Giao điểm là gì? Tính chất, cách xác định và vẽ giao điểm?

1. Giao điểm là gì?

1.1. Điểm là gì?

Điểm được hiểu là một vật thể nằm trong không gian và có kích thước mọi chiều bằng không. Một dấu chấm được coi là hình ảnh biểu thị của một điểm. Cho nên một điểm có thể được biểu thị bằng một dấu chấm. 

Mỗi đường thẳng là một tập hợp gồm vô số điểm. 

Hai điểm không trùng nhau gọi là hai điểm phân biệt. Trong một bài toán, nếu đưa ra 2 điểm và không có gì khác được nói đến thì chúng ta hiểu rằng hai điểm đó là hai điểm phân biệt. 

Tên điểm thường được đánh dấu bằng các chữ in hoa Latinh A, B, C,… 

1.2. Đường thẳng là gì?

Hình ảnh các đường thẳng có thể thấy rất nhiều trong cuộc sống của chúng ta: các sợi dây chằng chịt, mặt bàn, cạnh bàn, đường kẻ,…

Đường thẳng không giới hạn về hai phía. Các đường thẳng được đặt tên bằng các chữ cái a, b, …, m, p.

Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng song song không bao giờ gặp nhau, nghĩa là chúng không bao giờ gặp nhau tại một điểm. Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng.

1.3. Đoạn thẳng là gì?

Trong hình học, một đoạn thẳng là một đường thẳng giới hạn bởi hai điểm (đầu mút) và chứa quỹ tích của tất cả các điểm giữa hai điểm (đầu mút) ấy.

Ví dụ về các đoạn thẳng là: các cạnh của hình tam giác hoặc hình vuông. Tổng quát hơn, nếu cả hai điểm cuối là hai đỉnh kề nhau của một đa giác thì đoạn thẳng (của đa giác được xem) là một cạnh, nếu cả hai điểm không phải là các điểm liền kề thì đoạn thẳng đó là đường chéo của đa giác. Nếu các điểm nằm trên cùng một đường thẳng với đường tròn, thì đoạn thẳng đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét).

1.4. Giao điểm là gì?

Trong hình học, giao điểm là một điểm thuộc hai hoặc nhiều đoạn thẳng, tia hoặc đường thẳng, đường cong, mặt phẳng hoặc các bề mặt hoặc hình dạng khác nhau.

Ví dụ: hai đường thẳng cắt nhau tại O. O chính là giao điểm.

Tương tự, giao tuyến là một đường thẳng hoặc một đường cong thuộc hai hoặc nhiều đường thẳng, đường cong hoặc mặt phẳng, bề mặt hoặc các hình khác nhau. 

Trong hình học Euclid, hai đường thẳng khác nhau có giao điểm hoặc không có giao điểm nếu chúng song song. 

Bài toán đại số tuyến tính, tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là xác định giao điểm trong hình học phẳng. Trong hình học thì việc xác định giao điểm hoặc xác định giao tuyến tương ứng với việc tìm nghiệm của một hệ phương trình phi tuyến tính có thể được thực hiện bằng số, ví dụ sử dụng vòng lặp Newton. Hay việc tìm giao điểm giữa đường thẳng và đường cônic (đường tròn, elip, parabol,…) hoặc với một mặt cầu (mặt cầu, hình trụ, hyperbolic,…) theo mặt số học đó chính là giải hệ phương trình bậc hai.

2. Cách tìm giao điểm đường thẳng hay mặt phẳng:

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm các điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng đó.

Trường hợp tìm giao điểm của đường thẳng a với một đường thẳng d nào đó nằm trong mặt phẳng (O).

Nếu trong trường hợp không tìm thấy đường thẳng d thì làm theo các bước sau:

‐ Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a

‐ Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) và (O)

Chú ý: Hai đường thẳng cắt nhau đều thuộc một mặt phẳng.

3. Đường trung tuyến của tam giác:

3.1. Đường trung tuyến được hiểu như thế nào?

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối điện của tam giác đó. Với một tam giác bất kỳ ta sẽ có ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh. 

Ví dụ: Ta có tam giác ABC. E là trung điểm của cạnh BC. F là trung điểm của cạnh AC. G là trung điểm của cạnh AB. Nối các trung điểm với đỉnh đối diện cạnh mà trung điểm thuộc vào, ta được ba đường trung tuyến là AE, BF và CG.

3.2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:

Mỗi loại đường trong bất cứ hình tam giác nào cũng đều thể hiện nét riêng biệt qua đặc tính, tính chất của nó. Và đường trung tuyến cũng không phải trường hợp ngoại lệ.

Ta có định lý về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác như sau: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng giao nhau tại một điểm. Điểm này cách các đỉnh của tam giác giác ⅔ độ dài của đường trung tuyến đi qua chính đỉnh đó. Giao điểm này chính là trọng tâm.

