Trong việc xác định hình dạng của một mặt cầu, hai yếu tố quan trọng phải nói đến là trung điểm và bán kính. Trung điểm của mặt cầu nằm tại trung tâm của hình cầu, còn bán kính là khoảng cách từ trung điểm tới mọi điểm trên mặt cầu đó. Bài viết dưới đây cung cấp thông tin về cách tìm tâm và bán kính mặt cầu hay và dễ hiểu nhất.
Mục lục bài viết
1. Tìm tâm và bán kính mặt cầu:
Phương trình (S): là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.
Phương trình (S): thỏa mãn điều kiện là phương trình mặt cầu với tâm I (a; b; c) và bán kính R.
Trong việc xác định hình dạng của một mặt cầu, hai yếu tố quan trọng phải nói đến là trung điểm và bán kính. Trung điểm của mặt cầu nằm tại trung tâm của hình cầu, còn bán kính là khoảng cách từ trung điểm tới mọi điểm trên mặt cầu đó. Vị trí của mặt cầu trong không gian ba chiều được xác định bởi trung điểm. Đối với một mặt cầu có trung điểm cụ thể I (x, y, z), các điểm trên mặt cầu đều cách điểm I một khoảng bằng bán kính R. Trung điểm mặt cầu được coi là một định nghĩa duy nhất cho vị trí của mặt cầu trong không g. Bán kính của mặt cầu ảnh hưởng đến kích thước và rộng của mặt cầu. Bằng cách biết bán kính, ta có thể tính đường kính của mặt cầu (d = 2R) và thể tích của mặt cầu (V = 4/3πR^3). Ngoài ra, bán kính còn cung cấp thông tin về khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến trung điểm của mặt cầu. Tóm lại, trung điểm và bán kính của mặt cầu đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng và kích thước của nó trong không gian ba chiều và là 2 điều kiện quan trọng để tính đường kính và thể tích
Ví dụ: Phương trình mặt cầu có dạng (x^2 + y^2 + z^2) + (2ax + 2by + 2cz) + d = 0, tâm của mặt cầu là I(-a, -b, -c) và bán kính R = √(a^2 + b^2 + c^2 + d).
Trường hợp phương trình mặt cầu có dạng (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2, tâm của mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính R đã được cung cấp trước đó.
2. Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu:
Phương pháp tìm, tính bán kính của mặt cầu từ phương trình có sẵn.
Để tính bán kính của mặt cầu từ phương trình có sẵn, chúng ta cần tìm được tọa độ tâm của mặt cầu được cho và sau đó tính khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên mặt cầu dó.
Bước 1: Đầu tiên, tìm tọa độ của tâm mặt cầu từ phương trình. Tâm của mặt cầu có thể xác định dựa trên các hệ số của các biến trong phương trình. Chẳng hạn, trong phương trình \(x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0\), ta có thể nhận thấy rằng hệ số của \(x\) là \(-8\), của \(y\) là \(2\), và của \(z\) là \(0\).
Bước 2: Để tìm tâm của mặt cầu, chúng ta cần lưu ý rằng tọa độ của tâm chính là giá trị trái nhất của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình đó. Vì vậy, tọa độ của tâm trong ví dụ này là \((4, -1, 0)\).
3. Tiếp theo, tính bán kính của mặt cầu từ tầu tọa độ được xác định của tâm và phương trình mặt cầu. Bán kính có thể được tính bằng căn bậc hai của giá trị tuyệt đối của hệ số bên phải của phương trình. Trong ví dụ này, hệ số bên phải của phương trình là \(1\), vì vậy bán kính của mặt cầu là \(\sqrt{1} = 1\).
Tóm lại, tọa độ của tâm mặt cầu trong phương trình đã cho là \((4, -1, 0)\), và bán kính của mặt cầu là \(1\)
Làm thế nào để tìm tâm mặt cầu từ phương trình đường tròn?
Để xác định tâm của một mặt cầu khi có phương trình của nó, chúng ta cần xác định vị trí (x, y, z) của tâm.
Bước 1: Xác định hệ số của các thành phần của phương trình mặt cầu chung tổng quát, thường có dạng: (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r² với tâm (a, b, c) và bán kính r.
Bước 2: So sánh phương trình đã cho với phương trình chung tổng quát để xác định giá trị của (a, b, c) và r.
Ví dụ: Cho phương trình 3x² + 3y² + 3z² – 6x + 3y + 21 = 0.
Bước 1: Chúng ta nhận thấy hệ số của các thành phần là 3. Ta có thể tiến hành chia đôi phương trình để đưa về phương trình chung tổng quát. Sau khi chia đôi thì ta có được phương trình: x² + y² + z² – 2x + y + 7 = 0.
Bước 2: So sánh phương trình đã cho với phương trình chung tổng quát để xác định giá trị của (a, b, c) và r. Ta sẽ thấy giá trị của a, b, c là giá trị của hệ số ở các thành phần không có dấu trội. Cho nên, a = 2, b = 1, c = 0. Để xác định bán kính r, ta lấy căn bậc hai của số hạng cuối cùng trong phương trình chung tổng quát có r = √7.
Vì vậy, tâm của mặt cầu là (2, 1, 0) và bán kính là √7.
3. Bài tập tìm tâm và bán kính mặt cầu hay:
3.1. Một số bài tập cụ thể về tâm và bán kính mặt cầu:
Bài tập 1: Phương trình mặt cầu có dạng , và bạn đã xác định tốt tâm (I) và bán kính (R) của mặt cầu đó.
Giải:
Bước 1: Nhận biết phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có dạng x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. So sánh phương trình đã cho với phương trình chung của mặt cầu, ta có:
a = -2
b = 1
c = 0
d = -1
Tọa độ của tâm (I) được xác định bằng cách lấy ngược của hệ số của các thành phần tuyến tính (), nên , như bạn đã tính toán.
Bước 2: Tìm tọa độ của tâm (I)
Tọa độ của tâm (I) được xác định bởi (-a, -b, -c). Thay các giá trị đã cho vào, ta có:
Tọa độ tâm (I) = (2, -1, 0)
Bước 3: Tìm bán kính (R)
Bán kính của mặt cầu được tính bằng R = √(a^2 + b^2 + c^2 – d). Thay các giá trị đã cho vào, ta có:
R = √((-2)^2 + 1^2 + 0^2 – (-1)) = √(4 + 1 + 1) = √6
Vậy, tâm (I) của mặt cầu có tọa độ (2, -1, 0) và bán kính (R) là √6.
Tóm lại, bạn đã xác định đúng tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình cho trước.
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.
a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0
b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0
Giải:
a) Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 ta thu được a=m;b=-(m+1); c=2;d=1
Phương trình là phương trình mặt cầu tương đương a2+b2+c2-d>0
⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.
b) Phương trình có dạng x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 ta có a=m-3;
b=0;c=2m;d=8
Phương trình là phương trình mặt cầu tương đương a2+b2+c2-d>0
⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0
Tương đương m<1/5 và m>1
3.2. Các bài toán về tìm tâm và bán kính mặt cầu hay:
Bài tập 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 3: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 4: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 5: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 6: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 7: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 8: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: .
Bài tập 9: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu khi biết điểm thuộc mặt cầu và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng đã cho.
Cho phương trình mặt cầu .
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm .
Hãy xác định tọa độ của tâm và bán kính của mặt cầu
Hãy thử giải và tính toán để tìm ra tọa độ của tâm và giá trị bán kính của mỗi mặt cầu.
THAM KHẢO THÊM:
