Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau kèm bài tập liên quan

1. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

Khi hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, ta có thể áp dụng một số tính chất quan trọng như sau:

1. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm:

Khi hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, điểm đó sẽ nằm ở chính giữa của hai tiếp điểm. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm đó đến mỗi tiếp điểm là bằng nhau.

2. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến:

Khi hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm, tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đường tròn sẽ chia đôi các góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của hình học đường tròn và góc nội tiếp.

3. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm:

Tương tự, khi hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm tia kẻ từ tâm của đường tròn đi qua điểm đó sẽ chia đôi góc được tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. Điều này cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của hình học đường tròn và góc nội tiếp.

2. Định nghĩa về tiếp tuyến:

Trong hình học, tiếp tuyến là một đường thẳng mà chỉ tiếp xúc với một hình học tại một điểm duy nhất. Đối với đường tròn, tiếp tuyến là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn, gọi là tiếp điểm.

Cụ thể, nếu có một đường thẳng (d) và một đường tròn (O) trong không gian, và chúng chỉ có một điểm chung duy nhất là điểm (A), thì ta nói đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm chung (A) này được gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đường tròn.

Trong mặt phẳng, tiếp tuyến của một đường tròn là đường thẳng chỉ cắt đường tròn tại một điểm duy nhất và vuông góc với bán kính tại điểm tiếp điểm đó. Điều này cũng có thể được diễn đạt như sau: Tiếp tuyến là đường thẳng mà nếu kéo dài nó tới ngoài thì nó sẽ không cắt đường tròn một lần nữa.

Khái niệm về tiếp tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học, và nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm hình học phổ thông, hình học giải tích, và các ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

3. Bài tập liên quan về tính chất của hai tiếp tuyến:

Câu 1: Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là

A. giao của ba đường phân giác góc trong tam giác

B. giao ba đường trung trực của tam giác

C. trọng tâm tam giác

D. trực tâm của tam giác

Lời giải:

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là điểm giao của ba đường phân giác góc trong của tam giác đó. Đây là một trong những tính chất quan trọng của tam giác và thường được sử dụng trong việc giải các bài toán hình học. Đây là một trong những công thức cơ bản trong hình học Euclid.

Chọn đáp án A

Câu 2: Mỗi một tam giác có bao nhiêu đường tròn bàng tiếp

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Một tam giác có thể có tối đa ba đường tròn bàng tiếp, mỗi đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với một cạnh của tam giác và với phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều này thường xảy ra trong tam giác vuông khi một đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với đoạn vuông góc và hai đoạn còn lại là phần kéo dài của cạnh góc vuông. Việc có đến ba đường tròn bàng tiếp chỉ xảy ra trong một số trường hợp đặc biệt như tam giác vuông hoặc tam giác cân. Trong tam giác tự do, thông thường chỉ có một đường tròn bàng tiếp.

Tuy nhiên, nếu muốn viết dài ra, bạn có thể mô tả các tính chất của ba đường tròn bàng tiếp trong tam giác và cách chúng liên quan đến các góc và cạnh của tam giác đó.

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?

A. Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm là bằng nhau

B. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

C. Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

D. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

Lời giải:

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm

Chọn đáp án B

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng các tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Lấy điểm I bất kì trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại I cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AC + BD = CD

B. AC . BD = R2

C. OD2 = DB. (AC + DB)

D. Có 2 khẳng định sai

Lời giải:

Do AC và CI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C nên: CA = CI ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Do BD và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D nên: DB = DI ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra: AC + BD = CI + DI = CD.

+) AC.BD = CI.DI (1)

Xét tam giác COD vuông tại O có đường cao OI nên:

CI.ID = IO2 = R2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC.BD = R2

Và OD2 = DI.DC = DB . (AC + BD)

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho đường tròn (O; 6cm) . Gọi A là điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 10cm.

Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN đến (O), với M và N là tiếp điểm. Gọi giao điểm của AO và MN là H. Tìm khẳng định đúng?

A. OH = 3,6cm

B. AH = 4,8cm

C. MH = 6,4 cm

D.Tất cả sai

Lời giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OH là đường phân giác của góc MON

Tam giác MON có OM = ON (= R) nên đây là tam giác cân tại O có OH là đường phân giác nên đồng thời là đường cao.

AH = AO – OH = 10 – 3,6 = 6,4 cm

Xét tam giác AMO vuông tại M có MH là đường cao.Áp dụng hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MH2 = OH.AH = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ MH = 4,8cm

Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho đường tròn (O), điểm nằm ngoài đường tròn,kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm ). Lấy điểm M trên cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự D và E. Khi đó, chu vi tam giác ADE bằng?

A. AB

B. 2AB

C. AC

D. 3AC

Lời giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB = AC; DB = DM; EM = EC

suy ra: DE = DM + ME = DB + EC.

Chu vi tam giác ADE là:

AD + AE + DE = AD + AE + DB + EC

= (AD + DB ) + ( AE + EC ) = AB + AC = 2AB ( vì AB = AC )

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho đường tròn (O); điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M dựng hai tiếp tuyến MA và MB. Tia MO cắt đường tròn tại N ( N nằm trên cung lớn AB). Khi đó, tam giác NAB là:

A. Tam giác vuông

B. Tam giác đều

C. Tam giác cân

D. Tam giác tù

Lời giải:

Xét tam giác AOB có AO = OB = R nên tam giác AOB cân tại O (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có OM là đường phân giác của góc AOB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OM là đường trung trực của AB.

Ta có điểm N thuộc đường trung trực của AB nên NA = NB

Suy ra, tam giác NAB là tam giác cân tại N

Chọn đáp án C.

 

 

 

 

THAM KHẢO THÊM:

• Tiếp tuyến là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến?
• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm
• Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn lớp 9