Chuyên đề Vi-et luyện thi vào lớp 10 môn Toán mới nhất

1. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm x1 và x2. Khi số lượng nghiệm của phương trình là hai, ta có thể áp dụng công thức quy tắc Vi-ét để tính toán giá trị của hai nghiệm này. Công thức quy tắc Vi-ét được sử dụng để tìm giá trị của x1 và x2 dựa trên hệ thức sau đây:

Hệ quả

Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt. Điều này giúp chúng ta có một cái nhìn tổng quan về phương trình và dễ dàng tính toán kết quả mà không cần sử dụng máy tính hay công thức phức tạp.
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1;  

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1;  

2. Định lý Vi-ét ảo

Giả sử hai số thực x1; x2 thoả mãn hệ thức 

Thì x1; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 – Sx + P = 0

Ví dụ: Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải:

a) Để xác định xem phương trình có hai nghiệm phân biệt hay không, chúng ta có thể sử dụng định lý của delta. Nếu delta (Δ) lớn hơn 0 với mọi giá trị của m, thì phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt. Để kiểm tra điều này, chúng ta tính giá trị của Δ’ (delta prime), được xác định bằng cách lấy bình phương của m + 1 và trừ đi bình phương của m – 4. Sau khi tính toán, ta nhận thấy Δ’ luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của m. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Để xác định xem phương trình có hai nghiệm trái dấu hay không, chúng ta sử dụng điều kiện a.c < 0. Tức là giá trị của m – 4 phải nhỏ hơn 0. Dựa vào điều kiện này, ta có thể rút ra kết luận rằng khi m nhỏ hơn 4, phương trình sẽ có hai nghiệm trái dấu.

Vậy kết luận là, với m < 4, phương trình sẽ luôn có hai nghiệm trái dấu.

2. Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp:

B. Các ứng dụng của định lý Vi-ét.

+ Dạng toán Vi-ét. 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách tính nhẩm nghiệm.

+ Dạng toán Vi-ét. 2: Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm của phương trình.

+ Dạng toán Vi-ét. 3. Tìm hia số khi biết tổng và tích.

+ Dạng toán Vi-ét. 4. Phân tích tam thức tam thức bậc hai thành nhân tử.

+ Dạng toán Vi-ét. 5. Tìm tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1. Tìm nghiệm thứ hai.

+ Dạng toán Vi-ét. 6. Xác định tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ điều kiện cho trước.

+ Dạng toán Vi-ét. 7. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm của nó liên quan đến hai nghiệm của một phương trình đã cho.

+ Dạng toán Vi-ét. 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai, không phụ thuộc vào tham số.

+ Dạng toán Vi-ét. 9. Chứng minh hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai, hoặc hai nghiệm của phương trình bậc hai.

+ Dạng toán Vi-ét. 10. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, so sách các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước.

+ Dạng toán Vi-ét. 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương.

+ Dạng toán Vi-ét. 12. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét các bài toán số học.

+ Dạng toán Vi-ét. 13. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét giải phương trình, hệ phương trình.

+ Dạng toán Vi-ét. 14. Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN.

+ Dạng toán Vi-ét. 15. Vận dụng định lý Vi-ét vào các bài toán hàm số.

+ Dạng toán Vi-ét. 16. Ứng dụng địng lý Vi-ét trong các bài toán hình học.

Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình là một phương pháp hữu ích trong việc giải các phương trình bậc hai. Đây là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán nhanh chóng và dễ dàng các giá trị nghiệm của phương trình.

Phương pháp này được áp dụng khi chúng ta có một phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0, với a, b và c là các hệ số đã biết. Để sử dụng hệ thức Vi-ét, chúng ta cần kiểm tra hai trường hợp sau:

Nếu tổng của ba số a, b và c bằng không (a + b + c = 0), thì phương trình sẽ có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm thứ hai x2 = c/a. Điều này có nghĩa là nếu tổng của ba số đó bằng không, ta có thể nhẩm nghiệm của phương trình một cách dễ dàng.

Nếu hiệu của a, b và c bằng không (a – b + c = 0), thì phương trình sẽ có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm thứ hai x2 = -c/a. Điều này có nghĩa là nếu hiệu của ba số đó bằng không, ta cũng có thể nhẩm nghiệm của phương trình một cách thuận tiện.

Với những phương trình bậc hai có hệ số a, b, c đơn giản, chúng ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét để tính toán và nhận biết các giá trị nghiệm tương ứng. Đây là một công cụ hữu ích trong toán học và có thể giúp chúng ta tiết kiệm thời gian và công sức trong việc giải các phương trình bậc hai.

Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c

Để tìm hai nghiệm của phương trình (1), ta cần biết tổng và tích của chúng. Điều này đòi hỏi chúng ta áp dụng một số phương pháp và điều kiện để xác định các giá trị của a, b và c.

Nếu muốn phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu (một nghiệm là số dương và một nghiệm là số âm), chúng ta cần đảm bảo rằng tổng và tích của hai nghiệm thỏa mãn điều kiện c/a < 0. Điều này có nghĩa là tổng của hai nghiệm sẽ là số âm và tích của hai nghiệm sẽ là số dương.

Nếu muốn phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương, chúng ta cần đảm bảo rằng các giá trị a, b và c thoả mãn các điều kiện sau:

  ( hoặc ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)

– c/a<0( điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)

– b/a>0  ( điều kiện để có hai nghiệm dương)

3. Bài tập mẫu chuyên đề Vi-et luyện thi vào lớp 10 môn Toán mới nhất:

Bài 1: Cho phương trình 936×2 + 63X – 999 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 ( x1 > x2). Khi đó x1 + 9×2 = ? 

Bài 2: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 – 9×2 = 0

Bài 3: Tìm giá trị m để phương trình 2×2 + mx + m – 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớ hơn nghiệm dương.

Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 4 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.

Bài 5: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 – 9×2 = 0

Bài 6: Cho phương trình x2 – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình 

Bài 7: Cho phương trình x2 – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Bài 8: Cho phương trình 2×2 + (2m -1)x + m – 1 = 0 ( m là tham số). tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trịn đã cho mà không phụ thuộc vào m

Bài 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m -1)x – ( m + 1) = 0. Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 10: Cho phương trịn bậc hai x2 + 2(m-1)x – ( m + 1) = 0. Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn. 

Bài 11: Cho phương trình: x2 + 4x – m2-5m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho |x1 – x2| = 4

Bài 12: Cho phương trình: x2 – bx + 6 = 0, giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt, biết rằng một nghiệm của phương trình là 2, nghiệm còn lại của phương trình sẽ là:

a. 1         b. -3         c. 3           d. -2001

Bài 13: Để phương trình x2 + 2mx + m2 + m -1 = 0 có tổng của hai nghiệm bằng -6, thì m phải thoả mãn điều kiện nào?

a. m = 3.                                         c. m < 1

b. m = -3                                        d. Không có giá trị nào của m 

Bài 14: Để phương trình x2 – 3x + a = 0 có hai nghiệm, một nghiệm lớn hơn 1 còn nghiệm kia nhỏ hơn 1, thì a phải thoả mãn điều kiện gì?