Dao động điều hòa là gì? Phương trình dao động điều hòa?

1. Dao động điều hòa là gì?

1.1. Một số khái niệm liên quan: 

Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng, bao gồm 2 dạng phổ biến là Dao động tuần hoàn và Dao động điều hòa.

Một dao động cơ học của con lắc lò xo được biểu diễu theo hàm Sin hoặc Cos theo thời gian t như sau: x = A.cos ( ωt + Ψ ), v = – ωA.sin( ωt + Ψ ), a = -ω².cos ( ωt + Ψ )

Trong đó: x – Li độ ( cm hoặc m ), v – Vận tốc ( m / s hoặc cm / s ), a – Gia tốc ( cm / s² hoặc m / s² ), t – Thời gian ( s ), A – Biên độ ( cm ), ω – Tần số góc ( rad / s ), Ψ – Pha ban đầu ( rad )

Dao động tuần hoàn là dao động có tuần xuất lặp đi lặp lại sau một thời gian nhất định.

1.2. Khái niệm dao động điều hòa: 

Dao động điều hòa là một loại dao động tuần hoàn đơn giản, có li độ (x) là hàm sin hoặc hàm cosin (hàm số lượng giác). Do đó, các đồ thị của dao động điều hòa thường được biểu diễn bằng đồ thị hàm số sin hoặc cosin.

Dao động điều hòa là trường hợp đơn giản nhất của dao động tuần hoàn.

2. Phương trình dao động điều hòa: 

Tìm A:

Trong đó:

– L là chiều dài quỹ đạo của dao động

– S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ

– Tìm ω:

– Tìm φ

Cách 1: Dựa vào t = 0 ta có hệ sau:

(Lưu ý: v.φ < 0)

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác (VLG)

Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời điểm ban đầu.

Cách 3: Thay kết quả vào phương trình: x = Acos(ωt + Φ ) được phương trình dao động điều hòa của vật.

Như vậy, ta có dao động điều hòa:

Phương trình x = Acos( ωt + φ) được gọi là phương trình dao động điều hòa

+ Với : A: biên độ dao động

ωt + φ (rad):  pha dao động tại thời điểm t

φ(rad):  pha ban đầu tại t = 0

Chú ý: Dao động điều hòa là hình chiếu của chuyển động tròn đều.

3. Chu kì, tần số, tần số góc của dao động điều hòa: 

Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện được một dao động toàn phần. Đơn vị:  giây (s)

Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây. Đơn vị: héc (Hz)

Tần số góc ω là đại lượng liên hệ với chu kì T hay với tần số f qua hệ thức dưới đây:

ω=T2π​=2πf

– Đơn vị của tần số góc là rad/s.

– Một chu kì dao động vật đi được quãng đường là S = 4A.

– Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là L = 2A.

4. Vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa: 

– Vận tốc của dao động điều hòa có công thức:

v=x′=−Aωsin⁡(ωt+φ)=ωAcos⁡(ωt+φ+2π​)

Tại vị trí cân bằng (VTCB), vận tốc có độ lớn cực đại: vmax​=ωA

Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc và vận tốc đổi chiều tại biên độ.​

– Gia tốc của dao động điều hòa:

a=v′=x′′=−ω2A=−ω2Acos⁡(ωt+φ)=ω2Acos⁡(ωt+φ+π)

Vecto gia tốc luôn có vị trí cân bằng

Gia tốc có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ

Tại biên, gia tốc có độ lớn cực đại

Tại VTCB, gia tốc có độ lớn bằng 0

Gia tốc nhanh pha hơn độ lớn một góc và ngược pha với số độ góc

6. Bài tập vận dụng lý thuyết về dao động điều hòa: 

Đây là dạng toán xác định đại lượng như biên độ A, vận tốc góc ω, chu kỳ, tần số, pha ban đầu từ một số dữ kiện cho trước … bằng cách đồng nhất với phương trình dao động điều hòa chuẩn.

– Dao động điều hòa được xem là một dao động mà li độ của vật được mô tả bằng hàm cosin hay sin theo biến thời gian. Một cách khác, một dao động điều hòa có phương trình là nghiệm của phương trình vi phân: x’’ + ω2x = 0 có dạng như sau:

x = Acos(ωt + φ)

Trong đó:

x: Li độ, li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng ( Đơn vị độ dài)

A: Biên độ (li độ cực đại) ( Đơn vị độ dài)

ω: Vận tốc góc (rad/s)

ωt + φ: Pha dao động (rad/s) tại thời điểm t, cho biết trạng thái dao động của vật ( gồm vị trí và chiều )

φ : Pha ban đầu (rad) tại thời điểm t = 0s, phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ.

