Con lắc đơn là gì? Công thức và bài tập về con lắc đơn?

1. Con lắc đơn là gì?

Con lắc đơn là hệ gồm vật nhỏ  khối lượng m treo vào đầu một sợi dây không dãn có khối lượng  không đáng kể và chiều dài l, đầu trên của sợi dây được treo vào một điểm cố định.

Con lắc theo định nghĩa chung nhất là một vật gắn vào một trục cố định có thể quay (hoặc đung đưa) tự do. Khi đưa con lắc ra khỏi vị trí cân bằng theo phương ngang thì nó chịu lực phục hồi do tác dụng của trọng lực đưa nó về vị trí cân bằng. Khi được thả ra, lực đàn hồi kết hợp với trọng lượng của con lắc làm cho nó dao động quanh vị trí cân bằng. Chu kỳ dao động là thời gian để con lắc thực hiện xong một lần dao động. Chu kỳ dao động của con lắc phụ thuộc vào chiều dài của con lắc và phụ thuộc một phần vào biên độ. Tuy nhiên, nếu biên độ nhỏ và con lắc không chịu bất kỳ lực cản hay ma sát nào thì chu kỳ dao động không phụ thuộc vào biên độ dao động của con lắc. 

Kể từ khi được Galileo Galilei phát hiện và nghiên cứu vào năm 1602, các chuyển động con lắc được sử dụng nhằm mục đích đo thời gian và nó cũng là thiết bị đo thời gian chính xác nhất cho đến năm 1930. Được Christian Huygens phát minh vào năm 1658, đồng hồ quả lắc đã trở thành đồng hồ bấm giờ tiêu chuẩn của thế giới, được sử dụng trong gia đình và văn phòng trong khoảng thời gian là 270 năm và có sai số khoảng một giây mỗi năm. Sau đó đồng hồ quả lắc được thay thế bằng đồng hồ thạch anh vào năm 1930. Con lắc cũng được áp dụng cho các dụng cụ đo lường, dụng cụ khoa học như máy đo gia tốc và máy đo địa chấn. Trong lịch sử, chúng cũng đã được sử dụng trong trọng lượng kế để đo gia tốc trọng trường trong các cuộc khảo sát địa lý hoặc thậm chí là đơn vị đo chiều dài tiêu chuẩn.

2. Vị trí cân bằng của con lắc đơn:

Vị trí cân bằng của con lắc đơn  là vị trí của dây treo thẳng đứng. Hoặc nếu kéo nhẹ quả cầu sao cho dây lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra ta thấy con lắc dao động quanh vị trí cân bằng trong một mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của con lắc. Qua đó ta có cơ sở nhận biết được dao động của con lắc đơn này có được xem là dao động điều hòa hay không.

3. Phương trình dao động của con lắc đơn:

Để con lắc đơn có thể dao động điều hòa phải có điều kiện là góc lệch cực đại của dây treo: α0 <  hoặc = 10º.

Phương trình dao động của con lắc đơn: s =s0.cos(ωt +φ).

– s = α . l (alpha được tính bằng radian). s là li độ dao động.

– s0 = l.α0 là biên độ dao động.

Phương trình dao động theo li độ góc: α = α0.cos(ωt +φ).

Trong đó:

– α là li độ góc của dao động.

– α0 là biên độ góc của dao động.

4. Phương trình vận tốc và gia tốc của con lắc đơn:

Phương trình vận tốc của dao động được tính là: 

v = s’ = ω . So . sin(ω . t + φ + π/2)

→ vmax = ω. Khi vật đi qua vị trí cân bằng.

Vận tốc v và li độ s (hoặc li độ góc alpha) vuông pha nhau nên có hệ thức như sau: 

(v/vmax)^2 + (s/So)2 = 1 hoặc (v/vmax)^2 + ( α/ αo)^2 = 1

Phương trình gia tốc của con lắc đơn:

Con lắc trong quá trình chuyển động, nó chịu hai gia tốc: là gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.

Công thức tính gia tốc tiếp tuyến: att = v’ = -ω ^ 2.So.cos(ω.t + phi) = – ω^2. s

Gia tốc att và vận tốc v vuông pha nhau nên có hệ thức như sau:  (a/att max)^2 + (v/vmax)^2 = 1

Công thức tính gia tốc hướng tâm: aht = v^2/ l

Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến vuông pha nhau.

→ Công thức tính gia tốc tổng hợp: ath = căn (aht2 + att2).

Lưu ý: Trong quá trình dao động, con lắc có gia tốc nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 0.

5. Công thức tính năng lượng của con lắc đơn:

Các công thức tính năng lượng của con lắc đơn điều hòa là: 

Động năng của con lắc đơn dao động điều hòa là: 

Thế năng của con lắc đơn (chọn chiều của thế năng về vị trí cân bằng, thế năng của con lắc khi con lắc ở vị trí bất kì của biên độ góc anpha) là:

Cơ năng của con lắc đơn được tính bằng động năng và thế năng của con lắc cộng lại. Khi động năng bằng 0 thì thế năng cực đại và ngược lại khi thế năng bằng 0 thì động năng cực đại. Vậy, cơ năng bằng động năng cực đại và cũng bằng thế năng cực đại.

