số đó. ƯCLN của một số là số lớn nhất mà cả tử và mẫu đều chia hết. Trong ví dụ này, 96 chia hết cho 12. Ta có: 12 chia hết cho 12 được 1, 96 chia hết cho 12 được 8. 12/96 ÷ 12/12 = 1/8. 

Nếu cả hai đều bằng nhau, bạn có thể bắt đầu bằng cách tách với hai trong số chúng và cứ thế tiếp tục: 12/96 ÷ 2/2 = 6/48 ÷ 2/2 = 3/24.

Lúc này dễ dàng nhận thấy 24 chia hết cho 3 nên bạn có thể chia cả tử  và mẫu cho 3 để có được đáp án là 1/8. 3/24 ÷ 3/3 = ⅛.

5. Một số tính chất khác của phép nhân:

5.1. Giá trị tuyệt đối của 1 tích:

Giá trị tuyệt đối của một tích trong toán học bằng tích các giá trị tuyệt đối

Nghĩa là:  |a.b|=|a|.|b| 

Ví dụ:

|4.(−5)|=|4|.|−5|=4.5=20 

5 2. Tính chất bình phương của số nguyên:

Giá trị bình phương của một số nguyên trong toán học luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Có nghĩa là: Với a∈Z  thì a2≥0 (dấu = xảy ra khi a=0  )

5 3. So sánh tích trong tính chất của phép nhân:

Với a,b,c ta luôn có: 

Nếu c>0 ta có a≥b⇔ac≥bc 

Nếu c<0 ta có a≤b⇔ac≤bc

6. Các cách tính phép nhân nhanh nhất:

Tính nhẩm nhân số có 2 chữ số với số có 3 chữ số:

Để tính nhẩm nhân số có 2 chữ số với số có 3 chữ số, bạn có thể tham khảo cách tính nhẩm “siêu tốc” của người Nhật.

Bước 1: Vẽ các đoạn thẳng biểu diễn từng số đan chéo nhau, chú ý quy tắc áp dụng từ trái sang phải kể cả khi vẽ đoạn thẳng

Bước 2: Chia số thành các phần biểu thị cho hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị

Bước 3: Đếm giao điểm của từng phần từ trái sang phải và viết kết quả

Bước tính nhẩm nhanh Nhân hai số với một số có 3 chữ số trên là một phương pháp tính nhẩm nhanh, dễ dàng và hiệu quả. Nhờ phương pháp này chúng ta có thể dễ dàng hoàn thành các bài toán có lời giải hay phép tính với số lớn hơn.

Phép tính nhân tam giác với số 1:

Đây cũng là một trong những cách nhanh nhất để tính phép nhân. Lấy các số gồm toàn các chữ số một nhân với chính nó sẽ dãy số tiến lùi dễ nhớ. Bạn có thể tưởng tượng nhân một tam giác với 1 bằng hình ảnh sau:

Cách tính nhẩm nhanh phép nhân với số 10:

Muốn nhân một số tự nhiên với 10 ta chỉ cần viết thêm một, hai, ba… chữ số 0 vào bên phải số đó.

Ví dụ: 4×10=40, 27×10=270, 270×10=2700

Nếu bạn cần nhân một số thập phân với 10, chỉ cần di chuyển chữ số một của số thập phân sang bên phải một chữ số.

Ví dụ: 13,45×10=134,5

Cách tính nhẩm nhanh phép nhân với số 15:

Một trong những cách nhân nhanh nhất không thể bỏ qua đó chính là phép nhân với số 15. Khi nhân một số với 15, bạn nhân nó với 10 rồi cộng một nửa số vừa ra thì sẽ ra kết quả cuối cùng. 

Ví dụ: 

35 x 15

Ta có phép tính 35 x 10= 350

Sau đó lấy 350 + 175= 525

Cách tính nhẩm nhanh phép nhân với số 9:

Để thực hiện được cách tính này cần thiết nhớ bảng cửu chương 9. Khi nhìn bảng cửu chương số 9 chúng ta sẽ thấy kết quả hàng chục có số thứ tự từ 0 đến 9 và hàng đơn vị có số thứ tự từ 9 đến 0 và tổng của chúng luôn bằng 9.

Tính nhẩm bình phương:

Cách tính nhẩm bình phương có nhiều loại.

Loại 1: Làm phép tính nhẩm bình phương cho số có 2 chữ số và số tận cùng là 5.

– Ở kiểu tính nhẩm này, lưu ý các số có chữ số tận cùng là 5 sau khi bình phương thì 2 chữ số cuối của kết quả luôn là 25.

– Ghi số 25 vào kết quả. Nhân số ở hàng chục với số kế tiếp nó.

– Lấy kết quả vừa tìm được ghép với 25 được kết quả của bài toán.

Loại 2: Tính nhẩm bình phương số tận cùng bằng 1

– Viết kết quả của số hàng đơn vị là 1

– Nhân hàng chục với 2, viết hàng đơn vị đồng thời nhớ hàng chục

– Nhân số hàng chục với chính nó và cộng số nhớ vừa ở trên. Ghép các kết quả lại với nhau.

Loại 3: Bình phương một số với 3 chữ số (có thể áp dụng cho 2 chữ số)

– Bình phương hàng đơn vị, viết số hàng đơn vị nhớ số hàng chục

– Nhân số hàng đơn vị với số hàng chục rồi nhân tiếp với 2 và sau cộng với số nhớ, viết số hàng đơn vị nhớ số hàng chục

– Bình phương số hàng chục rồi sau đó cộng với số nhớ

Nhân hai số có hai chữ số lớn gần bằng 100:

Có 4 bước:

Bước 1: Số bù

Bước 2: Hiệu chéo

Bước 3: Hiệu bù

Bước 4: Ghép số

Ví dụ:  72×83=?

Số bù là: 100-72=28, 100-83=17

Hiệu 2 đường chéo: 72-17=55

Tích số bù: 28×17=476

Do 476 là số có ba chữ số nên ta giữ nguyên số có hai chữ số là 76. Cộng phần còn lại với hiệu chéo:  4 + 55 = 59. 

Kết quả cuối cùng: 72 x 83 = 5976