Chú ý: φ, A là những đại lượng hằng, lớn hơn 0.

– Phương trình vận tốc v (m/s)

v = x’ = ωAcos(ωt + φ + π/2)

Suy ra: v_max = ωA Tại vị trí cân bằng x = 0, v_min = 0 đạt được tại 2 biên.

Nhận xét: Xét 1 dao động điều hoà, ta có vận tốc sẽ sớm pha hơn li độ góc π/2.

– Phương trình gia tốc a (m/s²)

a = v’ = x’’ = a = – ω2x = ω2Acos(ωt + φ + π/2)

suy ra: a_max = ω2A tại 2 biên, a_min = 0 tại vtcb x = 0

Nhận xét: dựa vào các biểu thức trên, khi xét 1 dao động điều hòa ta có gia tốc ngược pha với li độ và sớm pha hơn vận tốc góc π/2

– Chu kỳ: T = 2/ω

Định nghĩa chu kì là thời gian để vật thực hiện được một dao động hoặc thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ.

– Tần số: f = ω/2 = 1/T

Bài tập 1:

Cho một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π).Xác định chu kỳ, biên độ và vị trí tại thời điểm t = 0 ?

Hướng dẫn giải:

Dựa vào phương trình dao động điều hòa chuẩn, ta có:

A = 5, T = 2π/ω = 2π/4π = 1/2

Tại thời điểm t = 0, thế vào phương trình ta được: x = 5cos(π) = -5

Câu hỏi trắc nghiệm:

Dao động điều hòa là:

A. dao động được mô tả bằng định luật hàm sin hay hàm cos theo thời gian.

B. chuyển động tuần hoàn trong không gian, lặp đi lặp lại xung quanh một vị trí cố định.

C. dao động có năng lượng không đổi theo thời gian.

D. dao động được lặp đi lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian xác định.

Đáp án đúng: A

Bài tập 2: (Bài 6 trang 8 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(ωt + φ).

a) Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.

b) Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0?

c) Ở vị trí nào thì vận tốc có độ dài cực đại? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại?

Hướng dẫn giải:

a) Công thức vận tốc v = x'(t) = -ωAsin(ωt + φ)

Công thức gia tốc a = v'(t) = -ω^2.Acos(ωt + φ) hay a = -ω^2.x

b) Tại vị trí biên x = A hoặc x = – A thì vận tốc v = 0.

Tại vị trí cân bằng x = 0 thì gia tốc a = 0.

c) Tại vị trí cân bằng x = 0 thì vận tốc v = ωA.

Tại vị trí biên x = A hoặc x = – A thì gia tốc a = ω^2.A.

Bài tập 3: (Bài 7 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 12cm. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?

A. 12cm; B. – 12cm; C. 6cm; D. – 6cm;

Bài tập 4: (Bài 9 trang 9 Sách giáo khoa Vật Lý 12) Cho phương trình của dao động điều hòa x = – 5cos(4πt) (cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động là bao nhiêu?

A. 5cm; 0 rad;

B. 5 cm; 4π rad;

C. 5 cm; (4π.t) rad;

D. 5cm; π rad;

Hướng dẫn giải:

Chọn Đáp án: D. 5 cm; π rad;

– Ta có: x = -5cos(4πt) = 5cos(4πt + π) – Biên độ của dao động A = 5cm.

– Pha ban đầu của dao động φ = π (rad)

Bài tập 5: (Bài 10 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Phương trình của dao động điều hòa là x = 2cos(5t – π/6)(cm). Hãy cho biết biên độ, pha ban đầu, và pha ở thời điểm t của dao động.

Hướng dẫn giải:

– Biên độ của dao động: A = 2 (cm)

– Pha ban đầu của dao động: φ = -π/6 (rad)

– Pha ở thời điểm t của dao động: 5t – π/6 (rad)

Bài tập 6: (Bài 11 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa phải mất 0,25s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm. Tính:

a) Chu kì b) Tần số c) Biên độ.

Hướng dẫn giải:

a) Vận tốc của vật dao động điều hòa bằng 0 khi vật ở hai biên

=> Vật đi từ điểm có vận tốc bằng không tới thời điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, có nghĩa là vật đi từ vị trí biên này tới vị trí biên kia mất khoảng thời gian là nửa chu kì.

– Ta có t = T/2 mà t = 0,25 (s) => T = 2.t = 2.0,25 = 0,5 (s).

b) Tần số của dao động f = 1/T = 2 Hz

c) Biên độ của dao độngL A = L/2 = 18 cm.