Ví dụ: Tam giác ABC có ba trung điểm tại ba cạnh AB, AC, BC tương ứng là E, F, L. Sau đó vẽ ba đường trung tuyến CE, BF, AE. Ba đường này giao nhau tại một điểm đặt tên là H. Ở đây, H chính là trọng tâm của tam giác ABC. Trong đó: CH/CE = BH/BF = AH/AE= 2/3.

4. Đường trung trực của tam giác:

4.1. Đường trung trực được hiểu như thế nào?

Đường trung trực của tam giác là đoạn thẳng đi qua 1 đỉnh tam giác và vuông góc với cạnh đối diện của tam giác đó.

Trong một tam giác, mỗi cạnh đều có một đường trung trực và được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Ví dụ, trong tam giác ABC: a là trung trực của cạnh BC, b là trung trực của cạnh AC và c là đường trung trực của cạnh AB.

Mỗi tam giác đều có ba đường trung trực.

Tính chất của đường trung trực: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường trung tuyến của cạnh này.

4.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác:

Tính chất ba đường trung trực của tam giác như sau:

Tam giác nào cũng đều sở hữu ba đường trung trực. Tính chất của ba đường trung trực: cùng giao qua một điểm và điểm này cách một khoảng cách đều với mỗi đỉnh của tam giác. 

Ví dụ: O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC nên ta có OA = OB = OC.

Chú ý: Nếu một đường tròn nhận giao điểm của ba trực tâm và đi qua ba đỉnh của một tam giác thì gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

Ví dụ: O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC và đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C thì đường tròn này là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

5. Các dạng toán về giao điểm của hai đường thẳng:

5.1. Dạng 1: Bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của hai đường thẳng ta xác định điểm chung của hai đường thẳng đó thì điểm chung tìm được chính là giao điểm cần tìm.

5.2. Dạng 2: Bài tập tính số giao điểm:

Ví dụ 1: Cho n đường thẳng (n>1), hai trong số n đường thẳng này luôn cắt nhau tại một điểm và không có đường thẳng nào là trùng nhau. Tính số giao điểm của chúng. 

Cách giải: 

Ta chọn 1 đoạn thẳng trong n đoạn thẳng đã cho, sau đó đoạn thẳng này cắt với n-1 đoạn thẳng còn lại và số giao điểm tạo ra là: n-1 (giao điểm).

Vì có n đoạn thẳng nên số giao điểm được tạo là: n×(n-1)(giao điểm)

Số giao điểm được lặp lại 2 lần nên số giao điểm thực tế là: n× (n-1) : 2 (giao điểm). 

Trả lời: Số giao điểm đếm được là n*(n-1): 2 giao điểm.

Ví dụ 2: Cho 10 đường thẳng, trong 10 đường thẳng đó có 2 đường thẳng cắt nhau và không có đường thẳng nào trùng giao điểm. Tính số giao điểm của chúng.

Cách giải:

Ta chọn 1 đường thẳng trong số 10 đường thẳng cho trước, sau đó đường thẳng này cắt với 9 đường thẳng kia và số giao điểm được tạo ra là: 9 (giao điểm).

Bởi có 10 đoạn thẳng nên số giao điểm lập được là: 10×9 = 90 (giao điểm)

Vì số giao điểm được lặp lại 2 lần nên số giao điểm có trong thực tế là: 90 : 2 = 45 (giao điểm). 

Trả lời: Số giao điểm cần tính trong bài toán trên là 45 giao điểm.

Bài tập: 

Cho 32 đường thẳng, trong 32 đường thẳng đó có 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm và không có đường nào trong 3 đường thẳng trùng nhau. Tính số giao điểm của chúng.

6. Bài tập có liên quan đến giao điểm của hai đường thẳng:

Bài 1: Cho ba điểm S, Q, T không thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng SQ, ST, QT và chỉ ra ba điểm S, Q, T lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng nào? 

Cách giải:

Giao điểm của đường thẳng ST và đường thẳng SQ là điểm S.

Giao điểm của đường thẳng QS và QT là điểm Q.

Giao điểm của đường thẳng QT và ST là điểm T.

Bài 2: 

Cho 218 đường thẳng, trong 218 đường thẳng đó có 2 đường thẳng cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào trùng nhau. Tính số giao điểm của chúng. 

Cách giải:

Từ đoạn thẳng đã cho ta chọn 1 đoạn thẳng trong 218 đoạn thẳng đoạn thẳng này cắt 217 đoạn thẳng còn lại và số giao điểm là 217 (giao điểm).

Vì có 218 đoạn thẳng nên lập được số giao điểm là: 218 × 217 = 47306 (giao điểm).

Vì số giao điểm được lặp lại 2 lần nên số giao điểm trên thực tế là: 

47306 : 2 = 23653 (giao điểm). 

Đáp án cuối cùng: Số giao điểm cần tính là 23653 giao điểm.