Nguyên hàm là gì? Định lý và công thức nguyên hàm?

1. Nguyên hàm là gì?

1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên K nếu F’ (x ) = f (x ) với mọi x thuộc K.

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của R.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f (x ) ký hiệu là  ∫ f (x ) = F (x )+ C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1.2. Định lý: 

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Chứng minh: Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K. Ta có:

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

2. Tính chất của nguyên hàm:

 ∫ f(x) dx)’ = f(x) + C

Tính chất này được suy trực tiếp ra từ định nghĩa về nguyên hàm. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0)

Ta có  kf(x) = F(x).

Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].

Chứng minh theo tính chất 1, ta có:

(k∫f(x)dx)′=k(∫f(x)dx)′=kf(x)”>(k ∫f(x) dx) = k(∫ [1/k . F(x)]’. dx) = k. { [1/k.F(x)] + C(k∫f(x)dx)′=k(∫f(x)dx)′=kf(x)”>) = F(x) + k.C₁ (k∫f(x)dx)′=k(∫f(x)dx)′=kf(x)”>(C₁ (k∫f(x)dx)′=k(∫f(x)dx)′=kf(x)”>∈ R)

(k∫f(x)dx)′=k(∫f(x)dx)′=kf(x)”>=F(x) + C ( vì C₁ tùy ý thuộc R và k≠ 0 nên C = k. C₁  tùy ý thuộc R)

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx”>=∫kf(x)dx

Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì  ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

Chứng minh:

– Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

– Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Giải:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Ta có f(x)=F′(x),g(x)=G′(x)”>f(x)=F′(x), g(x)=G′(x).

Suy ra ∫[f(x)±g(x)]dx=∫[F′(x)±G′(x)]dx”>∫ [f(x) ± g(x)] dx=∫ [F′(x) ± G′(x)] dx 

=∫[F(x)±G(x)]′dx=F(x)±G(x)+C”>=∫[F(x) ± G(x)]′ dx = F(x) ± G(x) + C

Lại có ∫f(x)dx±∫g(x)dx=∫F′(x)dx±∫G′(x)dx=F(x)±G(x)+C”>∫f(x) dx ± ∫g(x) dx= ∫ F′(x) dx ± ∫G′(x) dx = F(x) ± G(x) + C.

Vậy ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx”>∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫g(x) dx

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ⇒ ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=k ∫ f(x) dx + l ∫ g(x) dx

3. Công thức đổi biến số:

∫ f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + C

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

∫ udv = uv – ∫ vdu

5. Bảng nguyên hàm:

Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản:

– Tích của đa thức hoặc lũy thừa→khai triển.

– Tích các hàm mũ→khai triển theo công thức mũ.

– Bậc chẵn của sin hoặc cos→hạ bậc: sin² a=1/2-1/2 cos 2a;

cos² a=1/2+1/2 cos 2a

Chứa tích các căn thức của x→chuyển về lũy thừa.

6. Phương pháp giải bài toán nguyên hàm:

6.1. Phương pháp đổi biến số:

Nếu ∫ f (x) d x = F (x) + C thì ∫f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì ta thực hiện phép biến đổi biến đặt t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Khi đó, ta thấy I = ∫ g(t) dt = G(t) + C = G [u(x)] + C.

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x).

6.2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I = ∫ [P(x) / Q(x)]. dx:

Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) → chia đa thức.

Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của mẫu số Q(x) → phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số→thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X = a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X² + a²

6.3. Nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó ta có được:

∫ udv = uv – ∫ vdu (*)

Để tính nguyên hàm ∫ udv = uv – ∫ vdu bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u, v sao cho f(x) dx = udv (Chú ý dv = v'(x) dx)

Tính: v = ∫ dv và du =u’dx.

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính ∫ vdu.

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv.

Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x² – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x). e^2x là

Lời giải:

Ta có x² – 3x +1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/x suy ra f(x)/x = (x² – 3x +1)’ = 2x – 3.

Suy ra f(x) = 2x² – 3x suy ra f'(x) = 4x – 3. Xét I = ∫ (4x – 3). e^2x dx.

Đặt u= 4x – 3; dv = e^2x dx từ đó suy ra du = 4dx; v = 1/2 e^2x

Khi đó ta có:

I = ∫ (4x – 3). e^2xdx = [(4x – 3). e^2x] /2 – 2 ∫ e^2xdx = [(4x – 3). e^2x] /2 – e^2x+ C = [(4x – 5. e^2x)/2] + C.

Ví dụ 2: Tìm ∫ sin 5x. cosx dx.

Ta có: ∫ sin5x. cos x dx = 1/2 ∫ (sin6x + sin4x) dx

= 1/2 {- [cos6x)/6] – 1/4. cos 4x} + C = -1/12. cos 6x – 1/8. cos 4x + C.

Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x-2), thỏa mãn F(3) = 1 và F(1) = 2, giá trị của F(0) + F(4) bằng bao nhiêu:

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định trên R/{2}.

Ta có: F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 1/ (x-2) . dx= { In (x – 2) + C₁ khi x > 2 ; In (2 – x) + C₂ khi x < 2.

Do { F(3) = 1; F(1) = 2 ⇔ { C₁ = 1; C₂ = 2. Khi đó F(x) = { In (x – 2) + 1 khi x >2; In (2-x) + 2 khi x < 2.

Như vậy: F(0) + F(4) = ( In 2+2) + (In 2+1) = 2 In 2+3.

Một số bài tập:

Bài 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -1/5 và f'(x) = x³ [f(x)] ²  với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng bao nhiêu?

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Bài 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x² – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).e^2x là gì?