Căn bậc hai là gì? Lý thuyết cách tính căn bậc hai Toán 9

1. Căn bậc hai là gì? 

Căn bậc hai là một biểu thức toán học để tìm một số x sao cho x^2 = a, nghĩa là số x mà khi bình phương lên thì bằng a. Ví dụ, căn bậc hai của 16 là 4 hoặc -4, vì 4^2 = (-4)^2 = 16. Căn bậc hai của một số có thể được viết dưới dạng ký hiệu √a, trong đó √ được gọi là dấu căn. Căn bậc hai có nhiều tính chất và ứng dụng trong toán học và vật lý, như định lý Pythagoras, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chuẩn Euclid và không gian Hilbert. Căn bậc hai của một số có thể được tính bằng nhiều cách, như phương pháp Babylon, phương pháp Newton hay bảng lôgarit.

Khái niệm căn bậc hai là một khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến việc tìm một số x sao cho x^2 = a, với a là một số cho trước. Căn bậc hai của một số có thể là số học, số đại số, số phức hoặc không tồn tại tùy thuộc vào giá trị của số đó. Căn bậc hai có nhiều tính chất và ứng dụng trong hình học, đại số, thống kê, xác suất và vật lý.

Căn bậc hai của một số được ký hiệu là √a hoặc a^(1/2). Nếu a là một số không âm, thì căn bậc hai của a là một số không âm duy nhất sao cho (√a)^2 = a. Ví dụ, √9 = 3 vì 3^2 = 9. Nếu a là một số dương, thì căn bậc hai của a còn có một giá trị âm, đó là -√a. Ví dụ, -√9 = -3 vì (-3)^2 = 9. Khi nói về căn bậc hai của một số dương, người ta thường chỉ nghĩ đến giá trị dương.

Nếu a là một số âm, thì căn bậc hai của a không phải là một số thực, mà là một số phức. Số phức là những số có dạng a + bi, với a và b là các số thực và i là đơn vị ảo sao cho i^2 = -1. Căn bậc hai của một số âm có thể được viết dưới dạng √(-a)i, với -a là một số không âm. Ví dụ, √(-9) = √9i = 3i.

Căn bậc hai có nhiều tính chất hữu ích trong toán học. Một số tính chất cơ bản như sau:

– √(ab) = √a√b với a và b không âm

– √(a/b) = (√a)/(√b) với a không âm và b dương

– √(a + b) ≤ √a + √b với a và b không âm (bất đẳng thức tam giác)

– √(x^2) = |x| với x là một số thực (giá trị tuyệt đối)

Căn bậc hai cũng xuất hiện trong nhiều công thức toán học và vật lý nổi tiếng, ví dụ như:

– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax^2 + bx + c = 0 có nghiệm x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/(2a)

– Định lý Pythagoras: Trong tam giác vuông, cạnh huyền bình phương bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu a và b là độ dài hai cạnh góc vuông và c là độ dài cạnh huyền, thì c^2 = a^2 + b^2 hay c = √(a^2 + b^2)

– Công thức Euler: e^(ix) = cos(x) + i sin(x), trong đó e là số Naper, i là đơn vị ảo và x là một góc. Khi x = π, ta có e^(iπ) + 1 = 0, một công thức kết hợp năm hằng số quan trọng nhất trong toán học.

2. Cách tính căn bậc hai Toán lớp 9:

* Phương pháp chia đôi:

Căn bậc hai của một số có thể được tìm thấy bằng nhiều phương pháp khác nhau, nhưng một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp chia đôi (hay còn gọi là phương pháp lặp). Phương pháp này dựa trên việc sử dụng định lý giá trị trung bình để tìm ra một khoảng chứa căn bậc hai của số cần tính, sau đó thu hẹp khoảng này bằng cách chia đôi độ dài của nó liên tục cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn. Các bước thực hiện phương pháp chia đôi như sau:

– Bước 1: Chọn một khoảng [a, b] sao cho f(a).f(b) < 0, trong đó f(x) = x^2 – x. Nếu f(a) = 0 hoặc f(b) = 0 thì đã tìm được căn bậc hai của x.

– Bước 2: Tính điểm giữa c của khoảng [a, b] theo công thức c = (a + b) / 2. Nếu f(c) = 0 thì đã tìm được căn bậc hai của x.

