Để có đường thẳng chéo nhau, chúng ta có thể chọn một điểm bất kỳ trong không gian và xây dựng hai đường thẳng mới, mỗi đường thẳng mới song song với một trong hai đường thẳng đã cho. Bài viết cung cấp thông tin hai cách xác định góc giữa hai đường thẳng lớp 11 cực nhanh

Mục lục bài viết

1 1. Lý thuyết xác định góc giữa hai đường thẳng:

1.1 1.1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng:
1.2 1.2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

2 2. Bài tập tự luyện:

3 3. Các bài tập áp dụng xác định góc giữa hai đường thẳng:

1. Lý thuyết xác định góc giữa hai đường thẳng:

1.1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng:

Hai đường thẳng trong không gian có 4 tình trạng tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.

– Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng là 0°.

– Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau, tạo ra 2 cặp góc đối đỉnh (tổng cộng 4 góc). Góc không tù giữa hai đường thẳng được chọn làm đại diện.

– Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau, chúng ta có thể chọn một điểm bất kỳ trong không gian và xây dựng hai đường thẳng mới, mỗi đường thẳng mới song song với một trong hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này sẽ cắt nhau tại một góc, và góc đó sẽ là góc giữa hai đường thẳng ban đầu. Lưu ý rằng việc chọn điểm không ảnh hưởng đến số đo của góc.

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b, ta có thể xác định một điểm O nào đó và vẽ hai đường thẳng khác lần lượt song song với a và b từ điểm O đó. Quan sát thấy rằng khi điểm O thay đổi, góc giữa hai đường thẳng mới vẽ và hai đường thẳng gốc a, b không thay đổi.

Dựa vào quan sát này, chúng ta đặt ra định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ khi chúng đi qua một điểm nào đó và lần lượt song song với a và b

1.2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

Để đo lường góc giữa hai đường thẳng a và b, ta có thể chọn một điểm O thuộc một trong hai đường thẳng và vẽ một đường thẳng khác đi qua O, song song với đường thẳng còn lại.

Nếu →u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và →v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b, và (→u; →v) = α, thì góc giữa hai đường thẳng a và b là α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và là 180° − α nếu 90° < α ≤ 180°. Trong trường hợp hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng bằng 0°. Góc giữa hai đường thẳng được đo trong khoảng từ 0° đến 90°.

Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng:

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, chúng ta có thể sử dụng các công thức sau:

– Sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $cos (B A C^) = 2 \cdot A B \cdot A C A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}$

Tương tự, ta có: $cos (A BC^) = 2 \cdot B A \cdot BC B A ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}$ và $cos (A CB^) = 2 \cdot C A \cdot CB C A ^{2} + C B ^{2} - A B ^{2}$

Lưu ý: $- A B \cdot - A C = A B \cdot A C cos (B A C^) = 2 1 (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$

– Để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, ta tính góc giữa hai vectơ $- A B$ và $- C D$ dựa vào công thức: $cos (A B, C D) = ∥ A B ∥ \cdot ∥ C D ∥ - A B \cdot- C D$

Từ đó, ta suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD

2. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Bài giải:

Cách 1: Bắt đầu bằng việc dựng hình bình hành AMCE, ta thu được AM = CE = a/2.

Khi đó, AE // CM ⇒ (ˆAE; CM) = (ˆAN; AE) = φ.

Tính chiều dài của SC: $SC = S A^{2} + A C^{2} = 2 a$ , suy ra chiều dài của đường trung tuyến AN là $A N = 2 SC = a$ .

Do tam giác ABC là tam giác đều, nên AMCE là hình chữ nhật.

Vì CE ⊥ AE và CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ (SAE) ⇒ CE ⊥ SE.

Tam giác SEC vuông tại E có đường trung tuyến $EN = 2 1 SC = a$ .

Áp dụng định lý cosin trong tam giác NAE, ta có: $cos (N A E^) = 2 \cdot A N \cdot A E A N ^{2} + A E ^{2} - N E ^{2} = 43 > 0 \Rightarrow cos (ϕ) = 2 3 .$