Chú ý:

‐ Bỏ qua ma sát, cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn; 

‐ Công thức trên áp dụng cho mọi alpha nhỏ hơn hoặc bằng 900.

6. Công thức tính vận tốc và lực căng dây của con lắc đơn:

Khi vật ở vị trí cân bằng góc alpha thì các lực tác dụng lên vật là: trọng lực P = mg và lực căng dây T. Tổng của hai lực này chính là lực hướng tâm, làm vật chuyển động tròn với bán kính R = 1. Ta có:

P + T = Fht

v  = căn 2gl (cos alpha – cos alphao)

→ vmax = căn 2gl.(1-cos alphao)

Công thức tính lực căng dây của con lắc đơn:

T =mg.(3.cos alpha – 2.cos alphao)

→ Tmax = mg.(3-2.cos alphao) (khi vật đi ngang qua vị trí cân bằng)

→ Tình = mg.cos alphao (khi vật ở vị trí biên)

7. Ứng dụng trong tính gia tốc rơi tự do:

Đặc biệt trong lĩnh vực địa chất,  các tính chất đặc biệt của lớp bề mặt Trái đất được quan tâm bởi các nhà địa chất và thông thường phải đo gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó. Đây là một ví dụ. 

Dùng con lắc có chiều dài l đặt tại tâm quả cầu. Đo thời gian của một số dao động toàn phần, từ đó suy ra chu kỳ T. Sau đó, chúng ta tính g t bằng công thức g = 4pi2.l/T2. Lặp lại thí nghiệm này thêm nhiều lần nữa, mỗi lần rút ngắn chiều dài của con lắc đi một phần. Lấy giá trị trung bình của g tại các lần đo, ta thu được gia tốc rơi tự do tại vị trí này.

8. Bài tập về con lắc đơn:

Bài tập 1: Một con lắc đơn có chiều đại 16cm. Trượt con lắc này để nó lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 9 rồi thả cho con lắc dao động nhẹ. Bỏ qua các loại ma sát, lấy g = 10m/s². Chọn thời gian là lúc thả vật, chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của con lắc. Hãy biểu diễn Phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.

Lời giải:

Tần số góc của con lắc: omega = căn (g/l) = 2,5pi (rad/s)

Li độ cực đại: alphao = 9pi/180 = 0,157 rad

Gốc thời gian lúc thả vật và vật chuyển động theo chiều dương nên ta có: alpha = – alphao.

Ta có: cos phi  = alpha/alphao = – alphao/alphao = -1 

→ phi = pi (rad)

Phương trình dao động của con lắc theo li độ góc:

Alpha = 0,157.cos.(2,5pi.t + pi) (rad)

Bài tập 2: Một con lắc đơn có chiều dài l, thực hiện 6 dao động trong khoảng thời gian delta (t). Nếu giảm chiều dài của con lắc đi 16 cm thì trong thời gian gốc delta(t) con lắc thực hiện được 10 dao động. Chiều dài gốc của con lắc đơn là bao nhiêu?

Con lắc thực hiện 6 dao động với li độ delta(t), nếu giảm chiều dài  16 cm thì con lắc cũng thực hiện 10 dao động trong thời gian delta(t). Vậy ta có biểu thức sau:

Delta (t) = 6.T1 = 10.T2 ⇔ 6.2pi

Căn (l/g) = 10.2pi.căn(l – 0,16)/g ⇔l = 0,25m = 25cm.

Bài tập 3: Một con lắc đơn có chiều dài l bằng 15 cm. Từ vị trí cân bằng, con lắc truyền với vận tốc 10 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Chọn gốc thời gian tại thời điểm vật rơi và g = 10 m/s². Phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài.

Lời giải:

Tần số góc của con lắc đơn: omega = căn (g/l) = 8 (rad/s)

Li độ cực đại: số = vo/omega = 0,1/8 = 0,08 m = 8 cm

Cos (phi) = s/so = 0

→ phi = – pi/2 (v>0)

Phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài: s = 8.cos.(8t – pi/2) (cm)

Bài tập 4: Phát biểu nào sau đây là không đúng khi nói về con lắc đơn dao động điều hòa? 

A.Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều dài của dây treo nó.

B.Chu kì của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng.

C.Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào biên độ dao động.

D.Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào nơi làm thí nghiệm.

Lời giải:

Ta có: T = 2pi.căn (l/g) không phụ thuộc vào khối lượng m mà chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây trẻ và gia tốc trọng trường.

→Chọn đáp án C.

Bài tập 5: Một con lắc đơn có chiều dài l bằng 1m. Dao động điều hòa với chu kì T tại nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 = pi2m/m². Khi con lắc qua vị trí cân bằng, sợi dây  vướng vào một chiếc đinh ở vị trí l/2 và con lắc tiếp tục dao động. Hãy xác định chu kì của con lắc đơn này?

Lời giải: 

Gọi T1 là chu kì dao động ban đầu của con lắc đơn: T1 = 2pi.căn (l/g) = 2s.

Trong quá trình thực hiện dao động nó gồm có hai phần:

– Phần một: thực hiện nửa chu kì của T1

– Phần hai: thực hiện một nửa chu kì của T2

T2 = T1/căn 2 = căn 2 s.

Trong đó:

T là chu kì của con lắc bị vướng đinh: T = (T1 + T2)/2 = (2 + căn 2)/2s