Các dạng bài tập về bất đẳng thức và cách giải chi tiết

1. Giải bất đẳng thức bằng phép cộng:

Bất đẳng thức tuyến tính là bất đẳng thức có dạng ax + b < c hoặc ax + b > c, trong đó a, b, c là các hằng số, x là biến số. Để giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phép cộng, ta có thể áp dụng các bước sau:

– Bước 1: Viết lại bất đẳng thức sao cho vế trái chỉ có biến số x, vế phải chỉ có hằng số. Để làm được điều này, ta có thể cộng cả hai vế của bất đẳng thức với một số nào đó, miễn là không làm thay đổi dấu của bất đẳng thức.

– Bước 2: Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho hệ số của x. Lưu ý rằng nếu hệ số của x là âm, ta phải đổi dấu của bất đẳng thức khi chia.

– Bước 3: Từ kết quả của bước 2, ta có thể xác định tập nghiệm của bất đẳng thức. Tập nghiệm là tập hợp các giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức. Ta có thể biểu diễn tập nghiệm bằng cách sử dụng dấu ngoặc tròn hoặc vuông để chỉ khoảng mở hoặc khoảng đóng, và dùng dấu phẩy để ngăn cách hai giới hạn của khoảng. Ngoài ra, ta cũng có thể vẽ đồ thị của tập nghiệm trên trục số.

* Bài tập

Bài 1:

Giải 3x − 5 ≤ 3 − x.

Lời giải:

Chúng ta bắt đầu bằng cách cộng cả hai vế của bất đẳng thức với 5

3x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 − x

⇒ 3x ≤ 8 – x

Sau đó cộng cả hai vế với x.

3x + x ≤ 8 – x + x

⇒ 4x ≤ 8

Cuối cùng, chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 4 để có được;

x ≤ 2

Bài 2:

Tính phạm vi giá trị của y thỏa mãn bất đẳng thức: y − 4 ≤ 2y + 5.

Lời giải:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với 4.

y – 4 + 4 ≤ 2y + 5 + 4

⇒ y ≤ 2y + 9

Trừ cả hai vế cho 2y.

y – 2y ≤ 2y – 2y + 9

⇒ – y ≤ 9 

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với −1 và đổi hướng của bất đẳng thức, ta có: y > − 9

2. Giải bất đẳng thức bằng phép trừ:

Bất đẳng thức tuyến tính là bất đẳng thức có dạng ax + b < c hoặc ax + b > c, trong đó a, b, c là các hằng số, x là ẩn số. Để giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phép trừ, ta có thể áp dụng các bước sau:

– Bước 1: Đưa các hệ số của x về một phía của dấu bất đẳng thức, và đưa các hằng số về phía kia. Ví dụ: nếu ta có bất đẳng thức 2x – 3 < 5, ta có thể trừ cả hai vế cho -3 để được 2x < 8.

– Bước 2: Chia cả hai vế cho hệ số của x để tìm được giá trị của x. Ví dụ: nếu ta có bất đẳng thức 2x < 8, ta có thể chia cả hai vế cho 2 để được x < 4.

– Bước 3: Kiểm tra xem hệ số của x có âm hay không. Nếu hệ số của x là âm, ta phải đảo ngược dấu bất đẳng thức. Ví dụ: nếu ta có bất đẳng thức -2x < 8, ta phải chia cả hai vế cho -2 và đảo ngược dấu để được x > -4.

– Bước 4: Viết kết quả dưới dạng khoảng giá trị của x. Ví dụ: nếu ta có bất đẳng thức x < 4, ta có thể viết kết quả là x thuộc (-vô cùng, 4).

* Bài tập

Bài 1:

Giải x + 8 > 5.

Lời giải:

Cô lập biến x bằng cách trừ 8 từ cả hai vế của bất đẳng thức.

x + 8 – 8 > 5 – 8 

⇒ x > −3

Do đó, x > −3.

Bài 2:

Giải 5x + 10 > 3x + 24.

Lời giải

Trừ 10 từ cả hai vế của bất đẳng thức.

5x + 10 – 10 > 3x + 24 – 10

⇒ 5x > 3x + 14.

Bây giờ trừ cả hai vế của bất đẳng thức 3x.

5x – 3x > 3x – 3x + 14

⇒ 2x > 14

⇒ x > 7

3. Giải bất đẳng thức bằng phép nhân:

Để giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phép nhân, ta có thể áp dụng các bước sau:

– Bước 1: Viết lại bất đẳng thức sao cho vế trái chỉ có biến số x, vế phải chỉ có hằng số. Để làm được điều này, ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số nào đó, miễn là không làm thay đổi dấu của bất đẳng thức.

– Bước 2: Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho hệ số của x. Lưu ý rằng nếu hệ số của x là âm, ta phải đổi dấu của bất đẳng thức khi chia.

