Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

1. Lý thuyết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng:

– Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

– Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 (x0; f(x0)) là:

y =  f’(x0) . (x – x0) + y0

2. Cách viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng:

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị:

* Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M0 (x0; f(x0)) là:

y =   f’(x0) . (x – x0) + f(x0)

Trong đó:

– M0 (x0; y0) gọi là tiếp điểm.

– k = f'(x0) là hệ số góc.

* Chú ý:

– Nếu cho x0 thì thế vào y = f(x) tìm y0.    

– Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x0

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

* Phương pháp giải:

– Bước 1: Gọi M (x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x0) = k

– Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn là x0.

– Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0).

* Chú ý:   

Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2, với a1, a2 lần lượt là hệ số góc của d1 và d2. Khi đó: 

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: kd = a = tanα với α là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

– Khi a > 0, ta có kd = tanα = a.

– Khi a < 0, ta có kd = tan(180° − α).

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

* Phương pháp giải:

– Bước 1: 

Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M (x0; f(x0)). Tính y’ = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x0).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x0) . (x – x0) + f(x0).

– Bước 2: 

Do đường thẳng d đi qua điểm A (xA; yA)

Nên yA = f'(x0)(xA – x0) + f(x0). Phương trình đưa về ẩn x0 . Giải phương trình tìm x0.

– Bước 3: 

Với x0 tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

* Chú ý:

– Nếu bài toán chỉ cho x0 thì ta cần tìm y0 = f(x0) và f’(x0).

– Nếu bài toán chỉ cho y0 thì ta cần tìm x0 bằng cách giải phương trình f(x) = y0.

– Giá trị f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x0; y0).

3. Bài tập vận dụng liên quan kèm lời giải:

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) = ⅓.x³ – ½.x² + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết : Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’): y = 2020.

Lời giải chi tiết:

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d’) : y = 2020 với hệ số góc k = 0

→ k = 0

Gọi M (x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

→ f’(x0) = 0 ⇔ x0² – x0 = 0 ⇔ x⁰ = 0 hoặc x⁰ = 1

* Với x0 = 0 ta có y0 = f(0) = 1 ⇒ M1 (0;1) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(0; 1) là y = 1.

* Với x0 = 1 ta có y0 = f(1) = ⅚ → M2 (1; ⅚) ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2 (1; ⅚) là y = ⅚.

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến cho đồ thị hàm số y = x² – 2x – 1 song song với đường thẳng y = 2x – 1. 

Lời giải chi tiết:

Chúng ta thực hiện các bước sau:

– Nhận thấy rằng hệ số góc của đường thẳng là k = 2.

– Tìm đạo hàm của hàm số: f'(x) = 2x – 2.

– Giải phương trình 2x – 2 = 2 để tìm x0, ta được x0 = 2.

– Tính y0 = f(2) = 2² – 2.2 – 1 = -1.

– Viết phương trình tiếp tuyến: y – (-1) = 2(x – 2), đơn giản hóa ta được y = 2x – 5.

Câu 3: Cho hàm số y = x³ + 3x – 1 và đường thẳng y = 6x – 1. Tìm tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết: 

– Chúng ta cần tìm hệ số góc k của đường thẳng, trong trường hợp này là k = 6. 

– Sau đó, chúng ta tìm đạo hàm của hàm số, f'(x) = 3x² + 3, và giải phương trình 3x² + 3 = 6 để tìm hoành độ tiếp điểm x0. 

– Phương trình này có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = -1. 

– Tính tung độ tương ứng tại hai điểm này trên đồ thị hàm số, ta được y1 = f(1) = 3 và y2 = f(-1) = -5.

– Cuối cùng, viết phương trình tiếp tuyến tại hai điểm tiếp xúc: y = 6(x – 1) + 3 cho điểm M1(1; 3) và y = 6(x + 1) – 5  cho điểm  M2(-1; -5).

Như vậy, chúng ta có hai phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 1 là y = 6x – 3 và y = 6x + 1.

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 4x – 3/x – 1. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) biết (∆) song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải chi tiết: 

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (∆).

(d): 4x + y − 5 = 0 ⇒ y = −4x + 5

Do tiếp tuyến (∆) song song với đt (d) ⇒ k = −4

* Với x0 = 3 ta có y0 = f(3) = (4.3 – 3)/4 – 1 = 3 ⇒ M1(3;3).

Phương trình tiếp tuyến (∆): y = −4.(x − 3) + 3 ⇔ y = −4x +15

* Với x0 = – 1 ta có

Phương trình tiếp tuyến (∆) y = −4 . (x + 1) + 7/2 ⇔ y = −4x − ½.

Câu 5: Tìm một phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị của f và song song với đường thẳng đã cho.

Đồ thị: f(x) = 2x²

Đường thẳng: 2x – y + 5= 0

Lời giải chi tiết:

Độ dốc của tiếp tuyến với một đường cong tại bất kỳ điểm cụ thể nào được cho bởi đạo hàm của đường cong tại điểm đó.

Chúng ta có:

f(x) = 2x²

Chúng ta có:

f'(x) =4x

Bây giờ nếu lấy phương trình đường đã cho và đặt nó thành dạng chuẩn y = mx + c:

2x − y + 5 = 0

⇒y = 2x − 5

Vì vậy, độ dốc của đường thẳng này là:

m = 2

Nếu chúng ta muốn phương trình tiếp tuyến của song song với đường thẳng này thì nó phải có cùng độ dốc, do đó:

f'(x) = 2

⇒4x = 2

x =½

Khi x = 1/2

⇒f(x) = 2 ⋅1/4 = 1/2

Vì vậy, tiếp tuyến đi qua (½;1/2) và có độ dốc mT = 2, sử dụng biểu thức y − y1 = m. (x − x1)

Phương trình tiếp tuyến mà chúng ta tìm kiếm là

y – ½ = 2 . (x – ½)

→ y – ½ = 2x – 1

→ y = 2x – ½

Câu 6: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + (m – 1) x + 2m có đồ thị (Cm). Giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3x + 10 là?

Lời giải chi tiết:

Có y’ = 3×2 – 4x + m – 1 ⇒ y’ (1) = m – 2.

Tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình là

y = (m – 2) (x – 1) + 3m – 2 ⇔ y = (m – 2) x + 2m

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 10 nên m – 2 = 3 và 2m ≠ 10 (vô lí)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 song song với trục Ox là?

Lời giải chi tiết:

Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình y = y0 với y0 là giá trị cực trị của hàm số đã cho.

Ta có y’ = 3×2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ±1.

Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A (1; -1), và B (-1; 3).

Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y = -1; y = 3.

THAM KHẢO THÊM:

• Soạn bài Mĩ thuật 9 bài 15: Tạo dáng và trang trí thời trang
• 5269831703109647.jpg
• viet-thu-tham-hoi-chuc-mung-sinh-nhat-me-chon-loc-hay-nhat.jpg