– Bước 3: So sánh dấu của f(a) và f(c). Nếu f(a).f(c) < 0 thì căn bậc hai của x nằm trong khoảng [a, c], ngược lại nếu f(a).f(c) > 0 thì căn bậc hai của x nằm trong khoảng [c, b]. Nếu f(a).f(c) = 0 thì đã tìm được căn bậc hai của x.

– Bước 4: Lặp lại các bước từ 2 đến 3 cho đến khi độ dài của khoảng [a, b] nhỏ hơn hoặc bằng sai số cho phép. Khi đó, giá trị c sẽ gần đúng với căn bậc hai của x.

* Phương pháp Newton-Raphson:

Phương pháp này dựa trên việc sử dụng đạo hàm để tìm ra một xấp xỉ tốt hơn cho căn bậc hai của số cần tính, sau đó lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn. Các bước thực hiện phương pháp Newton như sau:

– Bước 1: Chọn một giá trị ban đầu x0 sao cho x0 > 0. Giá trị này có thể được chọn ngẫu nhiên hoặc dựa trên một số quy tắc nào đó.

– Bước 2: Tính giá trị xấp xỉ tiếp theo x1 theo công thức x1 = x0 – f(x0) / f'(x0), trong đó f(x) = x^2 – x và f'(x) = 2x – 1 là đạo hàm của f(x).

– Bước 3: So sánh giá trị tuyệt đối của sai số |x1 – x0|. Nếu sai số nhỏ hơn hoặc bằng sai số cho phép thì đã tìm được căn bậc hai của x. Ngược lại, nếu sai số lớn hơn sai số cho phép thì gán x0 = x1 và lặp lại bước 2.

3. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính căn bậc hai của số 25.

Lời giải:

Căn bậc hai của số 25 là số dương x sao cho x^2 = 25. Ta có thể tìm x bằng cách sử dụng phương pháp chia lấy dư hoặc bảng căn. Kết quả là x = 5. Vậy căn bậc hai của số 25 là 5.

Bài 2: Tính căn bậc hai của biểu thức √(x + 2)^2 + (y – 3)^2.

Lời giải:

Căn bậc hai của biểu thức (x + 2)^2 + (y – 3)^2 là khoảng cách từ điểm (x, y) đến điểm (-2, 3) trên mặt phẳng tọa độ. Ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm để tính biểu thức này. Ta có:

Căn bậc hai của biểu thức (x + 2)^2 + (y – 3)^2

= Căn bậc hai của √[(x + 2) – (-2)]^2 + [(y – 3) – (3)]^2

= Căn bậc hai của √(x + 4)^2 + (y – 6)^2

= Căn bậc hai của √[(x + 4)^2 + (y – 6)^2] / [1^2 + 1^2]

= Căn bậc hai của √[(x + 4) / 1]^2 + [(y – 6) / 1]^2

= Khoảng cách từ điểm (x, y) đến điểm (-2, 3).

Bài 3: Tính căn bậc hai của biểu thức (x + 1)^2 + 4.

Lời giải:

Căn bậc hai của biểu thức √(x + 1)^2 + 4 là hàm số y sao cho y^2 = (x + 1)^2 + 4. Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: y^2 = x^2 + 2x + 5.

Để tìm y, ta cần giải phương trình bậc hai y^2 – x^2 – 2x – 5 = 0.

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi định thức Δ = (-2x)^2 – 4(-x^2 – 5) ≥ 0.

Giải ra ta được Δ = 4x^2 + 20 ≥ 0, điều này luôn đúng với mọi x thuộc tập số thực.

Vậy phương trình có hai nghiệm y là: y = ±√(Δ/4) = ±√(x^2 + 5). Vậy căn bậc hai của biểu thức (x + 1)^2 + 4 là ±√(x^2 + 5).

Bài 4: Tính căn bậc hai của biểu thức √(3) + √(5).

Lời giải: Căn bậc hai của biểu thức √(3) + √(5) là số dương w sao cho w^2 = √(3) + √(5). Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: w^2 – √(3) – √(5) = 0.

Đây là một phương trình thuần nhất bậc hai với biến w.

Ta có thể giải phương trình này bằng cách đặt t = w^2, ta được phương trình t – √(3) – √(5) = 0.

Phương trình này có nghiệm duy nhất t = √(3) + √(5).

Khi đó, ta có w = ±√(t) = ±√(√(3) + √(5)).

Vậy căn bậc hai của biểu thức √(3) + √(5) là ±√(√(3) + √(5)).