– Bước 3: Từ kết quả của bước 2, ta có thể xác định tập nghiệm của bất đẳng thức. Tập nghiệm là tập hợp các giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức. Ta có thể biểu diễn tập nghiệm bằng cách sử dụng dấu ngoặc tròn hoặc vuông để chỉ khoảng mở hoặc khoảng đóng, và dùng dấu phẩy để ngăn cách hai giới hạn của khoảng. Ngoài ra, ta cũng có thể vẽ đồ thị của tập nghiệm trên trục số.

* Bài tập

Bài 1:

Giải x/4 > 5

Lời giải:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với mẫu số của phân số

4(x/4) > 5 x 4

⇒ x > 20

Bài 2:

Giải -x/4 ≥ 10

Lời giải:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 4.

4(-x/4) ≥ 10 x 4

⇒ -x ≥ 40

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -1 và đảo ngược chiều của ký hiệu bất đẳng thức.

x ≤ – 40

4. Giải bất đẳng thức bằng phép chia:

Để giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phép chia, ta có thể áp dụng các bước sau:

– Bước 1: Đưa bất đẳng thức về dạng ax + b < c hoặc ax + b > c, trong đó a, b, c là các hằng số.

– Bước 2: Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho a, nếu a > 0 thì giữ nguyên dấu bất đẳng thức, nếu a < 0 thì đổi dấu bất đẳng thức.

– Bước 3: Tìm tập nghiệm của bất đẳng thức trên trục số và vẽ đồ thị tương ứng.

* Bài tập

Bài 11

Giải bất đẳng thức 2x – 3 > 5

Lời giải:

– Bước 1: Ta có 2x – 3 > 5

– Bước 2: Chia cả hai vế cho 2, ta được x – 1.5 > 2.5

– Bước 3: Tập nghiệm của bất đẳng thức là x > 4.

Bài 2:

Giải bất đẳng thức sau:

−5x > 100

Lời giải:

Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho -5 và đổi chiều của bất đẳng thức

−5x/-5 < 100/-5

⇒ x < − 20

5. Giải bất đẳng thức bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối:

Bất đẳng thức tuyến tính là một biểu thức có dạng ax + b < c hoặc ax + b > c, trong đó a, b, c là các hằng số, x là biến số. Để giải bất đẳng thức tuyến tính, ta có thể sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân và phép chia để đưa biến số về một bên và hằng số về một bên của dấu so sánh. Sau đó, ta có thể xác định tập nghiệm của bất đẳng thức bằng cách vẽ trục số và khoanh vùng phần thỏa mãn điều kiện.

* Bài tập

Bài 1:

Giải: 2(x – 4) ≥ 3x – 5

Lời giải:

2 (x – 4) ≥ 3x – 5

Áp dụng thuộc tính phân phối để loại bỏ dấu ngoặc đơn.

⇒ 2x – 8 ≥ 3x – 5

Cộng cả hai vế với 8.

⇒ 2x – 8 + 8 ≥ 3x – 5 + 8

⇒ 2x ≥ 3x + 3

Trừ cả hai vế cho 3.

⇒ 2x – 3x ≥ 3x + 3 – 3x

⇒ -x ≥ 3

⇒ x ≤ – 3

Bài 2:

Một học sinh đạt được 60 điểm ở bài thi đầu tiên và 45 điểm ở bài kiểm tra cuối kỳ thứ hai. Học sinh phải đạt bao nhiêu điểm tối thiểu trong bài kiểm tra thứ ba để có điểm trung bình ít nhất là 62 điểm?

Lời giải:

Gọi số điểm bài kiểm tra thứ ba là x điểm.

Ta có:

(60 + 45 + x)/3 ≥ 62

⇒ 105 + x ≥ 196

⇒ x ≥ 93

Vì vậy, học sinh phải đạt 93 điểm để duy trì điểm trung bình ít nhất là 62 điểm.

6. Biểu diễn bất đẳng thức bằng trục số:

Công cụ tốt nhất để biểu diễn và trực quan hóa các con số là trục số. Một trục số được định nghĩa là một đường thẳng nằm ngang với các số được đặt dọc theo các đoạn hoặc khoảng bằng nhau. Một trục số có một điểm trung hòa ở giữa, được gọi là gốc tọa độ. Phía bên phải của gốc tọa độ trên trục số là các số dương, còn phía bên trái của gốc tọa độ là các số âm.

Các bất đẳng thức cũng có thể được giải bằng phương pháp đồ thị sử dụng trục số. Ví dụ, để vẽ x > 1, trên trục số, bạn khoanh tròn số 1 trên trục số và kẻ một đường thẳng đi từ đường tròn về hướng các số thỏa mãn mệnh đề bất đẳng thức.

Nếu ký hiệu của bất đẳng thức lớn hơn hoặc bằng hoặc nhỏ hơn hoặc bằng( ≥ hoặc ≤ ), hãy vẽ đường tròn lên trên số đó hoặc tô màu hình tròn. Cuối cùng, vẽ một đường đi từ hình tròn được tô theo hướng của các số thỏa mãn phương trình bất đẳng thức. 

Ví dụ 1:

x ≥ 1

Ví dụ 2:

–2 < x < 2